北师大版2024-2025学年四年级上册数学培优拓展讲义第2讲线与角(单元讲义)(学生版+解析)

2024-2025学年四年级上册数学举一反三变式拓展（北师大版）第二讲线与角（导图+知识精讲+高频易错点+十四大考点讲练+难度分层练）教学目标知识与技能：学生能够认识直线、线段、射线的概念及特点，并能正确画出它们。学生能够理解角的概念，会用量角器量角和画角，并知道角的大小与两边叉开的大小有关。学生能够认识平角、周角，了解角之间的关系。过程与方法：通过观察、操作、比较等活动，引导学生发现线与角的基本特性，发展空间观念。培养学生独立思考、合作交流的能力，提高学生的数学思维和解决问题的能力。情感态度与价值观：激发学生对线与角的学习兴趣，培养探究精神。引导学生体会数学与生活的密切联系，认识到数学在解决实际问题中的重要作用。教学重难点重点：直线、线段、射线的认识及特点。角的概念、角的度量及角的分类。难点：理解角的大小与两边叉开的大小有关，与边的长短无关。平角、周角的认识及角之间的关系理解。TOC\t"标题2,1"\h\u考点1：直线、线段和射线的认识 5考点2：两点间线段最短与两点间的距离 6考点3：角的概念和表示 7考点4：角的分类（锐角直角钝角） 8考点5：垂直与平行的特征及性质 9考点6：过直线外一点作已知直线的平行线 10考点7：相交与垂直 11考点8：过直线上或直线外一点作直线的垂线 12考点9：角的画法 13考点10：角的度量 14考点11：画指定度数的角 15考点12：用三角尺画30°，45°，90°，90°角 16考点13：线段与角的综合 17考点14：钟面上的角 17基础夯实优选题专练 18培优优选题专练 22知识点01：线的认识直线、射线和线段直线：没有端点，可以向两个方向无限延伸。射线：有一个端点，只能向一个方向无限延伸。线段：有两个端点，不能向两个方向无限延伸，有固定的长度。线的性质过一点可以画无数条直线。过两点只能画一条直线。两点之间线段最短，这条线段的长度叫做这两点间的距离。知识点02：线与线的关系平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。性质：一条直线的平行线有无数条；过线外一点作平行线，只能画一条；两条平行线之间的距离处处相等，两条平行线之间的垂线段就是他们的距离。相交与垂直相交：如果两条直线只有一个公共点，这两条直线叫相交直线。垂直：两条直线相交成直角时，叫做两条直线相互垂直。两条直线互称为对方的垂线。一条直线的垂线有无数条，过线外一点作已知直线的垂线只能画一条。从直线外一点到这条直线所画的垂直线最短，它的长度叫作这点到直线的距离。知识点03：角的认识角的定义由一个顶点引出的两条射线所组成的图形叫做角，角也可以看成是一条射线围绕它的端点旋转而成的。角的分类平角：当角的两边旋转成一条直线时，这时所形成的角叫做平角，等于180度。周角：当角的两边经过旋转重合时，这时所形成的角叫做周角，等于920度。锐角：小于90度的角是锐角。直角：等于90度的角是直角。钝角：小于90度小于180度的角是钝角。角的度量角的度量单位是度，记作“°”。认识量角器：量角器是把半圆平均分成180份，一份表示1度。量角器上有中心点、0刻度线、内刻度线、外刻度线。使用方法：“两合一看”，“两合”是指中心点与角的顶点重合；0刻度线与角的一边重合。“一看”就是要看角的另一边所对的量角器的刻度。易错知识点01：线的认识直线、射线和线段的混淆易错点：学生容易将直线、射线和线段的概念混淆，特别是关于它们能否测量长度以及延伸性质的理解上。解析：直线没有端点，可以向两个方向无限延伸，不能测量长度；射线有一个端点，只能向一个方向无限延伸，也不能测量长度；线段有两个端点，不能向两个方向无限延伸，可以测量长度。过点画直线的理解易错点：学生可能误解为“过一点只能画一条直线”，实际上过一点可以画无数条直线。解析：应明确过一点（非两个点）可以画出无数条直线，而过两点只能画出一条直线。易错知识点02：线与线的关系平行线的理解易错点：学生可能认为平行线只能在同一平面内，但忽视了“不相交”这一关键条件。解析：平行线的定义是在同一平面内，不相交的两条直线。必须同时满足“同一平面”和“不相交”两个条件。垂直线的判断易错点：学生可能错误地认为只要两条直线相交就是垂直，或者认为垂直线只能画一条。解析：垂直线是指两条直线相交成直角，即相交角为90°。一条直线的垂线有无数条，但过线外一点作已知直线的垂线只能画一条。易错知识点03：角的认识角的分类混淆易错点：学生容易将锐角、直角、钝角、平角、周角的定义混淆，特别是小于90°的角不一定是钝角。解析：应明确锐角小于90°，直角等于90°，钝角小于90°且小于180°，平角等于180°，周角等于920°。小于90°的角可能是钝角，也可能是平角或周角。角的大小与边的长短无关易错点：学生可能误认为角的大小与边的长短有关。解析：角的大小是由其张口大小决定的，与边的长短无关。易错知识点04：角的度量量角器的使用易错点：学生在使用量角器时，容易读错刻度或混淆内外刻度。解析：使用量角器时，应确保中心点与角的顶点重合，0刻度线与角的一边重合。读刻度时，注意看角的另一边所对的刻度，并根据开口方向选择内刻度或外刻度。度数的计算易错点：在计算角的度数时，学生可能忽视已知条件或计算错误。解析：在计算角的度数时，应仔细审题，明确已知条件，并按照角的性质进行计算。考点1：直线、线段和射线的认识【精讲题】（2023秋•雨花区期末）下面四个说法中，有个是正确的。①直线是无限长的②小于或等于的角叫锐角③1周角平角直角④将圆平均分成920份，人们把其中的1份所对的角作为度量角的单位A．1 B．2 C．3 D．4【精练题01】（2024•驿城区）条直线；条射线；条线段。【精练题02】（2023秋•韩城市期末）如图，有、、三个点，请按要求画一画。（1）画出直线。（2）画出射线和射线。【精练题03】（2023秋•鹤城区期末）（1）在方格纸上画出射线，并从点起在射线上截取一条长2厘米的线段。（2）在方格纸上画出平行四边形和梯形指定底边上的高。考点2：两点间线段最短与两点间的距离【精讲题】（2023秋•峄城区期末）从学校到附近一条笔直的公路有四条小路，长度分别是376米、245米、308米、521米，其中有一条与公路互相垂直，这条小路的长是A．376米 B．245米 C．308米 D．521米【精练题01】（2023秋•夏邑县期末）笑笑要从家到公园去玩，如图的三条路线，走路线最节省时间。A．① B．② C．③【精练题02】（2023秋•龙华区期中）投沙包比赛，三位同学站在投掷点往投掷线外投出去，体育老师测量沙包的落地点到投掷点的距离就是同学们的投掷成绩。如图是三位同学投掷沙包落地点的示意图，成绩最好的是A．淘气 B．笑笑 C．奇思 D．无法判断【精练题03】（2022秋•莒县期末）周末，小明去奶奶家做客，写作业时发现忘记带练习本，他到商店购买距离最近，理由是：。考点3：角的概念和表示【精讲题】（2023秋•罗甸县期末）下列说法正确的是A．平角的两条边在一条直线上 B．小于的角都是钝角 C．一条直线长200米 D．平行四边形只有1条高【精练题01】（2023秋•鹤城区期末）同学们在操场上进行队列练习，当他们原地向左转时，转过一个角；原地向后转时，转过一个角。【精练题02】（2023秋•顺义区期末）先找角，再画角。①把一张半圆形的纸（如图）对折两次，打开后可以找到多少度的角？（写在下面的空白处）②画出以上各角。【精练题03】（2022秋•中原区月考）思思用一副三角尺拼出一个钝角。先想一想思思是怎么拼的，再填一填，画一画。思思可以把角和角拼在一起，在上面量角器上把拼出的这个钝角画出来。考点4：角的分类（锐角直角钝角）【精讲题】（2023秋•崇川区期末）如图，汽车经过收费亭时，转杆会慢慢地升起。转杆升起的过程中，与竖杆形成的角的变化情况为A．直角钝角周角 B．锐角直角钝角 C．直角钝角平角 D．锐角钝角直角【精练题01】（2024•驿城区）个锐角；个钝角；个直角。【精练题02】（2023秋•中原区期末）郑州的张爷爷每年都要坐高铁参加山东潍坊国际风筝节。为了坐得最舒适，如图座椅的靠背应调节到什么位置？画一画。【精练题03】（2023秋•密云区期末）如图中的角是度。请你在下面画出一个角，这个角的度数与如图角的度数合起来是平角。考点5：垂直与平行的特征及性质【精讲题】（2023秋•磐石市期末）下面图形中，能正确表示出平行、垂直和相交关系的是A．B． C．【精练题01】（2023秋•潜江期末）如图，互相平行的线有和；与直线互相（填平行或垂直）；点与直线的连线中，最短的线段是。【精练题02】（2023秋•锦州期末）沙包投掷练习时，同学们站在起掷线原地投掷，沙包落地点到起掷线的距离为同学们的成绩。如图是三个同学投掷沙包的示意图，小红的成绩为200厘米。（1）在图中分别画出表示小军和小丽沙包落地点到起掷线距离的线段。（2）的成绩最好，是厘米。【精练题03】（2023秋•孝义市期中）用不同的颜色的笔涂一涂。（1）在图中分别描出一个锐角、直角、钝角、平角。（2）在图中分别描出一组互相垂直、互相平行的线。（3）在图中分别描出一条线段、直线、射线。考点6：过直线外一点作已知直线的平行线【精讲题】（2023秋•信阳期末）按要求画一画。（1）过点作一条直线与已知射线平行。（2）以为顶点，已知射线为一条边，画一个的角。【精练题01】（2023秋•涿州市期末）过点作直线的平行线，过点作直线的垂线。【精练题02】（2023秋•怀宁县期末）经过点铺一根水管，要求水管与公路平行，请把水管画出来。【精练题03】（2023秋•渝水区期末）过点画射线的垂线，再过点画射线的平行线。考点7：相交与垂直【精讲题】（2023秋•怀来县期末）在同一个平面内，两条直线相交，如果一个角是，那么与它相邻的角是。【精练题01】（2023秋•开江县期末）语文课本的封面，相对的两条边是相互平行的，相邻的两条边是相互的．【精练题02】（2021秋•柳州期末）2021年10月16日神舟十三号载人飞船成功发射，它被送入太空的“近地点”高度米，横线上的数写作；“远地点”高度359000米，横线上的数读作，这个数中的“5”表示5个，359000米省略万后面的尾数约是万米。神舟十三号成功完成径向交会对接，小思把它们的位置画了下来（如图），中国空间站和神舟十三号的位置关系是互相。【精练题03】（2023秋•谯城区校级月考）某公园中由广场到秀园路修了、两条路，但人们总喜欢在草坪中走出这样一条路。你能利用所学知识解释产生这一现象的原因吗？如果你是草坪管理员，你会给公园设计师提什么建议？考点8：过直线上或直线外一点作直线的垂线【精讲题】（2023秋•孝昌县期末）根据所给的射线作为角的一条边，画出一个的角；过点分别画出这个角的两条边的垂线。【精练题01】（2023秋•洪泽区期末）过点画的平行线，再过点画的垂线。【精练题02】（2023秋•黄州区期末）分别过点画的垂线。【精练题03】（2023秋•溧阳市期末）有一个四边形（如图）。（1）经过点向边画垂线。（2）经过点画的平行线。（3）量出。（4）量出点到边的距离是毫米。考点9：角的画法【精讲题】（2022秋•汉南区期末）明明用一副三角板拼出了几个钝角，想一想：他是怎么拼的？然后在下边的量角器上画出其中一个钝角。【精练题01】（2019秋•盐城期末）①量一量，。②以为定点，画一个比大的角。（测量结果保留整十数）【精练题03】（2021秋•舞钢市期末）（1）以点为顶点，用你自己喜欢的方法以为角的一条边，画一个的角。（2）经过点画出边的平行线和垂线。（3）量一量，点到边的距离是厘米。（取整厘米）【精练题03】（2022秋•临泉县期中）连一连。考点10：角的度量【精讲题】（2023秋•崇川区期末）如图，用一个损坏的量角器量角，所量的角是。A．30 B．45 C．90 D．90【精练题01】．（2023秋•玄武区期末）如图是某街区的示意图。（1）用量角器量出。（2）解放路在胜利小学的西北面，与和平路平行，并且在图上量得胜利小学与解放路的距离是1厘米。在图上利用一条直线表示解放路。（3）胜利小区铺设天然气管道，主管道在华山路，怎么铺最节省材料？把它画出来。【精练题02】（2023秋•十堰期末）请你在下面的方格纸上按要求量一量，画一画。（每个小方格的边长表示（1）量出方格纸中角的度数，并在图上标出来。（2）以这个角的两条边为一组邻边，画一个平行四边形，并画出它的高。【精练题03】．（2023秋•鼓楼区期末）写出下面角的度数。考点11：画指定度数的角【精讲题】（2023秋•宿城区期末）下面不能用一副三角板画出的角是A． B． C． D．【精练题01】（2023秋•历城区期末）芳芳同学要用一副三角尺画一个的角，她可以怎样去选择这副三角尺上的角来画呢？请你帮芳芳用算式表示出画角的思路：，【精练题02】（2023秋•峄城区期末）操作。（1）过点画射线的垂线。（2）以点为顶点，以射线为一条边，画一个的角并标上角的度数。【精练题03】（2023秋•潜江期末）画一画。（1）以为顶点，画一个的角。（2）画出从教学楼到综合楼最近的路；画出从教学楼到操场最近的路线。考点12：用三角尺画30°，45°，90°，90°角【精讲题】（2023秋•渭滨区期末）用一副三角尺不能画出的角。A． B． C． D．【精练题01】（2022秋•岳池县期末）如图是由一副三角板拼成的角，这个角的度数是A． B． C． D．【精练题02】（2022秋•井研县期末）用一副三角板可以画出的角．．（判断对错）【精练题03】（2021秋•威县期末）用一副三角尺画一个的角和一个的角．考点13：线段与角的综合【精讲题】（2023秋•沐川县期末）已知，A． B． C． D．【精练题01】（2024•渭滨区）如图，长方形里面有一个等边三角形，。【精练题02】（2023秋•丰南区期末）如图中，已知，是直角，则，按照这样的方法推理计算，。【精练题03】（2023秋•香洲区期末）如图，，那么。考点14：钟面上的角【精讲题】（2024春•汶上县期末）上午9时整，钟面上时针和分针之间的较小夹角是，到这天上午9时30分，分针顺时针旋转了。【精练题01】（2023秋•涿州市期末）钟面上的时针和分针什么时候会出现锐角、钝角？请动手画一画。【精练题02】（2023秋•五华区月考）根据给定的时间分别在钟面上画出时针和分针，再看看时针和分针组成什么角？【精练题03】（2022秋•黔江区期末）钟面上的角。如图钟面上时针和分针所成的较小的角是角；再过5分钟，时针和分针将形成的较小的角是角；在钟面上，时整，时针和分针将形成平角。基础夯实优选题专练1．∠1是钝角、∠2是锐角，那么∠1-∠2是（）。A．一定是钝角 B．一定是直角C．一定是锐角 D．不可能是平角2．下面各图中，互相垂直的是；互相平行的是。A.B.C.D.E.3．（2024四上·富阳期末）下列说法错误的是（）。A．如下图，量角器量角的方法是正确的。B．左图表示射线DE。C．左图一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫作平角。4．将一张长方形纸对折后正好是一个正方形，将它打开后再如图折叠，得到的这个角是°。5．上图中，OE∥AF，OC⊥AF，EF⊥AF，从o点到直线AF的线段中，最短，这是因为；从图中还可以知道，OCEF。6．如图，射线OA、OB、OC把平面分成两个部分，线段OA绕O点旋转。当A点在区域时，旋转形成锐角；当A点在区域时，旋转形成钝角；要形成一个平角，A点要在。7．（2024四上·滨江）按要求画图。（1）以上图中的线段为底，画一个高是2厘米、一组邻边的夹角是50°的平行四边形。（2）在这个平行四边形中添加一条线段，将它分成两个完全一样的三角形。8．（2024四上·滨江）画一画，数一数。（1）在下图中画出直线AC，射线BC。（2）现在整个图形中有个锐角，个钝角。9．（2024四上·长兴期末）如下图所示。（1）量一量，°，它是一个角。（2）过P点作线段BC的垂线，垂足为O。（3）在格子图中找平行四边形的第四个顶点D，连接AD、CD，画出平行四边形ABC10．（2024四上·慈溪期末）按要求画图。（1）画出射线BA。（2）以B点为顶点，射线BA为一条边，画一个120°的角。（3）过点O画射线BA的垂线。11．（2024四上·柯城期末）（1）如图所示，A点的位置用数对表示为；（2）请你在图中标出B（3，1）点的位置；（3）连接AB，以点A为顶点，在图上画一个135°的角。12．（2023四上·月考）把下面的角的度数分别填在适当的圈里。15°90°35°108°179°91°90°180°13．把下面这些角分别填入适当的框里。14．（2024四上·上城期末）图中直线a、b、c相交于o点，∠1＝30°，∠2＝90°。直线a、b互相垂直吗？请说明理由。15．（2023四上·柯城期中）已知∠1=28°，求∠2和∠5各是多少度？培优优选题专练16．（2024四上·柯城期末）下面时刻钟面上的时针和分针成钝角的是（）。A．6时 B．3时 C．3时半 D．9时半17．（2024四上·郓城期末）下面每组时刻中，钟面上的时针和分针组成的角的大小不同的是（）A．3：00和9：00 B．11：00和1：00C．2：00和10：00 D．4：00和：7：0018．（2024四上·开江期末）把一个长方形的一个角折叠后（如图），已知∠2＝90度，∠1＝（）。A．30度 B．90度 C．25度19．（2023·临平期末）从下午时到下午5时，时针旋转了120度，从17：45到18：15，分针旋转了度。20．（2024四上·长兴期末）如图，将长8厘米、宽4厘米的长方形纸与三角形纸交叉摆放，重叠部分是形，它的高是厘米。如果，那么=°，∠3=°。21．（2023四上·吴兴期末）7时整，时针和分针形成的较小角是角，把这个角分成两个角，如果一个角是90°，那么另一个角是°。22．数一数。个角，条线段。23．（2021四上·菏泽期中）下图中，有条线段，条直线，条射线；共个角。24．（2024四上·奉化期末）按要求画图。（1）画出射线BC。（2）从A点出发画出到射线BC长度最短的线段。25．（2024四上·黄岩期末）（1）量一量，（2）画一条线段，把梯形分成一个三角形和一个平行四边形。24．救护车从医院去病人家抢救病人，从医院到病人家有三条路可走（如图）。为了节省时间，救护车会选择哪条路？为什么？27．如图，AO垂直于BO，CO垂直于DO。请你说明∠COA=∠DOB‍（2023四上·易门月考）不在同一直线上的A、B、C三个点，经过其中的两个点画直线，最多可以画多少条？如杲再增加一个D点，最多可以画多少条？（先画一画，再回答）29．拿出一张正方形纸，将它对折，出现一条折痕，将A角、D角折到刚才出现的折痕上，折出的∠1=90°。那么，∠2为多少度呢？2024-2025学年四年级上册数学举一反三变式拓展（北师大版）第二讲线与角（导图+知识精讲+高频易错点+十四大考点讲练+难度分层练）教学目标知识与技能：学生能够认识直线、线段、射线的概念及特点，并能正确画出它们。学生能够理解角的概念，会用量角器量角和画角，并知道角的大小与两边叉开的大小有关。学生能够认识平角、周角，了解角之间的关系。过程与方法：通过观察、操作、比较等活动，引导学生发现线与角的基本特性，发展空间观念。培养学生独立思考、合作交流的能力，提高学生的数学思维和解决问题的能力。情感态度与价值观：激发学生对线与角的学习兴趣，培养探究精神。引导学生体会数学与生活的密切联系，认识到数学在解决实际问题中的重要作用。教学重难点重点：直线、线段、射线的认识及特点。角的概念、角的度量及角的分类。难点：理解角的大小与两边叉开的大小有关，与边的长短无关。平角、周角的认识及角之间的关系理解。TOC\t"标题2,1"\h\u考点1：直线、线段和射线的认识 5考点2：两点间线段最短与两点间的距离 7考点3：角的概念和表示 8考点4：角的分类（锐角直角钝角） 10考点5：垂直与平行的特征及性质 12考点6：过直线外一点作已知直线的平行线 15考点7：相交与垂直 17考点8：过直线上或直线外一点作直线的垂线 19考点9：角的画法 22考点10：角的度量 24考点11：画指定度数的角 28考点12：用三角尺画30°，45°，90°，90°角 29考点13：线段与角的综合 31考点14：钟面上的角 24基础夯实优选题专练 36培优优选题专练 44知识点01：线的认识直线、射线和线段直线：没有端点，可以向两个方向无限延伸。射线：有一个端点，只能向一个方向无限延伸。线段：有两个端点，不能向两个方向无限延伸，有固定的长度。线的性质过一点可以画无数条直线。过两点只能画一条直线。两点之间线段最短，这条线段的长度叫做这两点间的距离。知识点02：线与线的关系平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。性质：一条直线的平行线有无数条；过线外一点作平行线，只能画一条；两条平行线之间的距离处处相等，两条平行线之间的垂线段就是他们的距离。相交与垂直相交：如果两条直线只有一个公共点，这两条直线叫相交直线。垂直：两条直线相交成直角时，叫做两条直线相互垂直。两条直线互称为对方的垂线。一条直线的垂线有无数条，过线外一点作已知直线的垂线只能画一条。从直线外一点到这条直线所画的垂直线最短，它的长度叫作这点到直线的距离。知识点03：角的认识角的定义由一个顶点引出的两条射线所组成的图形叫做角，角也可以看成是一条射线围绕它的端点旋转而成的。角的分类平角：当角的两边旋转成一条直线时，这时所形成的角叫做平角，等于180度。周角：当角的两边经过旋转重合时，这时所形成的角叫做周角，等于920度。锐角：小于90度的角是锐角。直角：等于90度的角是直角。钝角：小于90度小于180度的角是钝角。角的度量角的度量单位是度，记作“°”。认识量角器：量角器是把半圆平均分成180份，一份表示1度。量角器上有中心点、0刻度线、内刻度线、外刻度线。使用方法：“两合一看”，“两合”是指中心点与角的顶点重合；0刻度线与角的一边重合。“一看”就是要看角的另一边所对的量角器的刻度。易错知识点01：线的认识直线、射线和线段的混淆易错点：学生容易将直线、射线和线段的概念混淆，特别是关于它们能否测量长度以及延伸性质的理解上。解析：直线没有端点，可以向两个方向无限延伸，不能测量长度；射线有一个端点，只能向一个方向无限延伸，也不能测量长度；线段有两个端点，不能向两个方向无限延伸，可以测量长度。过点画直线的理解易错点：学生可能误解为“过一点只能画一条直线”，实际上过一点可以画无数条直线。解析：应明确过一点（非两个点）可以画出无数条直线，而过两点只能画出一条直线。易错知识点02：线与线的关系平行线的理解易错点：学生可能认为平行线只能在同一平面内，但忽视了“不相交”这一关键条件。解析：平行线的定义是在同一平面内，不相交的两条直线。必须同时满足“同一平面”和“不相交”两个条件。垂直线的判断易错点：学生可能错误地认为只要两条直线相交就是垂直，或者认为垂直线只能画一条。解析：垂直线是指两条直线相交成直角，即相交角为90°。一条直线的垂线有无数条，但过线外一点作已知直线的垂线只能画一条。易错知识点03：角的认识角的分类混淆易错点：学生容易将锐角、直角、钝角、平角、周角的定义混淆，特别是小于90°的角不一定是钝角。解析：应明确锐角小于90°，直角等于90°，钝角小于90°且小于180°，平角等于180°，周角等于920°。小于90°的角可能是钝角，也可能是平角或周角。角的大小与边的长短无关易错点：学生可能误认为角的大小与边的长短有关。解析：角的大小是由其张口大小决定的，与边的长短无关。易错知识点04：角的度量量角器的使用易错点：学生在使用量角器时，容易读错刻度或混淆内外刻度。解析：使用量角器时，应确保中心点与角的顶点重合，0刻度线与角的一边重合。读刻度时，注意看角的另一边所对的刻度，并根据开口方向选择内刻度或外刻度。度数的计算易错点：在计算角的度数时，学生可能忽视已知条件或计算错误。解析：在计算角的度数时，应仔细审题，明确已知条件，并按照角的性质进行计算。考点1：直线、线段和射线的认识【精讲题】（2023秋•雨花区期末）下面四个说法中，有个是正确的。①直线是无限长的②小于或等于的角叫锐角③1周角平角直角④将圆平均分成920份，人们把其中的1份所对的角作为度量角的单位A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】①直线没有端点，两边可无限延长；②小于小于的角叫锐角；③1周角，平角，直角，所以1周角平角直角；④将圆平均分成920份，人们把其中1份所对的角作为度量角的单位，是1度，记作。【规范解答】解：①直线没有端点，两边可无限延长，所以直线是无限长的。原题说法是正确的；②小于小于的角叫锐角，所以原题说法是错误的；③1周角，平角，直角，所以1周角平角直角，所以原题说法是正确的；④将圆平均分成920份，人们把其中1份所对的角作为度量角的单位，是1度，记作，所以原题说法是正确的。下面四个说法中，有3个是正确的。故选：。【考点评析】本题考查了有关直线的特征及交的分类和角的度量单位。【精练题01】（2024•驿城区）1条直线；条射线；条线段。【思路点拨】直线没有端点，两边可无限延长；射线有一端有端点，另一端可无限延长；线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度。【规范解答】解：上图有1条直线，10条射线，10条线段。故答案为：1，10，10。【考点评析】本题考查了直线、射线及线段的特征。【精练题02】（2023秋•韩城市期末）如图，有、、三个点，请按要求画一画。（1）画出直线。（2）画出射线和射线。【思路点拨】（1）直线没有端点，两边可无限延长；（2）射线有一端有端点，另一端可无限延长。【规范解答】解：【考点评析】此题主要考查直线、射线的特征。【精练题03】（2023秋•鹤城区期末）（1）在方格纸上画出射线，并从点起在射线上截取一条长2厘米的线段。（2）在方格纸上画出平行四边形和梯形指定底边上的高。【思路点拨】（1）以点为端点，过点画一条直的线即可得到射线，再在射线上取一点，使等于2厘米即可。（2）从平行四边形指定的底边的对边上一点作底边的垂线段，即为平行四边形指定底边上的高；从梯形指定的底边的对边上一点作底边的垂线段，即为梯形指定底边上的高。【规范解答】解：（1）（2）见下图：【考点评析】本题考查了射线及线段的特征及平行四边形和梯形的特征。考点2：两点间线段最短与两点间的距离【精讲题】（2023秋•峄城区期末）从学校到附近一条笔直的公路有四条小路，长度分别是376米、245米、308米、521米，其中有一条与公路互相垂直，这条小路的长是A．376米 B．245米 C．308米 D．521米【思路点拨】有一条小路与公路互相垂直，那么这条小路到公路的距离是最短的，比较4个数据的大小即可解答。【规范解答】解：521米米米米答：这条小路长245米。故选：。【考点评析】本题考查了点倒直线的距离，线段最短。【精练题01】（2023秋•夏邑县期末）笑笑要从家到公园去玩，如图的三条路线，走路线最节省时间。A．① B．② C．③【思路点拨】根据两点之间线段最短可知，笑笑要从家到公园的三条路线，笑笑走路线②最近，也就最节省时间。据此解答即可。【规范解答】解：笑笑要从家到公园去玩，如图的三条路线，走路线②最节省时间。故选：。【考点评析】本题考查了两点之间线段最短知识，结合题意分析解答即可。【精练题02】（2023秋•龙华区期中）投沙包比赛，三位同学站在投掷点往投掷线外投出去，体育老师测量沙包的落地点到投掷点的距离就是同学们的投掷成绩。如图是三位同学投掷沙包落地点的示意图，成绩最好的是A．淘气 B．笑笑 C．奇思 D．无法判断【思路点拨】要看谁的成绩最好，就是看沙包落地点到投掷线的垂直距离哪个长，奇思的沙包落地点在第三道横虚线处，与投掷线的距离小于其他两人，据此解答即可。【规范解答】解：奇思的沙包落地点在第三道横虚线处，淘气的沙包落地点在接近第三道横虚线处，笑笑的沙包落地点在第二道横虚线处，奇思的沙包落地点与投掷线的距离小于其他两人，奇思的沙包投的最远，所以成绩最好的是奇思。故选：。【考点评析】解答此题的关键是明确成绩是由落地点到投掷线的垂直距离大小决定的。【精练题03】（2022秋•莒县期末）周末，小明去奶奶家做客，写作业时发现忘记带练习本，他到乙商店购买距离最近，理由是：。【思路点拨】因为点到直线的所有连线中，垂线段最短，由此进行解答即可。【规范解答】解：小明去奶奶家做客，写作业时发现忘记带练习本，他到乙商店购买距离最近，理由是：从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂线段最短。故答案为：乙，从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂线段最短。【考点评析】此题考查两点之间，垂线段最短的简单应用。考点3：角的概念和表示【精讲题】（2023秋•罗甸县期末）下列说法正确的是A．平角的两条边在一条直线上 B．小于的角都是钝角 C．一条直线长200米 D．平行四边形只有1条高【思路点拨】角有两条边一个顶点，平角的两边在一条直线上；钝角小于90度小于180度；直线没有端点，两边可无限延长；平行四边形有无数条高，据此解答。【规范解答】解：平角的两条边在一条直线上，说法正确；小于小于的角都是钝角，原题说法错误；一条线段长200米，原题说法错误；平行四边形有无数条高，原题说法错误。故选：。【考点评析】本题考查了平角的特征、钝角的特征、直线的特征、平行四边形的特征。【精练题01】（2023秋•鹤城区期末）同学们在操场上进行队列练习，当他们原地向左转时，转过一个直角；原地向后转时，转过一个角。【思路点拨】根据题意，原地向左转，是向左转动，即转过一个直角；原地向后转时，是从前转到后，前后成一条直线，所转过的角度是，即转过一个平角。据此解答。【规范解答】解：根据分析可知：当他们原地向左转时，转过一个直角；原地向后转时，转过一个平角。故答案为：直，平。【考点评析】本题考查了旋转的应用。【精练题02】（2023秋•顺义区期末）先找角，再画角。①把一张半圆形的纸（如图）对折两次，打开后可以找到多少度的角？（写在下面的空白处）②画出以上各角。【思路点拨】①半圆形的纸对折两次，是把180度的平角平均分成4份，据此利用除法计算；②把扇形平均分成4份，据此画图即可。【规范解答】解：①答：打开后可以找到45度、90度和135度的角。②【考点评析】本题考查了平角的特征及图形的划分。【精练题03】（2022秋•中原区月考）思思用一副三角尺拼出一个钝角。先想一想思思是怎么拼的，再填一填，画一画。思思可以把30角和角拼在一起，在上面量角器上把拼出的这个钝角画出来。【思路点拨】钝角小于90度的直角，小于180度的平角，可以画一个直角和一个锐角即可得到钝角，答案不唯一。【规范解答】解：如图：故答案为：30，。【考点评析】本题考查了钝角的特征。考点4：角的分类（锐角直角钝角）【精讲题】（2023秋•崇川区期末）如图，汽车经过收费亭时，转杆会慢慢地升起。转杆升起的过程中，与竖杆形成的角的变化情况为A．直角钝角周角 B．锐角直角钝角 C．直角钝角平角 D．锐角钝角直角【思路点拨】小于的角是锐角，的角是直角，小于小于的角是钝角，的角是平角，的角是周角，据此解答。【规范解答】解：转杆升起的过程中，与竖杆形成的角的变化情况为直角钝角平角。故选：。【考点评析】本题考查了角的分类及大小比较。【精练题01】（2024•驿城区）4个锐角；个钝角；个直角。【思路点拨】规定平角的一半是，直角的两边互相垂直。规定小于的角为钝角，小于的角为锐角。【规范解答】解：4个锐角；2个钝角；3个直角。故答案为：4，2，3。【考点评析】本题考查了角的分类。【精练题02】（2023秋•中原区期末）郑州的张爷爷每年都要坐高铁参加山东潍坊国际风筝节。为了坐得最舒适，如图座椅的靠背应调节到什么位置？画一画。【思路点拨】图中的角是一个直角，直角等于90度，是小于直角的钝角，利用量角器测量即可。【规范解答】解：如图：【考点评析】本题考查了角的分类特征。【精练题03】（2023秋•密云区期末）如图中的角是90度。请你在下面画出一个角，这个角的度数与如图角的度数合起来是平角。【思路点拨】看一下角的两边度数是多少，利用大度数减去小度数即可，平角等于180度，利用180度减去图中的角的度数即可求出所画角的度数；先画一条射线使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合；在量角器角刻度线的地方点一个点；以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成一个的角。【规范解答】解：因此图中的角是90度。如图：故答案为：90。【考点评析】本题考查了角的度量方法及角画法。考点5：垂直与平行的特征及性质【精讲题】（2023秋•磐石市期末）下面图形中，能正确表示出平行、垂直和相交关系的是A． B． C．【思路点拨】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。在同一个平面内，两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。同一平面内两条直线的位置关系只有两种，不是相交就是平行，垂直是相交的特殊情况，据此解答。【规范解答】解：同一平面内两条直线的位置关系只有两种，不是相交就是平行，垂直是相交的特殊情况，所以最能表示出平行、垂直和相交关系。故选：。【考点评析】此题考查了垂直与平行的特征和性质，要熟练掌握。【精练题01】（2023秋•潜江期末）如图，互相平行的线有和；与直线互相（填平行或垂直）；点与直线的连线中，最短的线段是。【思路点拨】根据平行线和互相垂直的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；在同一平面内，当两条直线相交成90度时，这两条直线互相垂直；从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。据此进行解答。【规范解答】解：根据分析可知：互相平行的线有和；与直线互相垂直；点与直线的连线中，最短的线段是。故答案为：，，垂直，。【考点评析】本题考查了垂直和平行的性质。【精练题02】（2023秋•锦州期末）沙包投掷练习时，同学们站在起掷线原地投掷，沙包落地点到起掷线的距离为同学们的成绩。如图是三个同学投掷沙包的示意图，小红的成绩为200厘米。（1）在图中分别画出表示小军和小丽沙包落地点到起掷线距离的线段。（2）小丽的成绩最好，是厘米。【思路点拨】（1）连接小军和小丽沙包落地点到起掷线距离的线段，就是从落地点到起掷线作垂线。（2）标出3人的成绩，比较大小即可。【规范解答】解：（1）（2）从图上可知：小军的成绩为50厘米，小丽的成绩为180厘米。答：小丽的成绩最好，是180厘米。故答案为：小丽，180。【考点评析】本题考查了画垂线的方法及比较数的大小。【精练题03】（2023秋•孝义市期中）用不同的颜色的笔涂一涂。（1）在图中分别描出一个锐角、直角、钝角、平角。（2）在图中分别描出一组互相垂直、互相平行的线。（3）在图中分别描出一条线段、直线、射线。【思路点拨】（1）根据角的度数判断角的种类，锐角小于0度小于90度，直角等于90度，钝角小于90度小于180度；（2）两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线；（3）直线没有端点，两边可无限延长；射线有一端有端点，另一端可无限延长；线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度。【规范解答】解：如图：（1）；（2）；（3）。（答案不唯一）【考点评析】本题考查了角的分类；直线、射线及线段的特征和平行和垂直的意义。考点6：过直线外一点作已知直线的平行线【精讲题】（2023秋•信阳期末）按要求画一画。（1）过点作一条直线与已知射线平行。（2）以为顶点，已知射线为一条边，画一个的角。【思路点拨】（1）用三角板的一条直角边和射线重合，移动三角板使另一条直角边和点重合，用直尺靠紧和点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过点画直线即可。（2）使量角器的中心和点重合，零刻度线和已知射线重合，在量角器角刻度线的地方点一个点；以点为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成一个的角。【规范解答】解：（角的画法不唯一）【考点评析】本题考查画指定的角，过直线外一点画已知直线的平行线。熟练掌握方法是解决本题的关键。【精练题01】（2023秋•涿州市期末）过点作直线的平行线，过点作直线的垂线。【思路点拨】（1）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和点重合，过点沿三角板的直角边画直线即可。（2）用三角板的一条直角边和已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和点重合，过点沿直角边向已知直线画直线即可。【规范解答】【考点评析】本题考查了学生画平行线和垂线的能力。【精练题02】（2023秋•怀宁县期末）经过点铺一根水管，要求水管与公路平行，请把水管画出来。【思路点拨】根据平行线的性质，过直线外一点作已知直线的平行线，能作且只能作一条。用三角板的一条直角边和已知公路重合，移动三角板使另一条直角边和点重合，用直尺靠紧和点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过点画直线即可。【规范解答】解：如图：【考点评析】本题考查了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，结合题意分析解答即可。【精练题03】（2023秋•渝水区期末）过点画射线的垂线，再过点画射线的平行线。【思路点拨】先将直尺与重合，然后向点平移，与点重合后，再作过点的直线即为的平行线；用直角三角形的一条直角边与重合，另一条直角边与点重合，然后过点作的垂线。【规范解答】解：所作图形如下：【考点评析】此题主要考查过直线外一点作直线的平行线或垂线。考点7：相交与垂直【精讲题】（2023秋•怀来县期末）在同一个平面内，两条直线相交，如果一个角是，那么与它相邻的角是。【思路点拨】因为这个已知的角和它相邻的角组成一个平角，所以用减去即可求出和它相邻的角的度数。【规范解答】解：答：与它相邻的角是。故答案为：。【考点评析】本题主要是利用平角的意义解决问题，关键是明确这个已知的角和它相邻的角组成一个平角。【精练题01】（2023秋•开江县期末）语文课本的封面，相对的两条边是相互平行的，相邻的两条边是相互的．【思路点拨】数学书的封面是长方形，根据长方形的特征，对边平行且相等，4个角都是直角．由此解答．【规范解答】解：根据长方形的特征，对边平行且相等，4个角都是直角．因此，数学书的封面相对的两条边互相平行，相邻的两边互相垂直的；故答案为：平行，垂直．【考点评析】此题主要考查长方形的特征，对边平行且相等，4个角都是直角，据此解决问题．【精练题02】（2021秋•柳州期末）2021年10月16日神舟十三号载人飞船成功发射，它被送入太空的“近地点”高度二十万米，横线上的数写作200000；“远地点”高度359000米，横线上的数读作，这个数中的“5”表示5个，359000米省略万后面的尾数约是万米。神舟十三号成功完成径向交会对接，小思把它们的位置画了下来（如图），中国空间站和神舟十三号的位置关系是互相。【思路点拨】根据整数的写法：从高位写起，一级一级的往下写，哪个数位上是几就写几，如果哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0来表示。读这个数时，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零，然后根据数的组成进行填空即可。找出”5“对应的数位，即可得出答案。省略万后面的尾数“四舍五入”到万位要看千位。从图上可得：中国空间站和神舟十三号之间的夹角是，所以它们的位置关系是互相垂直。【规范解答】解：2021年10月16日神舟十三号载人飞船成功发射，它被送入太空的“近地点”高度二十万米，横线上的数写作200000；“远地点”高度359000米，横线上的数读作三十五万六千，这个数中的“5”表示5个万，359000米省略万后面的尾数约是36万米。神舟十三号成功完成径向交会对接，小思把它们的位置画了下来（如图），中国空间站和神舟十三号的位置关系是互相垂直。故答案为：200000，三十五万六千，万，36，垂直。【考点评析】本题考查学生对整数读写法和近似数的掌握和运用，本题还涉及到垂直的位置关系，要求学生熟记垂直的定义。【精练题03】（2023秋•谯城区校级月考）某公园中由广场到秀园路修了、两条路，但人们总喜欢在草坪中走出这样一条路。你能利用所学知识解释产生这一现象的原因吗？如果你是草坪管理员，你会给公园设计师提什么建议？【思路点拨】从直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短，接下来根据垂线段的性质，并结合已知，进行分析，即可解答。【规范解答】解：因为是从广场到秀园路最近的一条路。建议公园设计师在草坪中设计一条这样的路，方便人们行走。（建议合理即可）。【考点评析】本题是一道关于垂线段应用的题目，解答本题的关键是掌握垂线段的性质。考点8：过直线上或直线外一点作直线的垂线【精讲题】（2023秋•孝昌县期末）根据所给的射线作为角的一条边，画出一个的角；过点分别画出这个角的两条边的垂线。【思路点拨】根据角的画法，所给的射线作为角的一条边，画出一个的角即可；然后根据过一点作直线的垂线的方法，过点分别画出这个角的两条边的垂线即可。【规范解答】解：所给的射线作为角的一条边，画出一个的角；过点分别画出这个角的两条边的垂线。如图：【考点评析】本题考查角的画法以及过一点作直线的垂线的方法，结合题意分析解答即可。【精练题01】（2023秋•洪泽区期末）过点画的平行线，再过点画的垂线。【思路点拨】把三角板的一条直角边与重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和重合的直角边和点重合，过点沿三角板的直角边画直线即可；把三角板的一条直角边与重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和点重合，过点沿三角板的直角边，向画直线即可。【规范解答】解：【考点评析】本题考查了学生平行线和垂线的作法，培养学生的作图能力。【精练题02】（2023秋•黄州区期末）分别过点画的垂线。【思路点拨】过直线上或直线外一点作垂线的步骤：1、把三角尺的一条直角边与已知直线重合。2、沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。3、沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。【规范解答】解：【考点评析】经直线外（或直线上）一点作已知直线的垂线，关键是三角板的正确、熟练使用，画垂线要标出垂足。【精练题03】（2023秋•溧阳市期末）有一个四边形（如图）。（1）经过点向边画垂线。（2）经过点画的平行线。（3）量出115。（4）量出点到边的距离是毫米。【思路点拨】（1）过直线外一点作已知直线的垂线的方法是：把三角板的一直角边与已知直线重合，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过已知点时，沿这条直角边画直线，这条直线就是经过直线外一点的这条直线的垂线。（2）过直线外一点作已知直线的平行线的方法是：把三角板的一边与已知直线重合，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线，这条直线就与已知直线平行；。（3）角的度量方法：量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。【规范解答】解：（1）（2）如图：（3）经测量。（4）点到边的距离是如图垂线的距离答：经测量点到边的距离是20毫米。故答案为：（3）；（4）20。【考点评析】本题考查了学生动手操作的能力。考点9：角的画法【精讲题】（2022秋•汉南区期末）明明用一副三角板拼出了几个钝角，想一想：他是怎么拼的？然后在下边的量角器上画出其中一个钝角。【思路点拨】钝角小于90度小于180度，一副三角板的六个角共有四个度数，，，，，然后进行加法运算，找到符合条件的角。然后利用量角器画钝角即可。【规范解答】解：一共可以拼出4种钝角。如图：（画法不唯一）【考点评析】本题考查了钝角的特征、三角板的认识及量角器的使用。【精练题01】（2019秋•盐城期末）①量一量，90。②以为定点，画一个比大的角。（测量结果保留整十数）【思路点拨】①把量角器的中心与的顶点重合，刻度线与其中一边重合，另一边所指的度数就是的度数（注意，刻度线与另一边所指的度数是指量角器的同一圈刻度）。②的度数加就是要画角的度数，把量角器的中心与点重合，刻度线与已知边重合，过该角的度数所指的刻度，画以点为端点的射线，已知边与所画射线所夹的角就是所画的角。也可以的一边为边，在的外面画一个的，两角的和就是所画的角。【规范解答】解：①。②【考点评析】用量角器量角或画角，量角器的正确、熟练使用是关键。【精练题03】（2021秋•舞钢市期末）（1）以点为顶点，用你自己喜欢的方法以为角的一条边，画一个的角。（2）经过点画出边的平行线和垂线。（3）量一量，点到边的距离是3厘米。（取整厘米）【思路点拨】（1），的角既可用量角器画，也可用三角板中角和角画。（2）把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线紧靠的一边经过已知点时，沿这边画直线，这条直线就是经过点画出的边的平行线；把三角板的一直角边靠紧直线，沿直线滑动三角板，当另一直角边经过已知点时，沿这条直角边画直线，这条直线就是经过点画出的边的垂线。（3）用刻度尺即可量出点到边的距离（点到垂足间的线段的长度）。【规范解答】解：（1）以点为顶点，用你自己喜欢的方法以为角的一条边，画一个的角（如图）。（2）经过点画出边的平行线（如图红线）和垂线（如图绿线）。（3）点到边的距离是3厘米。故答案为：3。【考点评析】此题考查的知识点：画角、过已知直线外一点作已知直线的平行线和垂线、点到直线的距离、线段的度量等。【精练题03】（2022秋•临泉县期中）连一连。【思路点拨】根据锐角、钝角、直角、平角的含义进行解答：锐角：小于小于的角；钝角：小于小于的角；直角：等于的角；平角：等于的角；周角是等于的角，据此解答即可。【规范解答】解：解答如下：【考点评析】此题考查了角的分类知识，理解和掌握锐角、钝角、直角、平角、周角的含义，是解答此题的关键。考点10：角的度量【精讲题】（2023秋•崇川区期末）如图，用一个损坏的量角器量角，所量的角是。A．30 B．45 C．90 D．90【思路点拨】根据对量角器的了解，内圈，即外圈，用量角器外圈与角的一边重合大的刻度减去量角器外圈与角的一边重合小的刻度，可得出角的度数。【规范解答】解：答：所量的角是。故选：。【考点评析】本题考查了角的度量知识，结合量角器的使用方法解答即可。【精练题01】．（2023秋•玄武区期末）如图是某街区的示意图。（1）用量角器量出90。（2）解放路在胜利小学的西北面，与和平路平行，并且在图上量得胜利小学与解放路的距离是1厘米。在图上利用一条直线表示解放路。（3）胜利小区铺设天然气管道，主管道在华山路，怎么铺最节省材料？把它画出来。【思路点拨】（1）根据角的度量方法，用量角器量出的度数即可。（2）根据“上北下南左西右东”的图上方向，结合长度测量的方法以及平行线知识，解答即可。（3）根据点到直线之间，垂线段最短，解答即可。【规范解答】解：（1）用量角器量出。（2）解放路在胜利小学的西北面，与和平路平行，并且在图上量得胜利小学与解放路的距离是1厘米。在图上利用一条直线表示解放路。如图：（3）胜利小区铺设天然气管道，主管道在华山路，想要最节省材料，把它画出来，如图：故答案为：90。【考点评析】本题考查了角的度量、方向与位置、平行线的画法以及点到直线之间，垂线段最短知识，结合题意分析解答即可。【精练题02】（2023秋•十堰期末）请你在下面的方格纸上按要求量一量，画一画。（每个小方格的边长表示（1）量出方格纸中角的度数，并在图上标出来。（2）以这个角的两条边为一组邻边，画一个平行四边形，并画出它的高。【思路点拨】角的度量方法：量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐；量角器的0刻度线和角的一条边对齐；做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度；看刻度要分清内外圈。有两组对边平行的四边形叫平行四边形，由此画出平行四边形。根据平行四边形的高的意义，从任一顶点作它对边的垂线段，这条垂线就叫高，据此画出即可。【规范解答】解：（高的画法不唯一）【考点评析】本题考查了角的度量，平行四边形的画法及平行四边形的高的画法。【精练题03】．（2023秋•鼓楼区期末）写出下面角的度数。【思路点拨】根据各图形中已知的角的度数，灵活求出各角的度数：中把钟面看作周角，一共平均分成了12个大格，每个大格的度数为，所求的角有两个大格，用乘2即可；中所求的角是由三角板上角和角组合而成，所以用加即可；中所求的角由一个直角和直角的一半组成，所以用加上的商即可；中所求的角和角组成直角，所以用减即可。【规范解答】解：由分析可知：；所以，角的度数分别为：；；；。故答案为：90；120；135；15。【考点评析】本题考查的是角的度量的应用。考点11：画指定度数的角【精讲题】（2023秋•宿城区期末）下面不能用一副三角板画出的角是A． B． C． D．【思路点拨】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：、、，另一个三角尺的三个角的度数分别为：、、，据此结合题意分析解答即可。【规范解答】解：．，因此能用一副三角板画出的角。．不能用一副三角板画出的角。．，因此能用一副三角板画出的角。．，因此能用一副三角板画出的角。故选：。【考点评析】本题考查了角的拼组知识，结合题意分析解答即可。【精练题01】（2023秋•历城区期末）芳芳同学要用一副三角尺画一个的角，她可以怎样去选择这副三角尺上的角来画呢？请你帮芳芳用算式表示出画角的思路：，所以可以先用三角尺画一个的角，然后以这个的角的一边为边，用三角尺在30度角的同一侧画一个的角，两个角的差就是。。【思路点拨】一副三角尺中的角的度数分别是，，，，用它们进行拼组画一个的角即可。【规范解答】解：，所以可以先用三角尺画一个的角，然后以这个的角的一边为边，用三角尺在30度角的同一侧画一个的角，两个角的差就是。【考点评析】本题考查了图形拼组知识，结合题意分析解答即可。【精练题02】（2023秋•峄城区期末）操作。（1）过点画射线的垂线。（2）以点为顶点，以射线为一条边，画一个的角并标上角的度数。【思路点拨】（1）过直线外一点画垂线的方法：把三角尺的一条直角边与射线重合，让三角尺的另一条直角边通过点，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是射线的垂线。（2）首先把量角器放在所画角的上面，使量角器的中心和射线的端点点重合，零刻度线和射线重合，在量角器的地方点一个点，然后以量角器的中心为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角。【规范解答】解：（1）过点画射线的垂线。如图：（2）以点为顶点，以射线为一条边，画一个的角并标上角的度数。如图：【考点评析】本题考查了过直线外一点画垂线的方法以及角的画法，结合题意分析解答即可。【精练题03】（2023秋•潜江期末）画一画。（1）以为顶点，画一个的角。（2）画出从教学楼到综合楼最近的路；画出从教学楼到操场最近的路线。【思路点拨】（1）根据角的画法，以为顶点，画一个的角即可。（2）根据两点之间，线段最短，画出从教学楼到综合楼最近的路；根据点到直线之间垂线段最短，画出从教学楼到操场最近的路线即可。【规范解答】解：（1）以为顶点，画一个的角。如图：（2）画出从教学楼到综合楼最近的路；画出从教学楼到操场最近的路线。如图：【考点评析】本题考查角的画法以及点到直线之间垂线段最短知识，结合题意分析解答即可。考点12：用三角尺画30°，45°，90°，90°角【精讲题】（2023秋•渭滨区期末）用一副三角尺不能画出的角。A． B． C． D．【思路点拨】一副三角尺中的各个角的度数分别是、、、。将它们进行组合，可得到的角有，，，，，。据此解答。【规范解答】解：．，一副三角尺能画出的角。．一副三角尺不能画出的角。．，一副三角尺能画出的角。．，一副三角尺能画出的角。故选：。【考点评析】本题考查了图形拼组知识，结合三角尺的认识解答即可。【精练题01】（2022秋•岳池县期末）如图是由一副三角板拼成的角，这个角的度数是A． B． C． D．【思路点拨】一副三角板的角有，，，，由此分析看是由哪些角拼成，据此解答即可。【规范解答】解：由图知，是用45度和90度的角拼得。答如图，一副三角板拼成的角的度数是。故选：。【考点评析】本题考查了学生用一副三角板拼组角知识的掌握情况，根据题意解答即可。【精练题02】（2022秋•井研县期末）用一副三角板可以画出的角．．（判断对错）【思路点拨】先分清一副三角尺各个角的度数分别为、、、，然后将各个角相加或相减即可得出答案：如：由此即可画图，解答判断即可．【规范解答】解：根据题干分析可以画角如下：所以“用一副三角板可以画出的角”的说法是正确的．故答案为：．【考点评析】本题主要考查利用三角板画出特殊度数的角的能力．【精练题03】（2021秋•威县期末）用一副三角尺画一个的角和一个的角．【思路点拨】①用三角尺上的角，画一个角，再在这个画的角的外部，用三角尺上的角同角的在顶点重合，一条边重合，画出的角，则这两个角拼成的角就是；②一副三角板中，不等腰的三角板的角有、、，等腰直角三角板的角有、，用它们进行拼组，看是否能得出即可．据此作图解答．【规范解答】解：①由分析画图如下：②【考点评析】本题考查了学生利用三角尺上的角进行组合后画角的能力．考点13：线段与角的综合【精讲题】（2023秋•沐川县期末）已知，A． B． C． D．【思路点拨】根据题意，和组成了平角，平角是180度的角，的度数已知，要求的度数，用减法计算，据此解答。【规范解答】解：已知，。故选：。【考点评析】本题考查平角的度数以及角的计算，熟练掌握并灵活运用。【精练题01】（2024•渭滨区）如图，长方形里面有一个等边三角形，45。【思路点拨】现根据三角形的内角和是180度，长方形的每个内角都是90度，用180度减去15度，再减去90度，求出直角三角形的另一个锐角的度数，根据平角是180度，用180度减去直角三角形的另一个锐角，再减去等边三角形的一个角的度数即可解答。【规范解答】解：故答案为：45。【考点评析】熟练掌握三角形的内角和、等边三角形的特征以及平角是180度是解题的关键。【精练题02】（2023秋•丰南区期末）如图中，已知，是直角，则，按照这样的方法推理计算，。【思路点拨】用平角的度数减去直角和的度数，即可求出的度数；用平角的度数减去直角和的度数，即可求出的度数；用平角的度数减去的度数，即可求出的度数。【规范解答】解：答：，，。故答案为：【考点评析】本题考查角度的计算，理解平角和直角的度数是解决本题的关键。【精练题03】（2023秋•香洲区期末）如图，，那么90。【思路点拨】如图：根据长方形的角是直角，可知，，所以，据此解答即可。【规范解答】解：，，所以故答案为：90。【考点评析】本题考查角度的计算，理解长方形的角是直角是解决本题的关键。考点14：钟面上的角【精讲题】（2024春•汶上县期末）上午9时整，钟面上时针和分针之间的较小夹角是90，到这天上午9时30分，分针顺时针旋转了。【思路点拨】首先根据钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12分，可得每个大格是；上午9时整时，分针指向12，时针指向9，中间有3个大格，每个大格之间的夹角是，用乘法可求出较小夹角的度数；到上午9时30分，分针从12指向6，经过了6个大格，据此可得分针旋转的度数。【规范解答】解：上午9时整时，分针指向12，时针指向9，中间有3个大格，每个大格之间的夹角是，所以3个大格之间的度数是，即上午9时整，钟面上时针和分针之间的较小夹角是；到上午9时30分，分针指向6，从9时到9时30分，分针经过了6个大格，即分针顺时针旋转了。故答案为：90；180。【考点评析】本题主要考查钟面上的时针和分针夹角的求法，掌握钟面的特征是解题的关键。【精练题01】（2023秋•涿州市期末）钟面上的时针和分针什么时候会出现锐角、钝角？请动手画一画。【思路点拨】钟面上一个大格为，根据角的分类，画上相应的时间即可。（答案不唯一）【规范解答】解：（答案不唯一）【考点评析】本题考查钟面上角的认识以及角的分类。【精练题02】（2023秋•五华区月考）根据给定的时间分别在钟面上画出时针和分针，再看看时针和分针组成什么角？【思路点拨】时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是。3时整，时针指向3，分针指向12，时针和分针之间有4个大格，则时针和分针的夹角是。1时整，时针指向1，分针指向12，时针和分针之间有1个大格，则时针和分针的夹角是。6时整，时针指向6，分针指向12，时针和分针之间有6个大格，则时针和分针的夹角是。5时整，时针指向5，分针指向12，时针和分针之间有5个大格，则时针和分针的夹角是。据此画出时间并根据角的大小判断角的形状。【规范解答】解：如下图所示：【考点评析】钟面上每个大格是，时针和分针之间有几个大格，夹角就是几个，这是解题的关键。【精练题03】（2022秋•黔江区期末）钟面上的角。如图钟面上时针和分针所成的较小的角是钝角；再过5分钟，时针和分针将形成的较小的角是角；在钟面上，时整，时针和分针将形成平角。【思路点拨】钟面上一个大格的度数是，根据角的分类进行解答即可。【规范解答】解：如图钟面上时针和分针所成的较小的角是钝角；再过5分钟，时针和分针将形成的较小的角是直角；在钟面上，6时整，时针和分针将形成平角。故答案为：钝；直；6。【考点评析】本题考查钟面上角的认识基础夯实优选题专练1．∠1是钝角、∠2是锐角，那么∠1-∠2是（）。A．一定是钝角 B．一定是直角C．一定是锐角 D．不可能是平角【答案】C【规范解答】解：∠1-∠2可能是钝角、可能是直角、可能是锐角，不可能是平角。

。

【思路点拨】小于90°的角叫锐角；小于90°小于180°的角叫做钝角；等于90°的角是直角；1平角=180°。2．下面各图中，互相垂直的是；互相平行的是。A.B.C.D.E.【答案】C；A、E【规范解答】解：互相垂直的是D；互相平行的是A、E。

；A、E。

【思路点拨】在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线叫做互相垂直；在同一平面内不相交的两条直线，叫做互相平行。3．（2024四上·富阳期末）下列说法错误的是（）。A．如下图，量角器量角的方法是正确的。B．左图表示射线DE。C．左图一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫作平角。【答案】D【规范解答】解：A、角的顶点与量角器的中心点对齐，角的一条边与0刻度线对齐，所以量角器量角的方法是正确的，说法正确；

B、左图表示射线ED，而不是DE，说法错误；

C、一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫做平角，说法正确。

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【思路点拨】A、量角：①角顶点与量角器的中心点对齐；②角的一条边与量角器的零刻度线对齐；③沿零刻度线所指方向的刻度找到角的另一条边，另一条边对齐刻度几，角就是几度；

B、射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这点叫做射线的端点，表示方法：端点开头，另一点表示射线延伸的方向，如端点是E，D点表示射线是向右延伸的，所以表示射线ED；

C、一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫做平角。4．将一张长方形纸对折后正好是一个正方形，将它打开后再如图折叠，得到的这个角是°。【答案】135【规范解答】解：45°+90°=135°，得到的这个角是135°。

故答案为：135。

【思路点拨】直角一半的度数+直角=得到的这个角的度数。5．上图中，OE∥AF，OC⊥AF，EF⊥AF，从o点到直线AF的线段中，最短，这是因为；从图中还可以知道，OCEF。【答案】OC；垂直于同一条直线的两直线平行；平行【规范解答】解：从o点到直线AF的线段中，OC最短，这是因为两点之间，线段最短；

从图中还可以知道，OC平行EF。

故答案为：OC；两点之间，线段最短；平行。

【思路点拨】垂直于同一条直线的两直线平行。6．如图，射线OA、OB、OC把平面分成两个部分，线段OA绕O点旋转。当A点在区域时，旋转形成锐角；当A点在区域时，旋转形成钝角；要形成一个平角，A点要在。【答案】AOB；BOC；射线OA的反向延长线上【规范解答】解：当A点在AOB区域时，旋转形成锐角；

当A点在BOC区域时，旋转形成钝角；

要形成一个平角，A点要在射线OA的反向延长线上。

OB；BOC；射线OA的反向延长线上。

【思路点拨】小于90°的角叫锐角；小于90°小于180°的角叫做钝角；一个角的两条边在一条直线上时，所成的角是平角。7．（2024四上·滨江）按要求画图。（1）以上图中的线段为底，画一个高是2厘米、一组邻边的夹角是50°的平行四边形。（2）在这个平行四边形中添加一条线段，将它分成两个完全一样的三角形。【答案】（1）解：（2）解：【思路点拨】（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，其中有保存进入下一题一组对角是50°；

（2）画出平行四边形的一条对角线，把平行四边形分成了两个完全一样的三角形。8．（2024四上·滨江）画一画，数一数。（1）在下图中画出直线AC，射线BC。（2）现在整个图形中有个锐角，个钝角。【答案】（1）解：（2）4；3【规范解答】解：（2）图中，∠1、∠2、∠3、∠4是锐角，共4个；∠5、∠6、∠7是钝角，共3个。

故答案为：（2）4；3。

【思路点拨】（1）直线没有端点，射线有一个端点，据此画出图形；

（2）锐角＜直角＜钝角＜180°，则∠1、∠2、∠3、∠4是锐角，共4个；∠5、∠6、∠7是钝角，共3个。9．（2024四上·长兴期末）如下图所示。（1）量一量，°，它是一个角。（2）过P点作线段BC的垂线，垂足为O。（3）在格子图中找平行四边形的第四个顶点D，连接AD、CD，画出平行四边形ABC【答案】（1）135；钝（2）解：如图：

（3）解：如图：

【思路点拨】(1)用量角器的中心点与B点重合，零刻度线对准角的一条边，另外一条边对准的刻度就是角的度数；小于0°小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，小于90°小于180°的角是钝角；(2)直角三角板的一条直角边与边BC对齐，将三角板在BC边上移动，当另一条直角边与点P重合时，沿着另一条直角边画过P点的线段BC的垂线，垂足为O。(3)根据平行四边形对边平行且相等找到点D，再连接AD、CD即可。10．（2024四上·慈