江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学（理）试题

江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学（理）试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、单选题1．设集合A={1，3，A．5∈A∩B B．5⊆A∪B C．A⊆B D．{7}⊆A∪B2．已知z(1−2i)=z+2，则A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i3．在△ABC中，AD=λDB，E为CD的中点，AE=−A．2 B．1 C．12 D．4．某城市有一个面积为1km2的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为A．步行道的宽度10m B．步行道的宽度20mC．步行道的宽度30m D．草坪不可能为黄金矩形5．若x，y满足约束条件x+y−1≥0x−y+1≥02x−y−2≤0，则A．[10，25] B．[5，16] C．6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图是直角边长分别为2和4的两个全等的直角三角形.则这个几何体的外接球的体积为（）A．43π B．86π C．7．已知点A(−1，−2)，B(0，a)，若直线AB关于y=a的对称直线l与圆C：(x−3)2+yA．22 B．32 C．2108．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，10月17日各代表团分组讨论党的二十大报告．某媒体5名记者到甲、乙、丙3个小组进行宣传报道，每名记者只去1个小组，每个小组最多两名记者，若记者A不去甲组，则不同的安排方法共有（）A．15种 B．30种 C．60种 D．90种9．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bsinB=(2c+a)sinC+(2a+c)⋅sinA.则A．13 B．12 C．110．已知实数x，y满足x>0，y>0，且x+y2+A．10 B．8 C．4 D．211．已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R都为连续函数，记g(x)=f'(x)，若f(1−x)，g(x)均为奇函数，设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为f(x)图象上的不同两点.C(x3，g(A．0 B．5 C．10 D．2012．椭圆C的两个焦点为F1，F2，以C的短轴为直径的圆记为O，过F1作圆O的切线与C交于M，N两点，且cosA．53 B．23 C．45二、填空题13．某校第一次模拟考试的数学成绩X近似地服从正态分布N(90，σ2)，若P(X<100)=014．记函数f(x)=cos(ωx+π3)（ω>0）的最小正周期为T，且y=f(x)的图象关于x=π6对称，当15．过抛物线C：y=2x2准线上的点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则k16．已知函数f(x)=|ex−1|，x1≤0≤x2≤2，函数f(x)的图象在点A(x1，f(x三、解答题17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=1，数列bn（1）求{an}（2）若b3≠a3，求{S18．如图，在四棱锥P−ABCD中，AB∥CD，AD=CD=BC=PA=PC=12AB（1）证明：平面PBC⊥平面PAC；（2）若PB=22，求点B到平面PAD19．为了调查抖音平台某直播间带货服务的满意程度，现随机调查了年龄在20岁至70岁的100人，他们年龄的频数分布和“满意”的人数如下表：年龄/岁[20[30[40[50[60频数1525302010满意132027164（1）根据上述统计数据填下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄低于50岁的人和年龄不低于50岁的人对服务态度有差异；

年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计满意不满意合计（2）若以频率估计概率，以100人的样本数据来估计全国玩抖音的市民（假设年龄均在20岁至70岁）的总体数据，若从在全国范围内任选5人，记X表示抽到“满意”的人数，求X的分布列与数学期望.附：K2=nP(0.100.050.010.001k2.7063.8416.63510.82820．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）与双曲线x（1）求C的方程；（2）已知M是直线l：x=t上的任意一点，是否存在这样的直线l，使得过点M的直线与C相切于点N，且以MN为直径的圆过点F2？若存在，求出直线l21．已知函数f(x)=3alnx−(a−3)x，a∈R.（1）当a=1时，求曲线g(x)=f(x)−3lnx−sinx在x=π（2）设x1，x2是h(x)=f(x)−(3a−2)lnx−3x的两个不同零点，证明：22．数学上有很多美丽的曲线令人赏心悦目，例如，极坐标方程ρ=a(1+cosθ)（a>0）表示的曲线为心形线，它对称优美，形状接近心目中的爱心图形.以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程为x=12t（1）求直线l的极坐标方程和心形线的直角坐标方程；（2）已知点P的极坐标为(2，0)，若P为心形线上的点，直线l与心形线交于A，B两点（异于O点），求23．已知a，b均为正数，且a2（1）a+2b≤32（2）1a

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】由B={x||x−2|<3}={x|−1<x<5}，则A∩B={1，3}，对比选项知，D正确，ABC错误．故选：D．

【分析】求出集合B={x|−1<x<5}，根据集合的交集、并集运算，逐项判断即可.2．【答案】A【解析】【解答】设z=a+bi，则(a+bi)(1−2i)=(a−bi)+2，即(a+2b)+(b−2a)i=(a+2)−bi，得a+2b=a+2b−2a=−b，即∴z=1+i故选：A.

【分析】设z=a+bi，则(a+bi)(1−2i)=(a−bi)+2，根据复数的混合运算及复数相等的条件，即可得解.3．【答案】A【解析】【解答】如图，AE=−1由2λ+12(λ+1)=56，且故选：A.

【分析】根据向量的线性运算AE→=12(4．【答案】D【解析】【解答】设草坪的长、宽分别为a，b（b<a），步行道的宽度为m(m>0)，ba则ba<b+2m故选：D.

【分析】设草坪的长、宽分别为a，b（b<a），步行道的宽度为m(m>0)，由ba−b+2m5．【答案】B【解析】【解答】作出不等式组x+y−1≥0x−y+1≥02x−y−2≤0表示的可行域，如图中阴影△ABC（含边界），其中目标函数z=(x−4)2+(y−1)2显然|PA|=4则|PQ|=|2×4−1−2|22+所以z=(x−4)2+故选：B

【分析】作出不等式组表示的可行域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：该几何体的直观图为如图所示的四棱锥P−ABCD，其中PA⊥平面ABCD，且ABCD是边长为2的正方形，PA=4，设四棱锥的外接球的球心为O，半径为R，正方形ABCD的外接圆的圆心为O1作OE⊥PA，连接OO1，AO1，易知O1OEA是矩形，则∴V=4故选：B.

【分析】该几何体的直观图为如图所示的四棱锥P−ABCD，设四棱锥的外接球的球心为O，半径为R，正方形ABCD的外接圆的圆心为O1，半径为r，由题意得R=OA=7．【答案】C【解析】【解答】∵kAB=2+a，∴直线AB关于直线y=a的对称直线l为可得2x+y+a(x−1)=0，即直线l恒过点P(1，由(1−3)2+22<18圆C：(x−3)2+y2=18的圆心C(3当且仅当CP⊥l时，圆心C到直线l的距离最大，|MN|取最小值，由−(a+2)×1=−1，得a=−1，所以l：x+y+1=0，圆心到直线l的距离d=|3+1|2=2故选：C.

【分析】易知kAB=2+a，所以直线AB关于直线y=a的对称直线l为y=−(2+a)x+a，可知直线l恒过点P(1，−2)，由(1−3)2+22<18得点P在圆C内，所以当且仅当CP⊥l时，圆心C到直线l的距离最大，|MN|取最小值，由−(a+2)×1=−18．【答案】C【解析】【解答】解法1：若A去乙组（或丙组），且该组只安排1人，剩下4名记者按2，2分组，再分配到另两个小组，不同的安排方法共有2×C42⋅C222!解法2：若甲组安排1人，不同的安排方法共有C41×C42⋅故选：C．

【分析】解法1：分A去乙组（或丙组），且该组只安排1人，剩下4名记者按2，2分组；A去乙组（或丙组），且该组安排2人，从4人选1人在该组，剩下3人按2，1分组，先分组再分配，最后根据分类加法计算原理计算即可；

解法2：分甲组安排1人；甲组安排2人计算即可.9．【答案】C【解析】【解答】由已知，根据正弦定理得，2b2=(2c+a)c+(2a+c)a∴cosB=a2+c2−∴sinA+sinC=sinA+sin(∵0<A<π3，∴∴当A+π3=π2，即A=故选：C．

【分析】由已知，根据正弦定理得a2+c2−b2=−ac，再根据余弦定理即可求得B=2π10．【答案】B【解析】【解答】解：由x+y2+1x∵2x+y≥22xy，当且仅当2x=y时，取等号，即t≥2∴1xy≥8t即t2−10t+16≤0，∴2≤t≤8，∴tmax此时，2x=y=4，即x=2，y=4时，2x+y的最大值为8.故选：B.

【分析】由x+y2+1x+2y=5变形为(2x+y)⋅(1211．【答案】C【解析】【解答】定理1：若函数f(x)连续且可导，则f(x)图象关于直线x=a对称⇔导函数f'(x)图象关于点定理2：若函数f(x)连续且可导，则f(x)图象关于点(a，f(a))对称⇔导函数f'以下证明定理1，定理2：证明：若函数f(x)图象关于直线x=a对称，则f(x)=f(2a−x)，则f'(x)=−f'(2a−x)若导函数f'(x)图象关于点(a，令F(x)=f(x)−f(2a−x)，则F'(x)=f又F(a)=f(a)−f(2a−a)=0，所以F(x)=0，则f(x)=f(2a−x)，所以f(x)图象关于直线x=a对称．若函数f(x)图象关于点(a，f(a))对称，则则f'(x)=f'(2a−x)若导函数f'(x)图象关于直线x=a对称，则令F(x)=f(x)+f(2a−x)，则F'(x)=f又F(a)=2f(a)，所以F(x)=2f(a)，则f(x)+f(2a−x)=2f(a)，所以f(x)图象关于点(a，故下面可以直接引用以上定理．∵f(1−x)，g(x)均为奇函数，∴f(1−x)=−f(1+x)，g(−x)=−g(x)，则函数f(x)，g(x)的图象分别关于(1，0)，又g(x)=f'(x)，则f(x)的图象关于x=0对称，g(x)即f(−x)=f(x)，g(1−x)=g(1+x)，∴f(x)与g(x)都是周期为4的周期函数，∴f(x)的图象关于(5，0)对称，g(x)的图象关于由x1+x2=10，知由g(x3)=g(x4)∴f(x故选：C．

【分析】由f(1−x)，g(x)均为奇函数可知函数f(x)，g(x)的图象分别关于(1，0)，(0，0)对称，再由g(x)=f'(x)，可知g(x)的图象关于x=1对称，即f(−x)=f(x)，g(1−x)=g(1+x)，从而推出f(x)与g(x)都是周期为4的周期函数，f(x)的图象关于(5，0)对称，g(x)的图象关于x=5对称，由x1+x212．【答案】D【解析】【解答】设椭圆方程为x2a2+y2b2=1∴OG⊥NF1，∴|OG|=b，|OF1|=c，|G由cos∠F1NF2=−35在△F2=4由正弦定理得2csin∴|NF1|+|N化简，得c2−b∴4a=9b，即ba∴椭圆的离心率e=c故选：D．

【分析】设椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），设过F1作圆O的切线切点为G，从而可求得|GF1|=c2−b2，设13．【答案】0.84【解析】【解答】随机变量X服从正态分布N(90，σ2)，∴正态曲线关于得P(X≥100)=1−0.92=0.08故答案为：0.84.

【分析】随机变量X服从正态分布N(90，σ2)，得到正态曲线关于X=90对称，由14．【答案】−【解析】【解答】由y=f(x)的图象关于x=π6对称，则ω×π∴ω=6k−2（k∈Z），又∵ω>0，∴当k=1，ω的最小值为4，此时f(x)=cos(4x+π3)∴f(T故答案为：−1

【分析】由题意得ω=6k−2（k∈Z），ω的最小值为4，得f(x)=cos(4x+π3)，T=15．【答案】-1【解析】【解答】解：抛物线C：y=2x2，即x2=12y，准线方程为y=−由y=2x2y+由Δ=k2−4×2(km+依题意，kPA，kPB为上述方程的两根，则故答案为：-1

【分析】根据已知条件设过点P的切线方程为y+18=k(x−m)，与抛物线方程联立，得2x2−kx+km+116．【答案】(0【解析】【解答】解：由题意，f(x)=|ex∴A(x1，1−ex1由−ex1∴AM：y−(1−ex1BN：y−(ex2∴|MN|=|x=|−x令g(x)=−xe−x+xg'∴g(x)在(0，2]上递增，又g(0)=0，∴|MN|的取值范围是(0，故答案为：(0

【分析】由题意f(x)=|ex−1|=1−ex，x<0ex−1，x≥0，先求导确定f(x)在A，B处切线的斜率，由两条切线互相垂直，得x1+x17．【答案】（1）解：设数列{an}的公差为d，则b1=1由b22=b1b3得，当d=2时，an=1+(n−2)×2=2n−3，当d=0时，an=1，所以当d=2时，an=2n−3，当d=0时，an=1，（2）解：若b3≠a∴an=2n−3，Sn∴Sn∴Tn【解析】【分析】（1）设数列{an}的公差为d，由已知条件得(1+d)2=1×(1+4d)，解得d=2，或d=0，当d=2时，an=2n−3，bn=3n−1；当d=0时，a18．【答案】（1）证明：取AB的中点为E，连接CE，可知四边形ADCE是平行四边形，∴CE=1∴点C在以AB为直径的圆上，∴AC⊥BC.又BC⊥PA，PA∩AC=A，且PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．（2）∵BC⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，由PB=22，BC=PC，得BC=2，AC=2∵BC⊥平面PAC，又BC⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAC，连接DE交AC于点O，则O为AC的中点，连接PO，则PO⊥AC，且PO=1，∵平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC=AC，∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥OE，由题意可知，OE∥BC，∴OE⊥AC，故以点O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，A(3，0，0)，则AD=(−3，−1，设平面PAD的法向量为n=(x，y，z)令x=1，则n=(1点B到平面PAD的距离为|n【解析】【分析】（1）取AB的中点为E，连接CE，由已知得AC⊥BC，结合BC⊥PA，可证BC⊥平面PAC，所以平面PBC⊥平面PAC；

（2）先证明PO，OE，OA两两垂直，点O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面PAD的法向量为n=(1，−19．【答案】（1）解：2×2列联表

年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计满意602080不满意101020合计7030100K2的观测值k=∴有95%的把握认为年龄低于50岁的人和年龄不低于50岁的人对服务态度有差异.（2）解：100人中满意有80人，从100人随机抽取一人是“满意”的概率为80100易知，X∼B(5，X的分布列为P(X=k)=C5kX012345P14321282561024∴X的数学期望E(X)=5×4【解析】【分析】（1）由已知数据即可得出2×2列联表，利用计算公式可得K2的观测值，进而得出结论；

（2）由题意得X∼B(520．【答案】（1）解：依题意可设双曲线C的方程为x22−y2∴λ=3，∴双曲线C：x2（2）解：显然直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m，联立x26−y2由Δ=(−4km)2+4×2(1−2k∴xN=4km即切点N的坐标为(−6k以MN为直径的圆恒过点F2，则∠M又M的坐标为(t，tk+m)，F2N=(−∴F2化简，得(t−2)(3k+m)=0，上式对满足①式任意的k，m成立，则t=2．故存在直线x=2满足题设条件．【解析】【分析】（1）依题意设双曲线C的方程为x22−y2=λ，将点A(22，1)的坐标代入求解λ，从而可得双曲线的方程；

（2）显然直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m，联立方程组消去y得(1−2k2)x2−4kmx−2(m221．【答案】（1）解：当a=1时，g(x)=f(x)−3lnx−sinx=2x−sinx，g'(x)=2−cosx，g'曲线g(x)在x=π2处的切线方程为y−(π−1)=2(x−π（2）证明：令h(x)=f(x)−(3a−2)lnx−3x=2lnx−ax=0，可得2lnx=ax(x>0)，令t(x)=2lnx(x>0)，n(x)=ax(x>0)，设函数n(x)与t(x)相切于(x由a=t'(x0)=2x0、2lnt(x)=2lnx(x>0)，n(x)=ax(x>0)的大致图象如下，当0<a<2e时，t(x)=2lnx(x>0)与即h(x)有两个零点，所以a的取值范围为(0，h'(x)=2x−a