杭州市下城区2022年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案

6/20杭州市下城区2022年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案一、选择题每小题3分，共30分。1．（3分）做一个三角形的木架，以下四组木棒中，符合条件的是（）A．3cm，2cm，1cm B．3cm，4cm，5cm C．5cm，12cm，6cm D．6cm，6cm，12cm【解答】解：根据三角形的三边关系，知：A中，1+2＝3，排除；B中，3+4＞5，可以；C中，5+6＜12，排除；D中，6+6＝12，排除．故选：B．2．（3分）如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（）A．a﹣3＜b﹣3 B．1+a＞1+b C．﹣3a＞﹣3b D．a【解答】解：A、两边都减3，不等号的方向不变，故A错误；B、两边都加1，不等号的方向不变，故B正确；C、两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故C错误；D、两边都除以3，不等号的方向不变，故D错误；故选：B．3．（3分）等腰三角形的周长为9，一边长为4，则腰长为（）A．5 B．4 C．2.5 D．2.5或4【解答】解：分情况考虑：当4是腰时，则底边长是9﹣8＝1，此时4，4，1能组成三角形；当4是底边时，腰长是（9﹣4）×1此时腰长是2.5或4．故选：D．4．（3分）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6【解答】解：A、因为AB+BC＜AC，所以这三边不能构成三角形；B、因为∠A不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度；C、已知两角可得到第三个角的度数，已知一边，则可以根据ASA来画一个三角形；D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形．故选：C．5．（3分）不等式2x﹣6≤0的非负整数解的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：移项，得：2x≤6，系数化为1，得：x≤3，所以不等式的非负整数解有：0、1、2、3这4个，故选：D．6．（3分）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．4【解答】解：作EF⊥BC于F，因为BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，所以EF＝DE＝2，所以S△BCE=12BC•EF故选：C．7．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB＝10，AC＝6，则△ACD的周长为（）A．16 B．14 C．20 D．18【解答】解：因为△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，所以BC=AB因为DE是线段AB的垂直平分线，所以AD＝BD，所以AD+CD＝BD+CD，即AD+CD＝BC，所以△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+BC＝6+8＝14．故选：B．8．（3分）下列命题：①成轴对称的两个三角形是全等三角形；②当a＞b时，若c＞0，则ac＞bc；③直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；④内错角相等，其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①成轴对称的两个三角形是全等三角形为真命题，其逆命题为假命题，不符合题意；②当a＞b时，若c＞0，则ac＞bc为真命题，其逆命题也为真命题，符合题意；③直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半为真命题，其逆命题为真命题，符合题意；④内错角相等为假命题，其逆命题也为假命题，不符合题意，故选：B．9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于F，且AD＝DB．若∠B＝20°，则∠DFE等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°【解答】解：因为在△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中点，所以BE＝CE，因为∠B＝20°所以∠ECB＝∠B＝20°，因为AD＝BD，∠B＝20°，所以∠DAB＝∠B＝20°，所以∠ADC＝∠B+∠DAB＝20°+20°＝40°，所以∠DFE＝∠ADC+∠ECB＝40°+20°＝60°，故选：D．10．（3分）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：①DF＝DN；③AE＝CN；③△DMN是等腰三角形；④∠BMD＝45°，其中正确的结论个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：因为∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，所以∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，所以∠BAD＝45°＝∠CAD，因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠CBE=1所以∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，所以∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，所以AF＝AE，因为M为EF的中点，所以AM⊥BE，所以∠AMF＝∠AME＝90°，所以∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，在△FBD和△NAD中∠所以△FBD≌△NAD，所以DF＝DN，所以①正确；在△AFB和△CNA中∠所以△AFB≌△CAN，所以AF＝CN，因为AF＝AE，所以AE＝CN，所以②正确；因为AE＝AF，M为EF的中点，所以AM⊥EF，所以∠AMF＝90°，同理∠ADB＝90°，因为∠BFD＝∠AFE，因为BE平分∠ABC，所以∠MBA＝∠MBN，因为AN⊥BM，所以∠AMB＝∠NMB＝90°，所以∠BNM＝∠BAM＝180°﹣∠AMB﹣∠ABM＝180°﹣90°﹣22.5°＝67.5°，所以BA＝BN，所以AM＝MN，因为∠ADC＝90°，所以AM＝MN＝DM，所以∠ABM＝∠ADM＝22.5°，所以∠DMN＝∠DAN+∠ADM＝22.5°+22.5°＝45°，所以∠BMD＝45°，所以④正确；因为∠DNA＝∠C+∠CAN＝45°+22.5°＝67.5°，所以∠MDN＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°＝∠DNM，所以DM＝MN，所以△DMN是等腰三角形，所以③正确；即正确的有4个，故选：D．二、填空题每小题4分，共24分。11．（4分）请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题：两个角相等三角形是等腰三角形．【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个底角相等三角形是等腰三角形”，故答案为：两个角相等三角形是等腰三角形．12．（4分）如果不等式（b+1）x＜b+1的解集是x＞1，那么b的范围是b＜﹣1．【解答】解：因为（b+1）x＜b+1的解集是x＞1，所以b+1＜0，解得b＜﹣1，故答案为：b＜﹣1．13．（4分）已知直角三角形的两条边长分别为6和8，那么该直角三角形斜边上的中线长是4或5．【解答】解：分为两种情况：当6和8都是直角边时，斜边为62则该直角三角形斜边上的中线长为12当6为直角边，8为斜边时，则此时该直角三角形斜边上的中线长是12故答案为：4或5．14．（4分）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，则DE的长为5cm．【解答】解：因为BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，所以∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，因为DE∥BC，所以∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，所以∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，所以BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，所以BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE＝8﹣3＝5（cm），故答案为：5cm．15．（4分）已知等腰△ABC，其腰上的高线与另一腰的夹角为35°，那么顶角为度数是55°或125°．【解答】解：如图（1），因为AB＝AC，BD⊥AC，所以∠ADB＝90°，因为∠ABD＝35°，所以∠A＝55°；如图（2），因为AB＝AC，BD⊥AC，所以∠BDC＝90°，因为∠ABD＝35°，所以∠BAD＝55°，所以∠BAC＝125°；综上所述，它的顶角度数为：55°或125°．故答案为：55°或125°．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D为直线AB上一动点，当BD＝2或8或74或18【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，所以AC=A当点D在点B的左侧时，若AC＝AD，因为AC＝10，所以AD＝10，所以BD＝AD﹣AB＝10﹣8＝2，若AC＝CD，因为CB⊥AD，AB＝8，所以AB＝BD＝8；当点D在点B和点A中间时，若AD＝CD，设BD＝x，则AD＝CD＝8﹣x，因为∠CBD＝90°，BC＝6，所以62+x2＝（8﹣x）2，解得x=7当点D在点A的右侧时，若AC＝AD＝10，则BD＝BA+AD＝8+10＝18；由上可得，BD＝2或8或74故答案为：2或8或74三、简答题（66分）17．（6分）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．（1）7x﹣2≤9x+2；（2）1-7x-1【解答】解：（1）7x﹣2≤9x+2，移项，得：7x﹣9x≤2+2，合并同类项，得：﹣2x≤4，系数化为1，得：x≥﹣2．将不等式的解集表示在数轴上如下：；（2）1-7x-1去分母，得：8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2），去括号，得：8﹣7x+1＞6x﹣4，移项，得：﹣7x﹣6x＞﹣4﹣8﹣1，合并同类项，得：﹣13x＞﹣13，系数化为1，得：x＜1．将不等式的解集表示在数轴上如下：．18．（8分）如图所示，在△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm；在△ABE中，DE为AB边上的高，DE＝12cm，△ABE的面积S＝60cm2．（1）求出AB边的长；（2）你能求出∠C的度数吗？请试一试．【解答】解：（1）因为DE＝12cm，S△ABE=12DE•AB＝60cm所以AB＝10cm；（2）因为AC＝8cm，BC＝6cm，62+82＝102，所以AC2+BC2＝AB2，由勾股定理逆定理得∠C＝90°．19．（8分）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）若AB＝13，BC＝10，求DE的长．【解答】（1）证明：因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，因为BD＝CD，所以Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），所以∠B＝∠C，所以AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形；（2）解：因为AB＝AC，BD＝CD，所以AD⊥BC，因为AB＝13，BC＝10，所以BD＝CD=12BCAD=A因为S△ABD=12•AB•DE所以AB•DE＝AD•BD，所以DE=AD⋅BD20．（10分）某校暑假准备组织该校的“三好学生”参加夏令营，由1名老师带队．甲旅行社说：“若老师买全票一张，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括老师在内都6折优惠”若全票价是1200元，则：（1）设三好学生人数为x人，则参加甲旅行社的费用是1200+600x元；参加乙旅行社的费用是720（x+1）元．（2）当学生人数取何值时，选择参加甲旅行社比较合算？【解答】解：（1）设三好学生人数为x人由题意得，参加甲旅行社的费用是1200+1200×0.5×x＝1200+600x；参加乙旅行社的费用是1200×0.6×（x+1）＝720（x+1）．（2）由题意得1200+600x﹣720（x+1）＜0解不等式得x＞4答：（1）1200+600x，720（x+1）．（2）当学生人数多于4人时，选择参加甲旅行社比较合算．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，∠B＝30°，连接AD．（1）若∠BAD＝45°，求证：△ACD为等腰三角形；（2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．【解答】（1）证明：因为AB＝AC，∠B＝30°，所以∠B＝∠C＝30°，所以∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，因为∠BAD＝45°，所以∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣45°＝75°，∠ADC＝∠B+∠BAD＝75°，所以∠ADC＝∠CAD，所以AC＝CD，即△ACD为等腰三角形；（2）解：有两种情况：①当∠ADC＝90°时，因为∠B＝30°，所以∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝90°﹣30°＝60°；②当∠CAD＝90°时，∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝120°﹣90°＝30°；即∠BAD的度数是60°或30°．22．（12分）如图，等腰直角三角尺△ABC与30°三角尺△ABD斜边AB重合，O为AB的中点，连接DC．（1）判断△OCD的形状；（2）求∠COD的度数；（3）若CO＝2，求△OCD的面积．【解答】解：（1）△OCD是等腰三角形，理由是：因为△ACB和△ADB是直角三角形，且∠ACB＝∠ADB＝90°，O为AB的中点，所以OC=12AB，OD所以OC＝OD，所以△OCD是等腰三角形；（2）因为AC＝BC，O是AB的中点，所以OC⊥AB，所以∠AOC＝90°，Rt△ADB中，∠ABD＝30°，所以AD=1因为OD=1所以AD＝OD，所以∠BAD＝∠AOD＝60°，所以∠COD＝∠AOD+∠AOC＝60°+90°＝150°；（3）如图，过点D作DE⊥OC于E，因为∠COD＝150°，所以∠DOE＝30°，因为OC＝OD＝2，所以DE=1所以△COD的面积=12•OC•DE23．（12分）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝90度；（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你