自动控制原理 课件 3.2一阶系统的动态性能分析

3.2一阶系统的动态性能分析

凡是由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。一些控制元部件及简单的系统，如

网络、发电机励磁控制系统、室温调节系统和水位控制系统等，都可视为一阶系统。有些高阶系统的特性，常可用一阶系统的特性来近似表征。3.2.1一阶系统的数学模型一阶系统的微分方程为式中，r(t)

和

c(t)

分别为系统的输入信号和输出信号；

T为时间常数，具有时间“秒”的量纲。在零初始条件下对式两边取拉普拉斯变换，可得传递函数为相应一阶系统的结构图如图3-2-1所示。1.一阶系统的单位阶跃响应

下面分析一阶系统在典型输入信号作用下的时间响应，设系统的初始条件为零。3.2.2一阶系统的时间响应设输入信号为单位阶跃函数

，其拉普拉斯变换为

，则系统输出的拉普拉斯变换为

对上式两边取拉普拉斯反变换，可得一阶系统的单位阶跃响应为。图3-2-2一阶系统的单位阶跃响应曲线

由式可见，响应由稳态分量1和瞬态分量

两部分组成。当时间

时，瞬态分量衰减为零，稳态输出为1。显然，单位阶跃响应曲线是一条由零开始，按指数规律上升并最终趋于1的曲线，如图3-2-2所示。一阶系统单位阶跃响应具有以下两个重要特征。表3-2-1时间常数T与输出值的对应关系(1)时间常数

是表征系统响应特性的唯一参数，它与输出值的对应关系如表3-2-1所示。根据这一特点，可用实验方法测定一阶系统的时间常数，或判定所测系统是否属于一阶系统。(2)响应曲线的斜率初始值等于

，即上式表明，一阶系统的单位阶跃响应如果以初始速度等速上升至稳态值1时，所需要的时间恰好为

。这一特点为用实验方法求取系统的时间常数

提供了依据。

根据动态性能指标定义，可知一阶系统的阶跃响应没有超调量

和峰值时间

，其主要动态性能指标为调节时间

，由于

时，输出响应可达稳态值的

，

时，输出响应可达稳态值的

，故一般取(取

误差带)(取

误差带)显然，时间常数

越小，调节时间

越小，响应过程的快速性也越好。图3-2-3反馈系统的结构图例3-1已知原系统传递函数为

，现采用如图3-2-3所示的负反馈方式，欲将反馈系统的调节时间减小为原来的十分之一，并且保证原放大倍数不变，试确定参数

和

的取值。解：依题意可知原系统的时间常数

T=

0.5s，放大倍数K=10

。要求采用负反馈后系统的时间常数为T'=0.5

x

0.1

=

0.05，放大倍数K'=10。由结构图可知，反馈系统的传递函数为应有

解得

，

。

2.一阶系统的单位脉冲响应

设输入信号为理想单位脉冲函数

，其拉普拉斯变换为

，则系统输出量的拉普拉斯变换式为。对上式两边求拉普拉斯反变换，可得一阶系统的单位脉冲响应为

相应的响应曲线如图3-2-4所示。由图可见，一阶系统的单位脉冲响应为一单调衰减的指数曲线，其斜率初始值为

图3-2-4一阶系统的单位脉冲响应曲线3.一阶系统的单位斜坡响应对上式两边求拉普拉斯反变换，可得一阶系统的单位斜坡响应为

设输入信号为理想单位脉冲函数

，其拉普拉斯变换为

，则系统输出量的拉普拉斯变换式为。由式(3-2-7)可见，响应由稳态分量

和瞬态分量

两部分组成。当时

，瞬态分量衰减为零，而稳态分量是一个与输入斜坡函数斜率相同但时间滞后

的斜坡函数。单位斜坡响应曲线如图3-2-5所示。由图可见，一阶系统在跟踪单位斜坡输入信号时，在位置上存在稳态误差，其值正好等于时间常数

。

图3-2-5一阶系统的单位斜坡响应曲线4.一阶系统的单位加速度响应对上式两边求拉普拉斯反变换，可得一阶系统的单位加速度响应为

设输入信号为理想单位脉冲函数

，其拉普拉斯变换为

，则系统输出量的拉普拉斯变换式为。将一阶系统在典型输入作用下的输出响应归纳如表3-2-2所示。3.2.3一阶系统的重要特性表3-2-1时间常数T与输出值的对应关系由表3-2-2得到如下结论：(1)一阶系统只有时间常数

这一特征参数。在一定的输入信号作用

下，时间响应由时间常数

唯一确定。(2)比较一阶系统对脉冲、阶跃、斜坡和加速度输入信号的响应，可以发现有如下关系上式表明，系统对输入信号微分(或积分)的响应，就等于系统对该输入信号响应的微分(或积分)，该结论适用于任何线性定常连续系统。因此，研究线性定常连续系统的响应时，不必对每种输入信号的响应都进行计算或求解，只要求解出其中一种响应，便可通过上述关系求出其他响应。因此，在以后对二阶和高阶系统的讨论中，主要研究系统的阶跃响应。3.2.4MATLAB实现在MATLAB中，提供了求取各种连续系统时间响应的函数，其调用格式如下y=step(num,den,t)%当不带输出变量y时，step命令可直接绘制阶跃响应曲线。其中num和den分别为系统传递函数的分子和分母多项式的系数按降幂排列构成的系数行向量。t为选定的仿真时间向量，一般可由t=0:step:end等步长地产生，可缺省。y=impulse(num,den,t)%当不带输出变量y时，impulse命令可直接绘制脉冲响应曲线。t用于设定仿真时间，可缺省。y=lsim(num,den,u,t,x0)%当不带输出变量y时，lsim命令可直接绘制任意输入响应曲线。其中u表示输入，t用于设定仿真时间，可缺省，x0用于设定初始状态，缺省时为0。解：MATLAB程序如下。clc;clearnum=[1];den=[11];sys=tf(num,den);t=0:0.01:5;subplot(2,2,1);step(sys,t);gridxlabel('t');ylabel('c(t)');title('stepresponse');subplot(2,2,2);impulse(sys,t);grid例3-1已知原系统传递函数为

，试用MATLAB绘制系统在单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡和单位加速度输入时的输出响应曲线。xlabel('t');ylabel('c(t)');title('impulseresponse');subplot(2,2,3);lsim(sys,t,t,0);gridxlabel('t');ylabel('