安徽省阜阳市临泉县田家炳实验中学2025届高三上学期12月月考数学试题（含答案）

1PAGE第12页高三12月考试卷数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.设集合，则（）A. B.C. D.2.已知复数z满足4且，则的值为A.﹣1 B.﹣22019 C.1 D.220193.在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（）A. B. C. D.4.已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（）（参考数据：取）A.第6天 B.第7天 C.第8天 D.第9天5.已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，M为四棱锥内切球表面上一点，则点M到直线距离的最小值为（）A B. C. D.6.已知是定义在上单调递增且图像连续不断的函数，且有，设，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.7.已知抛物线C：的焦点为，过作不与轴垂直的直线交于两点，设的外心和重心的纵坐标分别为（是坐标原点），则的值为（）A.1 B. C. D.8.已知函数，，若成立，则最小值为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9.记函数的最小正周期为，若，且在上的最大值与最小值的差为3，则（）A. B.C.在区间上单调递减 D.直线是曲线的切线10.已知数列各项均为负数，其前项和满足，则（）A.数列的第项小于 B.数列不可能是等比数列C.数列为递增数列 D.数列中存在大于的项11.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的是（）A.若平面是面积为的等边三角形，则B.若，则C.若，则球面的体积D.若平面直角三角形，且，则第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.甲乙两个盒子中装有大小、形状相同的红球和白球，甲盒中有5个红球，2个白球；乙盒中有4个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，则从乙盒中取出的是红球的概率为______.13.展开式中的常数项是120，则实数______．14.若，则的最小值为___________.四、解答题（本题共5小题，共77分）15.若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且．（1）求角大小；（2）求的取值范围16.如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且．（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．17.2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：不太了解比较了解合计男生204060女生202040合计4060100（1）判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；（2）若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为，求的分布列及.附：①，其中；②当时有95%把握认为两变量有关联.18.抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知点为抛物线的焦点，为坐标原点，点在抛物线上，且其纵坐标为，满足.（1）求抛物线的标准方程；（2）已知平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经过抛物线上另一点，最后沿方向射出，若射线平分，求实数的值.19.已知函数.（1）证明：；（2）设，求证：对任意的，都有成立.高三12月考试卷数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】D8.【答案】A二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9.【答案】BD10.【答案】BCD11.【答案】BC第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.【答案】13.【答案】214.【答案】9四、解答题（本题共5小题，共77分）15.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可将化简为，再次化简得，从而求得，从而可求解.（2）由的外接圆半径为3，从而得，从而可得，由为锐角三角形可得，再构造函数，结合对勾函数的性质从而可求解.【小问1详解】因为，所以，即，由正弦定理得，显然，，所以，所以，因为，所以．【小问2详解】因为外接圆的半径为，所以，所以，，所以，因为为锐角三角形，所以，即，即．令，，根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，且，，，所以，即，所以，即的取值范围为.16.【解析】【分析】（1）由余弦定理结合勾股定理逆定理可得，后结合平面平面，可得，后结合可得结论；（2）由（1）结合题意建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，即可得答案.【小问1详解】不妨设，，由余弦定理得，在中，，平面平面，平面平面平面，平面．平面，四边形是菱形，，又，且平面平面平面．【小问2详解】在平面内，过点作的垂线，垂足为，平面平面，平面平面，平面，又四边形是菱形，，均为等边三角形，以点A为坐标原点，及过点A平行于的直线分别为轴，建立空间直角坐标系（如图），则，由（1）平面，为平面的一个法向量，设平面的法向量为m=x,y,z则即．令，可得，，平面与平面的夹角的余弦值为．17.【解析】【分析】（1）根据题意和公式求出，然后根据附②即可得出结论；（2）由题得出的取值依次为0，1，2，依次求出各种取值的概率，然后写出分布列求出期望.【小问1详解】根据列联表中的数据，得，所以没有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异.【小问2详解】这100名学生中男生60人，女生40人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，则抽取的男生有3人，女生在2人，所以的取值依次为0，1，2，，，，所以的分布列为012.18.【解析】【分析】（1）求出点的坐标，根据可得出关于的等式，即可解出的值，由此可得出抛物线的标准方程；（2）求出点的坐标，可得出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的坐标，设直线的倾斜角为，分析可得出，，由结合二倍角的正切公式求出的值，结合可得出实数的值.【小问1详解】解：由题意可知，抛物线的焦点为，将代入抛物线方程可得，即点，由可得，解得，故抛物线标准方程为.【小问2详解】解：由题意可知，直线的方程为，由可得，即点，则，直线的方程为，联立可得，即点，设直线的倾斜角为，则，由题意可知，，且为锐角，，可得，所以，，因为，可得，解得.19.【解析】【分析】（1）构造新函数，根据导数的性质判断新构造函数的单调