安徽省滁州市2022-2023学年高三上学期数学第一次教学质量监测试卷

安徽省滁州市2022-2023学年高三上学期数学第一次教学质量监测试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．设集合A={x|ex>1}，B={−1A．{0，1，C．{−1，0，2．若复数z满足zz−izA．−1 B．2 C．1或2 D．−1或23．现有一组数据：663，A．652 B．668 C．671 D．6744．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN)，它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比SN比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SA．25% B．30% C．36% D．45%5．已知平面向量a=(1，3)，b=(−2，A．(1，−2) B．(−1，2) C．6．已知抛物线E1：y2=4x的焦点为F，过F且斜率大于零的直线l与E1相交于A，B两点，若直线A．4 B．6 C．8 D．107．已知函数f(x)=tan(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π2）的图象经过点(0，3)A．[23，53] B．[8．已知六棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上，当六棱锥的体积最大时，其侧棱长为（）A．463 B．26 C．8二、多选题9．已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为r上=1，r下=2，母线AB长为2，点A．圆台的体积为7B．圆台的侧面积为12πC．圆台母线AB与底面所成角为60°D．在圆台的侧面上，从点C到点E的最短路径长为410．已知D是△ABC的边BC上的一点（不包含顶点），且AD=xA．x+y=1 B．x+2y=1C．x+y≥11．已知直线l：(1+a)x+y+2a=0(a∈R)与圆A．直线l必过定点B．当a=1时，l被圆C截得的弦长为4C．直线l与圆C可能相切D．直线l与圆C不可能相离12．已知函数f(x)=etx−lnx+(t−1)xA．1e B．12e C．1e三、填空题13．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(0≤X≤1)=P(5≤X≤6)14．若数列{an}是公差为2的等差数列，S515．已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R，f(x+1)为偶函数，g(x)的图象关于点(1，0)中心对称，若f(x)+g(x)=x2−116．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，过椭圆C的右焦点F且不与两坐标轴平行的直线交椭圆C于A，B两点，若x轴上的点P四、解答题17．已知数列{an}，a1=3，a2=5，数列{bn（1）求数列{an}（2）记数列{cn}满足：cn=an18．已知条件：①tanB+tanCtanB=2ab；②1+sin2C−cos2C1+sin2C+cos2C=（1）求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，c=32，求19．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=4，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1（1）求证：平面DMN⊥平面PBC；（2）求直线AB与平面DMN所成角的正弦值.20．为了了解养殖场的甲、乙两个品种成年水牛的养殖情况，现分别随机调查5头水牛的体高（单位：cm）如下表，请进行数据分析.甲品种137128130133122乙品种111110109106114（参考数据：25.2≈5（1）已知甲品种中体高大于等于130cm的成年水牛以及乙品种中体高大于等于111cm的成年水牛视为“培育优良”，现从甲品种的5头水牛与乙品种的5头水牛中各随机抽取2头.设随机变量X为抽得水牛中“培育优良”的总数，求随机变量X的分布列与期望.（2）当需要比较两组数据离散程度大小的时候，如果两组数据的测量尺度相差大，或者数据的量纲不同，直接使用标准差来进行比较是不合适的，此时就应当消除测量尺度和量纲的影响.而变异系数（C．V）可以做到这一点，它是原始数据标准差与原始数据平均数的比，即变异系数的计算公式为：变异系数=标准差21．平面直角坐标系Oxy中，P(x0，y0)(|x0|>a)是双曲线C：x2a2−（1）求双曲线C的渐近线方程；（2）设点P关于x轴的对称点为Q，直线PB与直线QA交于点M，过点M作x轴的垂线，垂足为N，求证：直线PN与双曲线C只有一个公共点.22．设函数f(x)=ln（1）若f(x)≥0对∀x∈[2，+∞)恒成立，求实数（2）已知方程ln(x−1)x−1=13e有两个不同的根x1、

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】ex>1⇔x>0，所以A={x|x>0}，B={−1，故答案为：B

【分析】首先求集合A={x|x>0}，再求A∩B.2．【答案】D【解析】【解答】设复数z=a+bi(a，b∈R)，因为即a2+b2−ai−b=3−i，所以a所以z的虚部为-1或2，故答案为：D.

【分析】设复数z=a+bi(a，3．【答案】C【解析】【解答】由题意这组数共12个，则12×85%将这组数据从小到大排列为651，故这组数据的第85百分位数为第11个数，即671，故答案为：C

【分析】根据百分位数的定义，求得12×85%4．【答案】C【解析】【解答】因为当信噪比SN所以当SN=1000时C1=Wlo所以C=lg3+2lg所以C大约增加了36%，故答案为：C.

【分析】根据题意将信噪比SN分别为1000，12000代入香农公式，列出等式，利用换底公式即可求出C5．【答案】B【解析】【解答】由题知，a=所以a·设a与b夹角为θ，所以a在b上的投影向量是|a故答案为：B.

【分析】根据a在b上的投影向量是|a6．【答案】C【解析】【解答】抛物线E1：y2=4x由已知可设直线AB的方程为y=k(x−1)，k>0，因为直线AB与抛物线E2相切，所以y所以方程k2故Δ=[−(2k2所以k=1，联立y2=4xy=x−1，消y方程x2−6x+1=0的判别式设A(x1，所以|AB|=x故答案为：C.

【分析】由已知设直线AB的方程为y=k(x−1)，k>0，由直线AB与抛物线E2相切，列方程求得k=1，联立直线AB与抛物线E1的方程，利用设而不求法结合弦长公式求7．【答案】D【解析】【解答】由条件可知f(0)=tanφ=3，|ϕ|<f(x)=tan(ωx+π3)若函数在区间[0，π]上恰有2个零点，则解得53故答案为：D

【分析】首先求φ=π3，当x∈[0，π]时，8．【答案】A【解析】【解答】由题意可知：六棱锥的底面六边形的顶点在同一个截面圆上.易知当六边形为正六边形时，其面积最大.要使六棱锥的体积最大，则该六棱锥为正六棱锥.不妨设正六边形的边长为a(0<a≤2)则正六边形的外接圆的半径为a.由球的性质可知：(h−2)2所以正六棱锥的体积V=1设f(x)当x∈(0，83)时，所以函数f(x)在(0，83即h=83时，V取最大值，此时a2故答案为：A.

【分析】结合球和正六棱锥的性质求出体积的表达式，令f(9．【答案】A,C【解析】【解答】对于A：圆台的高为3，则圆台的体积V=1对于B：由题意，圆台的侧面展开图为半圆环，其面积为S=1对于C：过A作AF//O1O2交底面于F，则O在等腰梯形ABCD中，AB=2，BF=2−1=1，所以因为∠ABF为锐角，所以∠ABF=60°.C符合题意；对于D：如图示，在在圆台的侧面上，从C到E的最短路径的长度为CE.由题意可得：FB=FC=4，AB=2.由E为AB中点，所以FE=3，所以故答案为：AC

【分析】根据已知求体积，过A作AF//O1O2交底面于F，判断∠ABF即为母线AB10．【答案】A,D【解析】【解答】D是△ABC的边BC上的一点（不包含顶点），则有BD=λ得AD−AB=λ(又AD=xAB+yAC可得x+y=1，0<x<1，0<y<1，2xy≤x+y=1，所以A选项正确，B选项错误；(x+y)2log故答案为：AD

【分析】利用平面向量线性运算，结合基本不等式，验证各选项的结果.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】A.l：x+y+a(x+2)=0，联立x+y=0x+2=0，得x=−2B.当a=1时，l：2x+y+2=0，圆心(0，2)到直线l的距离C.直线所过定点(−2，2)在圆上，过点(−2，2)与圆但直线l：(1+a)x+y+2a=0(a∈R)，表示斜率存在的直线，表示不了直线故不存在直线l与圆C相切，C不符合题意；D.直线所过定点(−2，2)在圆上，所以直线l与圆故答案为：ABD

【分析】l：x+y+a(x+2)=0，即可求定点坐标，即可判断A；根据弦长公式求弦长，判断B；根据直线l所过定点与圆12．【答案】A,D【解析】【解答】f(x)=e故f(x)≥0恒成立，转化成etx记g(x)=ex+x，g'(x)=ex+1>0，则g(x)记h(x)=lnxx，h'(x)=1−lnxx2，故当x>e时，h'(x)<0故由tx≥lnx⇒t≥lnxx恒成立，即t≥(故答案为：AD

【分析】根据f(x)≥0转化成etx+tx≥lnx+elnx恒成立，构造函数g(x)=13．【答案】3【解析】【解答】由于P(0≤X≤1)=P(5≤X≤6)，可知正态分布曲线关于x=3对称，故μ=3故答案为：3

【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解.14．【答案】2n−4（答案不唯一）【解析】【解答】设等差数列的首项为a1，且公差d=2则S5即a1<−1，所以令k=−2+a1<−3所以可取a故答案为：2n−4（答案不唯一）

【分析】设等差数列的首项为a1，利用已知条件求出a15．【答案】2【解析】【解答】因为f(x)+g(又因为f(x+1)是偶函数，所以f(x)图像关于直线x=1对称，即f(x)=f(2−x)①又因为g(x)的图像关于(1，所以函数h(x)g(−x+1)=−g(x+1)则将①②代入f(x令x=0得f(2)−g(2)所以f(故答案为：2.

【分析】通过赋值得f(2)+g(16．【答案】(0【解析】【解答】依题意，点F(1，0)由x=ty+1b2x则y1+y因为|PA|=|PB|，则有PM⊥AB，直线PM：令y=0得点P(a2−b又|PF|>23，即1−1b2依题意，b2t2+a2>3所以椭圆C离心率e的取值范围为0<e≤3故答案为：(0

【分析】根据给定条件，设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，求出线段AB中点横坐标，即可列式求解作答.17．【答案】（1）解：由题意，bn+1=an+1bn−anbn，a1=3，a所以由bn+1=an+1bn−anbn数列{an}由b2，2a4，b5成等差数列，得：b2+b（2）解：由（1）知cn=2n+1T=2n【解析】【分析】（1）首先判断数列{bn}为等比数列，数列{an}是等差数列，求数列{a18．【答案】（1）解：选择条件①tanB+tanB+所以abcosC=2ab，于是选择条件②1+sin因为1+sin解得tanC=3，又C∈(选择条件③3 a=2c则3a=c由正弦定理得：3sin即3sin(整理得：3sin由sinB≠0得：tanC=3，又C∈（2）解：由（1）知，C=π3，B=2π3由正弦定理asinA=bsin于是，a=1−化简得，a2因为π6<A<π2，所以54故a2+b【解析】【分析】（1）选择条件①时利用三角恒等变换公式化简即可求解，选择条件②时利用三角恒等变换公式化简即可求解，选择条件③时利用正弦定理和三角恒等变换公式化简即可求解；

（2）根据正弦定理可得a=sinA，b=sinB，从而a219．【答案】（1）证明：证法1：因为PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，所以PD⊥BC，又ABCD为正方形，所以BC⊥CD，且PD∩CD=D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD，又DM⊂平面PCD，所以BC⊥DM，因为PD=DC，M为线段PC的中点，所以DM⊥PC，且BC∩PC=C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以DM⊥平面PBC，而DM⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面PBC.证法2：以D点为坐标原点，以DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D−xyz，如图，由已知可得D(0，0，0)，M(0DM=(0，2，2设平面DMN的法向量为n1由n1⊥DM，n1⊥DN令z1=1，得y1=−1，设平面PBC的法向量为n2由n2⊥PB，n2⊥PC得令z2=1，得y2=1，因为n1⋅n2=0，所以n（2）解：方法1：因为底面ABCD为正方形，所以AB//CD，所以直线AB与平面DMN所成角等于直线CD与平面DMN所成角，设所求角为θ，因为BC⊥平面PCD，CM⊂平面PCD，所以BC⊥CM，故MN=MC2+CN2=(22所以S△DMN=34，又S△CDN=6设C点到平面DMN的距离为h，由VC−DMN=VM−CDN，得又CD=4，所以sinθ=方法2：因为AB=DC=(0设直线与平面DMN所成的角为θ，则sinθ=【解析】【分析】（1）证法1：几何法，要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，利用垂直关系转化为证明DM⊥平面PBC，即可证明；

证法2：向量法，以D点为坐标原点，以DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D−xyz，分别求平面DMN⊥和平面PBC的法向量，证明法向量垂直，即可证明面面垂直；

（2）证法1，几何法，利用平行关系，以及等体积转化求点C到平面DMN的距离，即可求得线面角；证法2：向量法，利用线面角的向量法，即可求解.20．【答案】（1）解：随机变量X的可能取值为0，P(X=0)P(X=2)P(随机变量X的分布列为：X01234P00000随机变量X的期望E(（2）解：x甲=15(x乙=15(根据公式，甲品种的变异系数为5.02130所以甲品种的成年水牛的变异系