《电路分析》课件第4章

第四章电路基本定理4.1叠加定理4.2替代定理

4.3戴维宁定理和诺顿定理

4.4最大功率传输定理

习题4【本章要点】本章介绍常用的电路定理，包括线性电路的叠加定理、替代定理、有源二端网络的对外等效定理——戴维宁定理与诺顿定理及最大功率传输定理。4.1叠加定理叠加定理是线性电路中非常重要的定理。在线性电路中，利用叠加定理可以把复杂的电路转化为若干个简单电路之和，或将电路中的未知变量设为已知，根据电路中的比例关系求出该未知量。叠加定理：在线性电路中，流过任意一条支路的电流和两端的电压都等于电路中的每一个独立电源单独作用下在该支路产生的电流或电压的代数和。下面通过具体例子来验证叠加定理的正确性。如图4－1(a)所示，该支路可用网孔法求电流i。图4-1叠加定理的证明由图4-1(a)可得网孔方程(R1+R2)i1+R1i2=us

i2=is

解方程得所以令i=i′+i″其中

为电压源us单独作用时在待求支路里产生的电流，

为电流源is单独作用时在待求支路里产生的电流，分别对应于图4-1(b)和图4-1(c)。应用叠加定理时，应注意以下几点：

(1)叠加定理只适用于线性电路。

(2)独立电源单独作用时，其他的独立源应“置零”。电流源“置零”时，电流源应开路；电压源“置零”时,电压源应短路。

(3)将每个独立电源单独作用时产生的电流或电压叠加(选择参考方向的方法为：与原变量相同的取正号，相反的取负号)。

(4)叠加定理只适用于电流、电压的叠加，不能用于功率的叠加。

例4-1电路如图4-2(a)所示，试用叠加定理求电流I。图4-2例4-1用图解

60V电压源单独作用时，将40V电压源短路，如图4-2(b)所示，有

40V电压源单独作用时，将60V电压源短路，如图4-2(c)所示，有

两电源共同作用时，由于方向一致，因此有

I=I′+I″=5+1.67=6.67A

例4-2

电路如图4-3(a)所示，试用叠加定理求u0。图4-3例4-2用图

解用叠加定理求解。首先将图4-3(a)电路分解为每个独立源单独作用时的电路图，如图4-3(b)、(c)、(d)所示。由图4-3(b)可得由图4-3(c)可得由图4-3(d)可得所以

例4-3

电路如图4-4(a)所示，求Ix。图4-4例4-3用图解将图4-4(a)所示电路分解为每个独立源单独作用时的等效电路,如图4-4(b)、(c)所示。由图4-4(b)可得所以由图4-4(c)可得所以因此可得4.2替代定理替代定理是集总参数电路理论中一个重要的定理。从理论上讲，无论线性、非线性、时变、非时变电路，替代定理都是成立的。在线性非时变电路中替代定理应用较普遍，这里主要讨论替代定理在线性电路中的应用。替代定理：在具有唯一解的电路中，若已知某支路的电压u，流过的电流i，且该支路与其他支路无耦合关系，则无论该支路是由什么元件组成的，都可以用电压为u的电压源、电流为i的电流源代替或阻值为u/i的电阻代替，代替前后电路中其他部分的电压、电流保持不变。替代定理的表述如图4－5所示。图4－5替代定理在图4-5(a)中已知X支路两端的电压u，流过的电流i，则可用电压为u的电压源代替X支路，且它们的电压方向保持一致，如图4-5(b)所示；或用电流为i的电流源代替X支路，且电流源的方向与流过X支路的电流方向保持一致，如图4-5(c)所示；也可用电阻值为u/i的电阻代替X支路，如图4-5(d)所示。替代定理的正确性是由于替代前后电路各处的KCL、KVL方程保持不变，故替代前后电路各处的电流、电压不变，它的实质来源于方程解的唯一性定理。在电路分析时，如电路中某支路电压或电流是已知量，则可利用替代定理简化电路的分析与计算。例4-4

电路如图4－6(a)所示，已知uab=0，求电阻R。图4－6例4－4用图解由于uab=0，因此3V电压源支路的电流为1A，根据替代定理，可用一个1A的电流源代替该支路，电路如图4-6(b)所示。设参考点和电阻R两端电压与电流参考方向如图4-6(b)所示，可列出节点方程为解方程得

ua=8V由于uab=0，因此

ub=ua=8V由图4-6(b)，可得

u=20－ub=20－8=12V所以例4－5电路如图4-7(a)所示，已知i=1A，N为电路的一部分，求电压u。图4-7例4-5用图解由替代定理可知，电路N可以用电流为1A的电流源代替，电路如图4-7(b)所示。利用尼尔曼定理可知4.3戴维宁定理和诺顿定理在分析线性电路问题时，有时往往只研究某一个支路的电压和电流。此时，虽然可以用网孔电流法和节点电压法等分析方法求解，但由此引出一些不必要的量，使计算过于繁琐。为简化电路分析计算过程，可以把待求支路以外的部分电路等效为一个电源，这种等效分别称为戴维宁定理和诺顿定理。4.3.1戴维宁定理

戴维宁定理：任何一个含独立源的线性二端网络N，都可以用一个电压源和一个电阻串联来代替。电压源的电压等于该线性二端网络N的开路电压，串联的电阻等于该线性二端网络N中所有独立源置零时的等效电阻。戴维宁定理可以用图4-8进一步说明。图4-8戴维宁定理图4-8(a)所示为一个含有独立源线性二端网络N和一个待求支路M的电路框图。把待求支路M去掉，如图4-8(b)所示,因N含有独立电源，在N两端会有电压，称为N开路电压uoc。把N内部的独立源置零，如图4-8(c)所示，用N0表示，可以求出N0两端的等效电阻R0。由此该网络N可以用一个电压源和一个电阻串联来表示，如图4-8(d)所示。利用戴维宁定理求解电路的关键在于如何求得N的开路电压uoc和N0的等效电阻R0。开路电压的求法：先将负载支路断开，设定开路电压uoc的参考方向，然后计算该电路的开路电压uoc。其计算方法可根据具体电路形式而定,如串、并联等效，分流分压公式关系，实际电源模型的等效互换，点法等。

N0两端的等效电阻R0的求法有以下两种。

(1)开路、短路法：即在求得电路N两端子间开路电压uoc后，将两端子短路，并设端子短路电流isc参考方向(注意：若uoc的参考方向是a为高电位端，则isc的参考方向设成从a流向b)，应用所学的任何方法求出isc，如图4-9所示，则等效内阻R

注意，求uoc、isc时N内所有的独立源、受控源均保留。(4-1)

图4-9求短路电流电路(4-2)

(2)外加电源法：令N内所有的独立源为零(理想电压源短路，理想电流源开路)，若含有受控源，受控源要保留，这时的二端电路用N0表示，在N0两端子间外加电源。若加电压源u，就求端子上的电流i(i与u对N0二端电路来说参考方向关联)，如图4-10(a)所示；若加电流源i，就求端子间的电压u，如图4-10(b)所示。N0两端子间的等效电阻为图4-10外加电源法求内阻R0上述求电阻R0的两种方法具有一般性。若二端电路N内不含受控源，则由N变为N0的电路是不含受控源的纯电阻二端电路。这时可用电阻串、并联等效求得R0，而不再用前述的“开路、短路法”和“外加电源法”求R0。如果纯电阻的二端电路是Y形、△形连接形式，可由Y-△形等效互换后，再应用电阻串、并联等效求R0。若N内含有受控源，这种情况一般使用“开路、短路法”或“外加电源法”求等效内阻R0，不能使用电阻串、并联等效求R0。4.3.2诺顿定理诺顿定理是将一个有源二端网络等效为电流源和电阻并联的定理，该定理可表述为：一个含有独立源、线性受控源、线性电阻的有源二端网络，对其外部来说，可以用一个电流源并联电阻来等效。理想电流源的大小为有源二端网络的短路电流，并联电阻为令二端网络内的所有独立源置零时从二端网络两端看的等效电阻。诺顿定理可用图4－11所示框图作进一步的说明。图4-11诺顿定理图4-11中，与戴维宁定理相同，图4-11(a)是将电路分成待求支路和有源二端网络的模型，其中，网络M是待求支路，网络N是有源二端网络；图4-11(b)是将有源二端网络等效为一个电流源isc和等效电阻R0的并联；图4-11(c)说明等效电流源isc的求取方式；图4-11(d)说明等效电阻R0的求取方式，其中N0是将有源二端网络N中的所有独立源置零后的网络，是一个无源网络。在求取isc时可采用前面讲述的任何方法，如网孔法、节点法、实际电源等效互换、分压、分流等分析计算方法，但要特别注意电流源isc的方向必须与计算isc时的方向相反。例4－6电路如图4－12(a)所示，求当RL为1W、6W

时该支路的电流i。图4-12例4-6用图

解将图4-12(a)所示电路从a、b处断开,如图4-12(b)所示，该电路是以a、b为引出端的有源二端网络。(1)求开路电压uoc。由图4-12(b)可知所以

(2)求等效电阻R0。将图4-12(b)的电压源短路，可得图4-12(c)，可求得R0=6∥3+4∥4=4W

(3)画出戴维宁等效电路，接上待求支路，如图4-12(d)所示。当RL为1W时，电流i为当RL为6W，电流i为由此例可以看出，如果只求某一支路的电压、电流或功率，则用戴维宁定理求解比较方便，一般可以避免解多元方程的麻烦。特别是本例在待求支路中的一些元件参数发生变化时，求改变后该支路的电压、电流或功率，就显示了采用这种方法求解的优越性。

例4-7电路如图4-13(a)所示，求当RL为16W时该支路的电流i。图4-13例4-7解法1用图

解将图4-13(a)所示电路从a、b处断开，可得如图4-13(b)所示的有源二端网络。解法1：应用戴维宁定理求解。

(1)求电路电压。由图4-13(b)可得开路电压uoc为uoc=4×0.5+12i1

为了求出电流i1，可将图4-13(b)等效为图4-13(c)，由于图4-13(b)中的4W电阻与电流源为串联，故在等效时可将其去掉；将图4-13(c)中的电流源与6W电阻并联等效为电压源，可得图4-13(d)，由图4-13(d)可得所以

(2)求等效电阻R0。将图4-13(b)所示的有源二端网络中的独立源置零，可得如图

4-13(e)所示的无源二端网络，其电阻串、并联关系明确，可得R0=Rab=12∥6+4=8W

(3)画出戴维宁定理等效电路，接上待求支路，电路如图4-13(f)所示。由图4-13(f)可得解法2：应用诺顿定理求解。将图4-13(b)所示的有源二端网络a、

b端短路,如图4-14(a)所示。图4-14例4-7解法2用图

(1)求短路电流isc。由图4-14(a)可见，短路电流isc为isc=0.5－i1

由于a、b端短路，可将图4-14(a)等效为图4-14(b)。由图4-14(b)可见，4W电阻与12W电阻并联，故又可将图4-14(b)等效为图4-14(c)。由图4-14(c)可得由图4-14(b)可得所以

(2)求等效电阻R0。等效电阻R0与用戴维宁定理时相同，即R0=8Ω

(3)画出诺顿等效电路，接上待求支路，电路如图4-14(d)所示。由图4-14(d)可得例4-8电路如图4-15(a)所示，求戴维宁、诺顿定理等效电路。图4-15例4-8用图解由图4-15(a)所示电路可见，开路电压uoc为uoc=10×1.5i+10i+10由于a、b端开路，i=0，因此uoc=10V图4-15(b)将a、b短路，可得10×1.5i+10i+10=0isc=－i=0.4A所以或由图4-15(c)可得所以由计算结果可得如图4-16(a)、(b)所示的戴维宁、诺顿定理等效电路。图4-16例4-8戴维南、诺顿等效电路例4-9电路如图4-17(a)所示，求电压u。图4-17例4-9用图解因为自a、b处断开待求支路后，开路电压没有短路电流，所以，这个问题用诺顿定理求解比较方便。

(1)求短路电流isc。自a、b断开电流源，再将a、b短路，设isc及有关电流参考方向如图4-17(b)所示。由电阻串并联等效、分流关系及KCL可求得，，

(2)求等效内阻R0。将图4-17(b)中的24V电压源短路，并将a、b间短路线断开，如图4-17(c)所示。利用串并联等效可求得R0=(6∥3+6)∥(3∥6+6)=4W

(3)画出诺顿等效电源，接上待求支路(从断开处接上)，如图4-17(d)所示。注意画诺顿等效电源时，勿将isc电流源的流向画错了。若图4-17(b)中isc的参考方向设为由a流向b，则在图4-17(d)中电流源应画成由b流向a。由图4-17(d)，应用KCL及欧姆定律可求得u=(3+1)×4=16V4.4最大功率传输定理许多实际电路中，无论是直流稳压源，还是各种波形的信号发生器，其内部电路结构都是相当复杂的，但它们在向外供电时都引出两个端子接到负载。可以说，它们就是一个有源二端电路。当所接负载不同时，二端电路传输给负载的功率也就不同。现在我们讨论对给定的有源二端电路，当负载为何值时，网络传输给负载的功率最大，负载所能得到的最大功率又是多少，即最大功率传输定理。最大功率传输定理：设一负载RL接于有源二端网络上，该网络等效为戴维宁电源模型，负载RL可变，则当RL=R0时，负载RL可获得最大功率。如图4-18所示，电路中负载RL消耗的功率为（4-3）图4-18实际电压源接负载为了求出功率最大的条件，我们取P对RL的导数，并令它等于零，即亦即应有（4-4）解得又由于因此，当RL=R0时负载获得的功率最大，功率的最大值为（4-5）当负载获得最大功率，即RL=R0时，称为负载与电源匹配，或称最大功率匹配。

例4-10

电路如图4-19(a)所示，如电阻RL可变，求负载RL获得功率最大时的RL和功率Pmax。图4-19例4-10图

解将图4-19(a)中a、b端以左的电路看做是有源二端网络电路，可求得如图4-19(b)所示的戴维宁等效电路。根据负载与电源匹配条件式可知，当RL=R0=4W时，其获得功率最大，即

例4-11

电路如图4-20所示，若负载RL可以任意改变，问负载为何值时其上获得的功率为最大,并求出此时负载上得到的最大功率Pmax。图4-20例4-11用图

解此类问题应用戴维宁定理(或诺顿定理)与最大功率传输定理结合求解最简便。

(1)求uoc。从a、b断开RL，设uoc如图4-20(b)所示。在图4-20(b)中，应用电阻并联分流公式、欧姆定律及KVL，可求得

(2)求R0。令图4-20(b)中各电源为零，如图4-20(c)所示，可求得R0=(4+4)∥8+3∥(3+3)=6Ω

(3)画出戴维宁等效电路，接上待求支路RL，如图4-20(d)所示。由最大功率传输定理知，当RL=R0=6W时，其上获得最大功率。此时负载RL上所获得的最大功率为

例4-12

电路如图4-21(a)所示，问电阻RL为何值时可获得最大功率，并求出该最大功率。图4-21例4-12用图

解断开负载电阻RL，得如图4-21(b)所示的有源二端网络。由图4-21(b)可得开路电压uoc为uoc=5×5+u1

因为u1=15i

所以，可解得uoc=55V采用外加电压法求等效电阻，外加电压后的电路如图4-21(c)所示。由图4-21(c)可得u=5i+u1

因为

u1=15i1

所以可得等效电阻根据uoc和R0可得如图4-21(d)所示的戴维宁等效电路。当RL=11W时可获得最大功率，其最大功率为习题4

4-1电路如图所示。(1)当将开关S合在a点时，求电流I1、I2和I3；(2)当将开关S合在b点时，利用(1)的结果，并用叠加定理计算电流I1、I2和I3。习题4-1图4-2电路如图所示，用叠加定理求电流i。习题4-2图4-3