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第2章线性电阻电路的分析方法

2.1电阻串、并联连接的等效变换

2.2电阻星形连接与三角形连接的等效变换

2.3实际电源的两种模型之间的等效变换

2.4支路电流法

2.5节点电压法

2.6网孔电流法

2.7叠加定理

2.8戴维南定理与诺顿定理

2.9受控电源电路的分析

2.1电阻串、并联连接的等效变换

2.1.1电阻的串联

将两个或更多的电阻按顺序一个接一个连接起来,且

都通过同一电流,这种电阻的连接方式称为串联连接。如图2-1所示是两个电阻串联的电路。图2-1电阻的串联如图2-1(a)所示电路,由基尔霍夫电压定律可得

U=U1+U2=IR1+IR2=I(R1+R2)(2-1)

设R=R1+R2,则

U=IR(2-2)

比较式(2-1)和式(2-2)可得,在输入电压和电流不变的条件下,串联等效电阻其阻值为各串联电阻阻值的和,即

Req=R1+R2

(2-3)当总电压为U的两个电阻串联时,其每一个电阻上的电压分别为

(2-4)2.1.2电阻的并联

将两个或更多的电阻并接在两个公共节点上,各电阻承受同一电压,这种电阻的连接方式称为并联连接。如图2-2所示是两个电阻并联的电路。图2-2电阻的并联如图2-2(a)所示电路,由基尔霍夫电流定律可得

(2-5)

设则

(2-6)比较式(2-5)和式(2-6)可得,在输入电压和电流不变的条件下,并联等效电阻其阻值的倒数为各并联电阻阻值倒数的和,即

(2-7)

若将每个电阻用相应的电导来表示,式(2-7)也可写成

(2-8)当总电流为I的两个电阻并联时,其每一个电阻上的电流分别为

(2-9)

若采用电导来表示,则分流公式为

(2-10)2.1.3电阻的混联

【例2-1】如图2-3(a)所示电路,已知U=400V,R1=R2

=10Ω,R3=20Ω,R4=32.5Ω,求I、I1、I2。图2-3例2-1图

解从图中可看出该电路的等效电阻是R4+[R1∥(R2+

R3)],所以

故电路中的总电流为各支路电流应用分流公式并带入数据得

【例2-2】求图2-4电路的等效电阻Rab。已知R1=R2=

1Ω,R3=R4=2Ω,R5=4Ω。图2-4例2-2图

解此电路为混联电路,从电路图上可以看到电阻R4与短接线是并联的,所以电阻R4被短路掉了,则

Rab=(R1∥R2∥R3)+R5

代入电阻的阻值可得

Rab=(1∥1∥2)+4=4.4Ω

2.2电阻星形连接与三角形连接

的等效变换

在电路的计算中,将串联与并联的电阻化简为等效电阻,最为简便。但是有的电路,如图2-5(a)所示的电路,五个电阻既非串联,也非并联,显然这种电路不能用电阻串

并联来化简。图2-5电阻Y-△的连接结构典型的电阻Y连接和△连接如图2-6所示,Y连接的电阻与△连接的电阻等效变换的条件是对应端子之间施加相同

的电压u12、u23和u31,流入对应端子的电流分别相等,即i1=i1′,i2=i2′,i3=i3′。图2-6电阻Y-△等效变换满足上述条件后,就可以推导两种连接方式下参数之间的关系。

图2-6(b),可以对△的三个顶点列KCL方程:

(2-11)由图2-6(a),根据KVL的推广形式得可以解出端子电流

(2-12)根据等效的条件,流入对应端子的电流应分别相等,即i1=i1′,i2=i2′,i3=i3′。所以式(2-11)和式(2-12)电压前面的系数应该相等,即

(2-13)式(2-13)是将Y连接的电阻等效变换为△连接时各电阻的关系式。如果已知△连接,将其转换成Y连接的电阻时,可由式(2-13)求得

(2-14)

【例2-3】电路如图2-7(a)所示,试求解电流I。

解应用△-Y等效变换,将图2-7(a)中acda间三个电阻构成的△电阻等效变换为Y电阻,如图2-7(b)所示。在图2-7(b)中,设电流I1和I2如图所示,由分流公式得故对图2-7(b)中bcd回路应用KVL得

Ucd=1.4I1-1×I2=1.4×2-1×2=0.8V

再返回到图2-7(a),可得

根据等效的概念,要求解电流I,必须在原电路中求。图2-7例2-3图

2.3实际电源的两种模型之间的等效变换

2.3.1电压源和电流源的模型及外特性曲线

一个实际电源的电压源模型如图2-8(a)所示。图2-8电压源模型及外特性曲线根据图2-8(a)所示的电路,对单回路电路应用KVL可得

U=E-IR0

(2-15)

由此电压方程可作出电压源模型的外特性曲线,如图

2-8(b)所示。

同样,电源除用电压源模型表示外,还可以用理想电流源和电阻相并联的电路表示,所组成的电源的电流源模型如图2-9(a)所示。图2-9电流源模型及外特性曲线根据图2-9(a)所示的电路,利用KCL可得

U=ISR0-IR0

(2-16)

由方程可作出电流源模型的外特性曲线,如图2-9(b)

所示。2.3.2电压源与电流源的等效变换

根据等效的条件得出E=ISR0,等效后的电源的内阻保持不变,如图2-10所示。两种电源在等效的时候要注意方向,当电压源的电压上正下负时,等效替代的电流源的电流方向向上;反之电流源的电流方向向下。图2-10电压源与电流源的等效变换需要指出的是:

(1)理想电压源(R0=0)和理想电流源(R0=∞)的外特性不相等,故两者不可等效变换。

(2)上述电压源是由电动势为E的理想电压源和内阻为R0的电阻串联的电路,电流源是由电流为IS的理想电流源和内阻为R0的电阻并联的电路,两者是等效的。

【例2-4】分别求图2-11所示电路的等效电路。图2-11例2-4图

解对图2-11(a),5V电压源与1Ω的电阻相并联,可等效为5V的电压源;进一步等效成电流源和电阻相并联的电路,电路的变换过程如图2-12(a)所示。

对图2-11(b),2A电流源与3Ω的电阻相串联,可等效为2A的电流源;进一步等效成电压源和电阻相串联的电路,电路的变换过程如图2-12(b)所示。图2-12例2-4的求解过程图

【例2-5】利用电源的等效变换求图2-13(a)所示电路中的电流I。

解将所求支路看做外电路,对a、b端左边电路进行等效变换,也就是进行简化。

由图2-13(a)电路,将实际电流源(2A电流源并2Ω电阻支路)等效变换为实际电压源(2Ω电阻串4V电压源支路),将实际电压源(4Ω电阻串8V电压源支路)等效变换为实际电流源(4Ω电流源并2A电阻支路),如图(b)所示。

在图(b)中,2Ω电阻串联2Ω电阻,等效为4Ω电阻,如图(c)所示。在图(c)中,将4Ω电阻串4V电压源等效变换为1A电流源并4Ω电阻,如图(d)所示。图2-13例2-5图在图(d)中,1A电流源并2A电流源等效为3A电流源,4Ω电阻并联4Ω电阻,等效为2Ω电阻,如图(e)所示。

在图(e)所示电路中,利用分流公式可得电流I为

2.4支路电流法

简单电路就是能用电阻串并联方法化简和电源等效变换求解的电路。前面讨论了简单电路的分析与计算方法,可归纳如下:

(1)单电源多电阻电路。可利用欧姆定律、电阻的等效简化,以及分压、分流原理分析计算求得。

(2)多电源多电阻电路。可采用电源等效变换方法化简求解。本节主要介绍支路电流法。

所谓支路电流法就是以支路电流为电路变量,应用KCL列写节点电流方程式,应用KVL列写回路电压方程式,求得各支路电流。支路电流法是电路分析中最基本的方法。

对于图2-14所示电路,支路数b=3,节点数n=2,共要列出3个独立方程。列方程前,必须先在电路图上标出未知支路电流以及电压或电动势的参考方向。图2-14支路电流法的电路首先,应用基尔霍夫电流定律(KCL)对节点A列出方程:

I1+I2-I3=0

(2-17)

对节点B列出方程:

I3-I1-I2=0(2-18)

显然这两个方程是不独立的,一般对具有n个节点的电路应用KCL只能得到(n-1)个独立方程。其次,应用基尔霍夫电压定律(KVL)列出其余b-(n-1)个方程,通常取单孔回路(也称网孔)列出。图2-14中有两个单孔回路,对左边的单孔回路可列出方程:

-E1+R1I1+R3I3=0

(2-19)

对右边的单孔回路列出方程:

-E2+(R2+R4)I2+R3I3=0(2-20)

单孔回路的数目恰好等于b-(n-1)个。由此可归纳出用支路电流法分析电路的步骤如下:

(1)确定各支路电流的参考方向;

(2)对独立节点列写n-1个独立的KCL方程;

(3)选(b-(n-1))个独立回路(对于平面电路,通常取网孔为独立回路),对独立回路列出(b-(n-1))个以支路电流为变量的KVL方程。

(4)联立求解上述b个独立方程,解得各支路电流,并以此求出其他参数。

【例2-6】在图2-14所示的电路中,E1=80V,E2=70V,

R1=5Ω,R2=3Ω,R3=5Ω,R4=2Ω,试求各支路电流。

解应用KCL和KVL列方程:

I1+I2-I3=0

80=5I1+5I3

70=2I2+5I3+3I2

解得

I1=6A,I2=4A,I3=10A

【例2-7】电路如图2-15所示,已知E1=6V,E2=16V,IS=2A,R1=2Ω,R2=2Ω,R3=2Ω,应用支路电流法求解各支路电流。图2-15例2-7图

解首先标定各支路电流的参考方向,利用KCL和KVL列方程。

节点A:

I1+I2+I5=0

节点B:

I2-I3-I4=0

节点C:

I1+I3+IS=0回路ABCA:

E1-I3R2-I2R1=0

回路ABDA:

E2-I5R3+I2R1=0

将已知量带入,联立求解以上5个独立方程组,得

I1=-6A,I2=-1A,I3=4A,I4=-5A,I5=7A

2.5节点电压法

在电路中任选某一节点作为参考节点,其余节点到参考节点的电压称为对应节点的节点电压。一般选取连接支路数较多的点作为参考节点,可以减少计算量。由于电路中任何一条支路总是连接在两个节点之间或者节点与参考节点之间,因此,只要求出节点电压就可以采用欧姆定律计算出支路电流,进而求出任一元件两端的电压。这种以节点电压为变量,应用基尔霍夫电流定律(KCL)列出电路中的节点电压方程式,求解节点电压和各支路电流的方法称为节点电压法。图2-16所示电路包含四个节点。图2-16节点电压法示例选0节点作为参考节点,由欧姆定律得出各条支路电流的表达式:

(2-21)对1、2、3节点分别列写KCL方程:将式(2-21)带入以上三个KCL方程,可得到整理上式得出节点电压的方程式:上面的节点电压方程式写成一般表达式:

(2-22)综上所述,用节点电压法解题的一般步骤如下:

(1)标定各支路电压或电流的参考方向;

(2)选取参考节点,对其他节点编号;

(3)以节点电压为未知量,按节点电压的一般表达式列方程;

(4)从方程组中解出各节点电压,并由节点电压计算各支路电压或电流。

【例2-8】在图2-17中,US1=12V,iS=0.016A,

R1=100Ω,R2=500Ω,R3=100Ω。试用节点电压法求解

电流I1。图2-17例2-8图

解在图2-17中,共有两个节点,选取0为参考节点,

1为独立节点,列节点电压方程:

则所以电流I1为

【例2-9】利用节点电压法求图2-18中各支路的电流。图2-18例2-9图

(1)选取参考节点,标出各支路电流的参考方向。

(2)按一般方法列写节点电压方程。

节点a:

节点b:

解方程组得

una=-15V

unb=25V

(3)各支路电流为

2.6网孔电流法

下面以图2-19电路为例来说明网孔电流方程。本电路共有6条支路和4个节点。网孔电流法是选网孔为独立回路,以假想的网孔电流为未知量,依据KVL列写方程的方法。所选网孔序号、网孔及网孔电流绕向如图2-19所示。图2-19网孔电流法示例图中,il1、il2、il3为所选的网孔电流,网孔电流一经选

定,各支路电流都可以用网孔电流来表示,即

(2-23)对三个网孔分别列写KVL方程。

ABDA网孔1:

R1I1+R5I5+uS2-R3I3=0

BCDB网孔2:

R2I2-R4I4-uS2-R5I5=0

ADCA网孔3:

R3I3+R4I4-uS1=0将式(2-23)带入三个网孔的KVL方程并整理,可得到网孔电流方程为上式写成一般表达式为综上所述,用网孔电流法解题的一般步骤如下:

(1)选网孔为独立回路,标出网孔电流的方向和网孔序号。

(2)用观察自电阻、互电阻的方法列写各网孔的KVL方程(以网孔电流为未知量)。

(3)求解网孔电流。

(4)用网孔电流求解各支路电流。

(5)由支路电流及支路的VCR关系式求各支路电压。

【例2-10】利用网孔电流法求图2-20中的电流I1和I2。图2-20例2-10图

解电路的网孔电流序号如图中所示,三个网孔电流都取顺时针方向,则网孔电流方程为

(6+4+3)il1-3il2-4il3=0

-3il1+(3+1)il2-il3=12

-4il1-il2+(4+2+1)il3=-12

另外,根据支路电流和网孔电流之间的关系,可求得

I1=il3-il1

I2=il3

求解以上方程组可得到支路电流I1和I2。

2.7叠加定理

如图2-21(a)所示电路中有两个电源,支路中的电流I1是这两个电源共同作用产生的。图2-21叠加定理对于图2-21(a)所示电路,应用KCL和KVL可列方程组:

(2-25)

解方程组,得在以上方程中,可设

于是综上所述,可得到如下结论:

(1)对于线性电路,任何一条支路的电流,可以看成是电路中各个电源(电压源或者电流源)分别单独作用时在此支路上所产生的电流的代数和。线性电路的这一性质称为叠加定理。

(2)使用叠加定理时注意,此定理只能用来计算线性电路的电压和电流,对于非线性电路,叠加定理不适用。

(3)叠加定理的数学依据是线性方程的可加性。支路电流法及节点电压法得到的是线性方程,因此所求解的电压和电流量可以叠加;而求功率所列的方程不是线性方程,因为电流和功率不成正比关系,也就是说得到的是非线性方程,所以不能叠加。显然,

【例2-11】试求图2-22(a)所示电路中的电压Uab。图2-22例2-11图

解由叠加定理:

电压源单独作用时,电流源用开路代替,等效电路如图2-22(b)所示,可得电流源单独作用时,电压源用短路代替,等效电路如图2-22(c)所示,则有

所以

【例2-12】试应用叠加定理求图2-23(a)所示电路中的支路电流I。已知E1=12V,IS=6A,R1=1Ω,R2=2Ω,

R3=1Ω,R4=2Ω。图2-23例2-12图

解利用叠加定理,图2-23(a)所示的电路可视为图2-23(b)和图2-23(c)的叠加。

根据叠加定理,所以

I=I′+I″=4+2=6A

2.8戴维南定理与诺顿定理

2.8.1戴维南定理

戴维南定理:任意一个有源二端网络(如图2-24(a)所示),就其两个输出端(或负载RL)而言,总可与一个独立电压源和一个线性电阻串联的电路等效(如图2-24(b)所示)。其中,独立电压源的电压值等于该有源二端网络的开路电压U0(如图2-24(c)所示);尤其注意要把负载RL断开,串联电阻R0等于该有源二端网络内的独立源置零后得到的无源二端网络从输出端看入的等效电阻(如图2-24(d)所示)。图2-24戴维南定理示意图戴维南定理可用叠加定理和替代定理证明。下面给出该定理的证明。

设在图2-25(a)的电路中,ab支路用一电流源置换,电流源的电流IS与支路电流I相等(图2-25(a))。这样置换后不会改变原有源二端网络各支路的电流和电压。图2-25戴维南定理的证明根据叠加原理,图2-25(a)电路中的电流I和电压U是图

2-25(b)与(c)两个电路中相应电流(I′与I″)和相应电压

(U′与U″)的叠加。在图2-25(b)的电路中,除去理想电流源,保留了二端网络中所有的电源;此时,a和b两端开路,即I′=0,U′=U0。在图2-25(c)的电路中,只有理想电流源单独作用,有源二端网络中各电源均被除去而成为无源二端网络,其等效电阻为R0;此时,I″=IS=I,U″=-IR0。

由此可得

U=U′+U″=U0-IR0

因此,有源二端网络可用一个含源支路来等效代替,戴维南定理得证。

【例2-13】试求图2-26(a)所示有源二端网络的戴维南等效电路。图2-26例2-13图

(1)求开路电压U0。

求开路电压的电路如图2-26(b)所示,因为I=0,所以

(2)求等效电阻R0。

将二端网络中的所有独立源置零,得图2-26(c)所示的求等效电阻R0的电路,则等效电阻为

R0=4+6∥3=6Ω

因此可得戴维南等效电路如图2-26(d)所示。利用戴维南定理解题的一般步骤如下:

(1)在原电路图中先去掉待求支路,形成有源二端网络;

(2)求有源二端网络的开路电压U0;

(3)求无源二端网络的等效电阻R0;

(4)以实际电压源模型的形式画出戴维南等效电路,补充待求支路;

(5)求待求支路的未知量。2.8.2诺顿定理

诺顿定理与戴维南定理有对偶关系,其内容表述如下:任意一个线性有源二端网络(如图2-27(a)所示),就其两个输出端(或负载RL)而言,总可与一个独立电流源和一个线性电阻并联的电路等效(如图2-27(b)所示)。其中,独立电流源的电流等于该有源二端网络输出端的短路电流IS(如图2-27(c)所示)。尤其注意要把负载RL短路,并联电阻R0等于该有源二端网络内的独立源置零后得到的无源二端网络从输出端看入的等效电阻(如图2-27(d)所示)。图2-27诺顿定理示意图应用戴维南定理和诺顿定理的几点说明:

(1)应

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