自动控制原理 课件 第4章 控制系统的根轨迹分析

第4章控制系统的根轨迹分析自动控制原理第4章控制系统的根轨迹分析4.1根轨迹法的基本概念4.2绘制根轨迹的基本规则4.3广义根轨迹4.4利用根轨迹分析系统性能4.5习题⑴掌握根轨迹的基本概念，理解根轨迹方程，能运用模值方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。⑵掌握绘制根轨迹的规则，能熟练运用根轨迹规则绘制系统根轨迹。⑶理解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。⑷理解闭环零、极点分布和阶跃响应的定性关系，掌握运用根轨迹分析系统性能的方法。学习目标：⑴根轨迹的基本概念和根轨迹方程。⑵绘制根轨迹的基本规则。⑶广义根轨迹的绘制。⑷根据根轨迹分析系统的性能。本章重点：4.1根轨迹法的基本概念通过前面的分析可知，闭环控制系统的稳定性和动态特性主要由闭环系统特征方程的根（即闭环极点）决定。因此，研究闭环特征根在平面的分布可以间接分析控制系统的性能。对于高阶系统而言，直接求解特征根非常困难。因此，有必要探索不解高次代数方程也能求出系统闭环特征根，进而分析控制系统性能的有效方法。WalterRichardEvans（1920-1999）1948年，伊文思（W.R.Evans）提出了根轨迹法，并且在控制系统的分析与设计中得到广泛的应用。这是一种由开环传递函数间接判断闭环特征根的概略图解法，从而避免了直接求解系统闭环特征根的困难。4.1.1根轨迹的定义根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在s平面上变化的轨迹。7例子如图4-1-1所示二阶系统，系统的开环传递函数为（4-1-1）开环传递函数有两个极点p1=0、p2=-2，没有零点，开环增益为K。闭环特征方程闭环特征根

闭环传递函数（4-1-2）如果令开环增益K:0→∞，可以用解析的方法求出闭环极点的全部数值，将这些数值标注在s平面上，并连成光滑的粗实线，如图4-1-2所示。图上，粗实线就称为系统的根轨迹，根轨迹上的箭头表示随着K值的增加，根轨迹的变化趋势，而标注的数值则代表与闭环极点位置相应的开环增益K的数值。利用图4-1-2所示的系统根轨迹图能方便地分析系统性能随参数K变化的规律。稳定性：当K由0→∞变化时，系统的闭环极点s1，s2均在s平面的左半平面，因此，系统对所有的K值均是稳定的。动态性能：当0<K<0.5时，闭环极点s1，s2为两个不相等的负实极点，系统过阻尼；当K=0.5时，闭环极点为两个相等的负实极点，系统临界阻尼；当K>0.5时，闭环极点为一对具有相同负实部的共轭复数极点，系统欠阻尼。稳态性能：系统在坐标原点有一个开环极点，系统属于Ⅰ型系统，因而根轨迹上的K值就是稳态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。根轨迹与系统的特性有着密切的关系。有了系统的根轨迹，就可以了解系统性能随参数变化的情况。4.1.2根轨迹方程系统闭环传递函数为闭环控制系统一般可用图4-1-3所示的结构图来描述。图4-1-3闭环控制系统结构图（4-1-2）系统开环传递函数为（4-1-3）式中，K*是根轨迹增益，从零到无穷大变化；zi、pj分别是开环零点、开环极点。并假定n≥m。闭环特征方程即将式（4-1-3）带入式（4-1-4），得

（4-1-5）满足式（4-1-5）的点，必定是根轨迹上的点，称式（4-1-5）为根轨迹方程。不难看出，式子为关于s的复数方程，因此，可把它分解成模值方程和相角方程。（4-1-4）模值方程相角方程（4-1-6）（4-1-7）方程（4-1-6）和（4-1-7）是根轨迹上的点同时满足的两个条件。根据这两个条件，可以完全确定s平面上的根轨迹和根轨迹上对应的K*值。由式（4-1-7）可知，相角条件与根轨迹增益K*无关，因此，相角条件是确定s平面上根轨迹的充分必要条件，而模值条件可以作为确定根轨迹上各点的K*值的依据。例4-1已知单位负反馈系统的开环传递函数

试判断是否在根轨迹上。解：系统有三个开环极点p1=0，p2=-2，p3=-5，无开环零点。将开环零、极点及K*同时标注在复平面上，如图4-1-4所示。点s1若在根轨迹上，必须满足相角条件。将p1、p2、p3带入式(4-1-7)，得显然，点s1不满足相角条件，所以点s1不在根轨迹上。例4-2已知单位负反馈控制系统开环传递函数为，确定根轨迹上点所对应的K*值。解：系统有三个开环极点p1=0，p2=-1，p3=-5，无开环零点。将根轨迹上点

代入式(4-1-6)，得得到根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点对应的K*值。4.2绘制根轨迹的基本规则4.2.1绘制根轨迹的基本规则通过根轨迹的绘制规则可用来求取根轨迹的起点和终点，根轨迹的分支数、对称性和连续性，实轴上的根轨迹，根轨迹的分离点和汇合点，根轨迹的渐近线，根轨迹的出射角和入射角，根轨迹与虚轴的交点等信息。特别指出是，用这些基本规则绘出的根轨迹，其相角遵循(2k+1)π条件，因此称为180°根轨迹，以下的8条绘制规则称为180°根轨迹的绘制规则。规则1根轨迹的起点与终点根轨迹始于开环极点，终止于开环零点。由根轨迹方程有：（4-2-1）→→

起点→→终点当n≥m时，有m条根轨迹趋向于开环零点（有限零点），另外n-m条根轨迹将趋于无穷远处（无限零点）。证明：依据定义，根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷大时，闭环特征方程的根在s平面上的变化轨迹，由闭环特征方程可知，其根的数目即为开环极点数，因而根轨迹的分支数必与开环极点数n相等。当K*从零到无穷大连续变化时，闭环特征方程的某些系数也随之连续变化，因而特征方程根的变化也必然是连续的。因为特征方程的根为实数或为共轭复数，所以根轨迹必对称于实轴。规则2根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支数与开环极点数n相等，根轨迹是连续的且对称于实轴。规则3实轴上某区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。证明：设一系统开环零、极点分布如图。在实轴上任取一试验点s0代入相角方程，则因为p4、p5为共轭复数极点，因而θ4=

θ5

，所以上式满足相角条件，于是实轴上的点s0在根轨迹上。例4－3设一单位负反馈系统的开环传递函数为求时的闭环根轨迹。解：将开环传递函数写成零、极点形式⑴开环传递函数分子的阶次m=1，分母的阶次n=2。⑵系统有两个开环极点p1=0，p2=-5，一个开环零点z1=-1。两条根轨迹分别始于开环极点p1和p2，一条终止于有限零点z1，另一条趋于无穷远处。⑶实轴上，根轨迹区间是[-1,0]和(-∞,-5]。绘制根轨迹如图4-2-2所示。图4-2-2例4-3的根轨迹规则4根轨迹的渐近线若开环极点数n大于开环零点数m，则有(n-m)条根轨迹沿着一组直线趋于无穷远，这些直线称为根轨迹的渐近线。渐近线与实轴的交点为渐近线与正实轴方向的夹角（倾角）为例4-4已知系统的开环传递函数，求出根轨迹的渐近线。解：系统有3个开环极点p1=0，p2=-2，p3=-4，无开环零点，则有3条根轨迹沿渐近线趋于无穷远处。渐近线与实轴的交点为渐近线与正实轴方向的夹角为

绘制根轨迹渐近线如图4-2-3所示。图4-2-3例4-4根轨迹渐近线

规则5根轨迹的分离点（或会合点）和分离角（或会合角）两条或两条以上根轨迹在s平面上相遇而又分开（或分开后又相遇）的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）。分离点（或会合点）的坐标d是下列方程的解。根轨迹进入分离点切线方向与离开分离点切线方向之间的夹角，称为分离角（或会合角）。分离角（或会合角）可由(2k+1)π/l决定，l为趋向或离开实轴的根轨迹的分支数。（4-2-6）设系统的开环传递函数为式（4-2-7）中，系统闭环特征方程为根轨迹在s平面相遇，说明根轨迹的分离点（或会合点）是系统闭环特征方程的重根，设重根为d，特征方程有重根的条件为另外，将式（4-2-8）和式（4-2-9）交叉相乘可得由式（4-2-10）也可以求出分离点。（4-2-7）（4-2-8）（4-2-9）（4-2-10）如何判断在s平面上的根轨迹是否有分离点，及分离点可能产生的大概位置？根轨迹的分离点或位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平面中。一般情况下，常见的根轨迹分离点是位于实轴上的两条根轨迹的分离点。⑴开环传递函数分子的阶次m=1，分母的阶次m=2，有2条根轨迹，1条渐近线。⑵系统有2个开环极点p1=0，p2=-1，一个开环零点z1=-2。两条根轨迹分别始于开环极点p1和p2，一条终止于有限零点z1，另一条趋于无穷远处。⑶实轴上，根轨迹区间是[-1,0]和(-∞,-2]。⑷渐近线与实轴的交点为例4-5已知单位负反馈控制系统开环传递函数，试绘制概略根轨迹。解：渐近线与正实轴方向的夹角为⑸根轨迹分离点（或会合点）d1=-0.586，d2=-3.414。d1即为所求的根轨迹的分离点（或会合点），d2不在实轴根轨迹区间内，则舍弃。⑹分离点（会合点）的分离角（会合角）均为±90°。绘制根轨迹如图4-2-4所示。

规则6根轨迹的出射角和入射角根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角称为出射角，记为。根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角称为入射角，记为。根据根轨迹的相角条件可求出（4-2-11）（4-2-12）例4-6已知单位负反馈控制系统开环传递函数G(s)，试绘制概略根轨迹。解：⑴开环传递函数分子的阶次m=3，分母的阶次n=4，有4条根轨迹，1条渐近线。⑵系统有4个开环极点p1=0，p2,3=-0.5±j1.5，p4=-2.5，3个开环零点z1=-1.5，z2,3=-2±j。4条根轨迹分别始于4个开环极点p1、p2、p3和p4，终止于开环零点z1、z2、z3和无穷远处。⑶实轴上，根轨迹区间是(-∞,-2.5]和[-1.5,0]。⑷根轨迹的出射角和入射角根轨迹在p2处的出射角根据对称性，则根轨迹在z2处的入射角根据对称性，则根轨迹的出射角和入射角如图4-2-5所示，绘制根轨迹如图4-2-6所示。规则7根轨迹与虚轴的交点若根轨迹与虚轴相交，则交点处的K*和对应的ω值可用劳斯判据求得，或者令闭环特征方程中的s=jω，然后分别使其实部和虚部为零求得。根轨迹和虚轴交点表明系统处于临界稳定状态，此时K*称为临界根轨迹增益。例4-7已知单位负反馈控制系统开环传递函数G(s)，试绘制概略根轨迹。解：⑴开环传递函数分子的阶次m=0，分母的阶次n=3，有3条根轨迹，3条渐近线。⑵系统有3个开环极点p1=0，p2,3=-1±j，无开环零点。3条根轨迹分别始于3个开环极点p1、p2和p3，终止于无穷远处。⑶实轴上，根轨迹区间是(-∞,0]。⑷渐近线与实轴的交点为

渐近线与正实轴方向的夹角为

⑸根轨迹无分离点（或会合点）。⑹根轨迹的出射角

根据对称性，则⑺根轨迹与虚轴的交点系统闭环特征方程为方法一列劳斯表为根据劳斯表可知，闭环系统稳定的条件为0<K*<4，系统临界稳定时K*=4，将其带入辅助方程F(s)=2s2+K*=0求得。因此，根轨迹与虚轴交点为，对应的K*=4为临界根轨迹增益。方法二令s=jω，带入闭环特征方程得根据显然，两种方法的计算结果一致。绘制根轨迹如图4-2-7所示。规则8根之和与根之积若系统闭环特征方程可以表示如下式（4-2-13）中，zi、pj分别为开环零、极点；sj为闭环极点，则有如下结论：⑴闭环特征根的负值之和，等于闭环特征方程式的第二项系数a1。若(n-m)≥2，根之和与开环根轨迹增益K*无关。⑵闭环特征根之积乘以(-1)n，等于闭环特征方程的常数项an。（4-2-13）上述的结论可以表示为

式（4-2-14）表明，当K*由0→∞变化时，若一部分闭环极点在复平面向左移动，另外一部分必然向右移动，使其根之和保持不变。另外，当根轨迹增益K*为确定值时，若已知某些闭环极点，则应用根之和与根之积的关系可以确定出其他闭环极点。（4-2-14）例4-8已知单位负反馈控制系统开环传递函数G(s)，试绘制概略根轨迹，并求临界根轨迹增益及该增益对应的闭环极点。解：⑴开环传递函数分子的阶次m=0，分母的阶次n=3。有3条根轨迹，3条渐近线。⑵系统有3个开环极点p1=0，p2=-1

，p3=-10

，无开环零点。三条根轨迹分别始于3个开环极点p1、p2和p3，终止于无穷远处。⑶实轴上，根轨迹区间是[-1,0]，(-∞,-10]。⑷渐近线与实轴的交点为

渐近线与正实轴方向的夹角为

⑸根轨迹分离点（或会合点）解得d1=-0.49,d2=-6.85（舍去）。由于满足(n-m)≥2，闭环根之和为常数。当K*增大时，若一只根轨迹向左移动，则另外两支根轨迹应该向右移动，因此分离点│d│<0.5是合理的。⑹根轨迹与虚轴的交点系统闭环特征方程为令s=jω，带入闭环特征方程得根据可得，因此，根轨迹与虚轴交点为，对应的K*=110。当0<K*<110时闭环系统稳定，K*=110为临界根轨迹增益。求得。因此，根轨迹增益K*对应的3个闭环极点为和。根轨迹与虚轴的交点为对应的两个闭环极点，第3个闭环极点可由根之和规则求得，即绘制根轨迹如图4-2-8所示。例4-9已知单位负反馈控制系统开环传递函数，试绘制概略根轨迹。解：

⑴开环传递函数分子的阶次m=1，分母的阶次n=4。有4条根轨迹，3条渐近线。⑵系统有4个开环极点p1=0，p2=1，，1个开环零点z1=-1。4条根轨迹分别始于4个开环极点p1、p2、p3和p4，终止于开环零点z1和无穷远处。⑶实轴上，根轨迹区间是(-∞,-1],[0,1]。⑷渐近线与实轴的交点为

渐近线与正实轴方向的夹角为

⑸根轨迹分离点（或会合点）解得

（舍去）⑹根轨迹的出射角

根据对称性，则⑺根轨迹与虚轴的交点系统闭环特征方程为

列劳斯表为

令s1行的元素全为零，即

求得将其带入辅助方程求得根轨迹与虚轴交点和绘制根轨迹如图4-2-10所示。

4.2.2MATLAB实现根轨迹法是分析和设计控制系统的一种图解方法，依据根轨迹规则可以较为简便地手工绘制概略根轨迹，应用MATLAB软件可以绘制精确的根轨迹图。常见的绘制根轨迹函数包括rlocus、rlocfind和sgrid等。rlocus:绘制系统根轨迹的函数rlocfind:计算与根轨迹上极点相对应的根轨迹增益函数sgrid:为连续时间系统的根轨迹添加网格线，包括等阻尼比线和等自然频率线函数1.函数rlocus()在MATLAB中，提供了绘制系统根轨迹的函数rlocus()，其调用格式如下。rlocus(sys)%绘制系统sys的根轨迹rlocus(sys,k)%增益向量k由用户指定rlocus(sys1,sys2,…)%在同一个绘图窗口中绘制模型sys1,sys2,…的根轨迹[r,k]=rlocus(sys)%计算sys的根轨迹数据值，返回值k为增益向量，r为闭环极点向量，但不绘制根轨迹r=rlocus(sys,k)%计算sys的根轨迹数据值，增益向量k由用户指定2.函数rlocfind()在MATLAB中，提供了计算与根轨迹上极点相对应的根轨迹增益函数rlocfind()，其调用格式如下。[k,poles]=rlocfind(sys)%求取根轨迹上指定点的增益k，并将显示%该增益下所有的闭环极点poles。[k,poles]=rlocfind(sys,p)%对给定p计算返回对应的增益k和k所

%对应的全部极点poles。3.函数sgrid()在MATLAB中，提供了为连续时间系统的根轨迹添加网格线，包括等阻尼比线和等自然频率线函数sgrid()，其调用格式如下。sgrid%为根轨迹添加网格线sgrid(z,wn)%为根轨迹添加网格线，等阻尼比范围和等自然频率%范围分别由向量z和wn指定。说明：缺省情况下，等阻尼比步长为0.1，范围0-1。等自然频率步长为1，范围为0-10，也可以由向量z和wn分别指定其范围。例4-10已知单位负反馈控制系统开环传递函数,利用MATLAB绘制系统的根轨迹。clc;clearnum=[124];den=conv(conv([140],[16]),[11.41]);G=tf(num,den);%系统开环传递函数rlocus(G)%绘制系统根轨迹p=pole(G)%开环系统的极点z=zero(G)%开环/闭环系统的零点%计算渐近线与实轴的交点sigma=(sum(p)-sum(z))/(length(p)-length(z))解：输入以下MATLAB命令p=0-6.0000-4.0000-0.7000+0.7141i-0.7000-0.7141iz=-1.0000+1.7321i-1.0000-1.7321isigma=-3.1333Kc=15.615367.5209163.5431wc=1.21322.15103.7551%%计算临界稳定点的根轨迹增益与虚轴的交点AG=allmargin(G);%临界根轨迹增益Kc=AG.GainMargin%根轨迹与虚轴的交点频率wc=AG.GMFrequency程序运行结果如图4-2-10所示。由根轨迹图可知，当和范围时，系统稳定。4.3广义根轨迹180°根轨迹绘制规则，通常也称为常规根轨迹的绘制规则，是基于负反馈条件下根轨迹增益K*变化时的根轨迹绘制方法。当系统是基于正反馈条件下，或者其他参数作为变量（开环零、极点，时间常数，反馈系数等）时的根轨迹（包括参数根轨迹和零度根轨迹），称为广义根轨迹。4.3.1参数根轨迹以非根轨迹增益K*（或开环增益K）为可变参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹。绘制参数根轨迹的规则与绘制常规根轨迹的规则完全相同。只要在绘制参数根轨迹之前，引入等效单位反馈系统和等效开环传递函数的概念，则常规根轨迹的所有规则均适用于参数根轨迹的绘制。假设负反馈系统的闭环特征方程为讨论以参数β变化的根轨迹，将式（4-3-1）进行等效变换，即根据式（4-3-2）得等效的开环传递函数为

由式（4-3-3）可以绘制系统可变参数β的根轨迹。特别指出，等效开环传递函数是根据式（4-3-1）得来的。等效的含义仅在于其闭环极点相同，而闭环零点通常是不同的。因此，根据闭环零、极点分布分析系统的性能时，可以采用参数根轨迹上的闭环极点，但必须采用原来闭环系统的零点。（4-3-1）（4-3-2）（4-3-3）例4-11已知单位负反馈控制系统开环传递函数，求K=0.25时，参数α变化时的根轨迹。闭环系统特征方程为将上式整理后，得

等效开环传递函数为

当K=0.25时,

⑴开环传递函数分子的阶次m=0，分母的阶次n=3。有3条根轨迹，3条渐近线。⑵系统有3个开环极点p1=0，p2,3=-0.5，无开环零点。3条根轨迹分别始于3个开环极点p1、p2和p3，终止于无穷远处。解：⑶实轴上，根轨迹区间是（-∞,0]。⑷渐近线与实轴的交点为

渐近线与正实轴方向的夹角为

⑸根轨迹分离点（或会合点）解得分离点坐标为

⑹根轨迹与虚轴的交点系统闭环特征方程为

列劳斯表为

令s1行的元素全为零，得到系统临界稳定时а=1，将其带入辅助方程求得s1,2=±j0.5。绘制根轨迹如图4-3-1所示。图4-3-1例题4-11参量a的根轨迹4.3.2零度根轨迹开环零、极点有位于s右半平面的系统称为非最小相位系统。非最小相位系统可能出现在有局部正反馈环节存在的情况。研究非最小相位系统有时不能采用180°根轨迹绘制规则来绘制系统的根轨迹，因为其相角遵循条件，而不是条件，故一般称为零度根轨迹。设某正反馈控制系统如图4-3-2所示。图4-3-2正反馈控制系统系统闭环传递函数为

根轨迹方程（闭环系统特征方程）为

即式（4-3-5）可以写为

把式（4-3-6）称为零度根轨迹方程。式（4-3-6）还可写成模值方程和相角方程。（4-3-4）（4-3-5）（4-3-6）模值方程相角方程（4-3-8）（4-3-7）将式（4-3-7）和式（4-3-8）与常规根轨迹的式（4-1-6）和式（4-1-7）相比，仅相角方程不同。因此，应用常规根轨迹绘制规则绘制零度根轨迹，对于与相角方程有关的一些规则需要进行适当调整，应修改的规则如下。规则3实轴上的根轨迹实轴上某区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。规则4根轨迹的渐近线若开环极点数n大于开环零点数m，则(n-m)条渐近线与正实轴方向的夹角（倾角）为（4-3-9）规则6根轨迹的出射角和入射角除上述3个规则，其他规则不变。（4-3-10）（4-3-11）根据零度根轨迹的相角条件可求出、分别为例4-12已知单位反馈控制系统开环传递函数，试分别画出正反馈和负反馈系统的根轨迹图，并指出它们的稳定性有何不同。系统有3个开环极点p1=-3，p2,3=-1±j，1个开环零点z1=-2。⑴正反馈系统

①实轴上，根轨迹区间是。②渐近线与实轴的交点为

渐近线与正实轴方向的夹角为解：③根轨迹分离点（或会合点）

解得，④根轨迹的出射角

根据对称性，则。（舍去）⑤根轨迹与虚轴的交点系统闭环特征方程为

列劳斯表为

根据劳斯表可知，系统稳定条件为0<K*<3，根轨迹与虚轴的交点s=0。绘制根轨迹如图4-3-3(a)所示。⑵负反馈系统

①实轴上，根轨迹区间是。②渐近线与实轴的交点为

渐近线与正实轴方向的夹角为③根轨迹无分离点（或会合点）。④根轨迹的出射角

根据对称性，则⑤根轨迹与虚轴的交点系统闭环特征方程为

列劳斯表为

根据劳斯表可知，系统稳定条件为K*>0，根轨迹与虚轴无交点。绘制根轨迹如图4-3-3(b)所示。综上，对于正反馈系统，当0<K*<3时，系统稳定；对于负反馈系统，当K*

>0时，系统稳定。(a)正反馈系统(b)负反馈系统图4-3-3例4-12的根轨迹例4-13已知单位负反馈控制系统闭环传递函数⑴利用MATLAB绘制系统的根轨迹。⑵判断是否在根轨迹上。⑶由根轨迹求出使系统阻尼比时的a值。4.3.2MATLAB实现闭环系统特征方程为

等效开环传递函数为

解：输入以下MATLAB命令：clc;clearnum=[10];den=[1016];G=tf(num,den);%系统开环传递函数rlocus(G)%绘制系统根轨迹%%计算阻尼比为0.707对应参数asgrid(0.707,[])a=rlocfind(G)程序运行结果如图4-3-4所示。⑴绘制系统的根轨迹根据图4-3-4可知，系统根轨迹是以开环零点为圆心，半径为4的一个半圆。根轨迹的分离点d=-4，对应的参数a=8。根轨迹与虚轴的交点为±j4，对应参数a=0。因此系统稳定条件为a>0。由图4-3-4可知，点到原点的距离为2，没在半圆上，所以不是根轨迹上的点。⑶由根轨迹求出使系统阻尼比ζ=0.707时的a值。闭环特征方程为

对应求出ωn=4rad/s，a=5.656。⑵判断是否在根轨迹上。Selectapointinthegraphicswindowselected_point=-2.8221+2.8236ia=5.6553由程序运行结果可知，

ζ=0.707时，a=5.6553。例4-14已知单位正反馈控制系统开环传递函数，利用MATLAB绘制系统的根轨迹。解：输入以下MATLAB命令clc;clearnum=[-1-1];den=conv(conv([100],[12]),[14]);G=tf(num,den);%系统开环传递函数rlocus(G)%绘制系统根轨迹%%开环系统的极点p=pole(G);%%开环/闭环系统的零点z=zero(G);%%计算渐近线与实轴的交点sigma=(sum(p)-sum(z))/(length(p)-length(z))程序运行结果如图4-3-5所示。sigma=-1.6667综上，系统有4个开环极点，1个开环零点。渐近线与实轴交点为-1.667，渐近线倾角为0°、±120°。根轨迹的分离点d=-0.38，对应根轨迹增益为K*=4.53。由于有1条根轨迹始终在s右半平面，因此系统不稳定。4.4利用根轨迹分析系统性能应用根轨迹法，可以确定系统在根轨迹增益或其他参数变化时闭环极点的位置，从而得到相应的闭环传递函数，定性地分析系统性能，包括系统的稳定性、动态特性和稳态特性。1.用根轨迹分析系统阶跃响应利用根轨迹法可以确定系统中参数变化时闭环极点的分布规律，以及对系统动态过程的影响。下面通过例4-15说明如何应用根轨迹分析系统在阶跃信号作用下的动态过程。4.4.1利用根轨迹分析系统性能例4-15已知单位负反馈控制系统开环传递函数⑴绘制系统根轨迹;⑵试确定使闭环系统稳定的开环增益K的取值范围，并分析K*对系统动态过程的影响。将开环传递函数化为时间常数标准形式，得将上式整理后，得

解：⑴绘制系统根轨迹①开环传递函数分子的阶次m=1，分母的阶次n=2，有两条根轨迹，一条渐近线。②系统有两个开环极点p1=0，p2=3，一个开环零点z1=-1。两条根轨迹分别始于开环极点p1和p2，一条终止于开环零点z1，另一条趋于无穷远处。③实轴上，根轨迹区间是(-∞,-1]和[0,3]。④根轨迹分离点（或会合点）

解得分离点坐标为⑤根轨迹与虚轴的交点系统闭环特征方程为

令s=jω，带入闭环特征方程D(s)根据可得因此，根轨迹与虚轴交点为，对应的K*=3为临界根轨迹增益。绘制根轨迹如图1所示。⑵分析系统稳定性及动态过程由图4-4-1可知，当根轨迹增益K*>3，相应开环增益K>1时，闭环特征根具有负实部，闭环系统稳定。利用模值方程求得分离点d2=-3处对应的根轨迹增益为

此时，对应的开环增益由图4-4-1可见，当K≥3时，闭环特征根有两个不相等的负实根或者两个相等的负实根，此时，系统的瞬态响应中无振荡分量，但有超调；当1<K<3时，特征根有一对实部为负的共轭复根，系统的响应为衰减振荡；当K=1时，特征根有一对共轭虚根，系统的响应为等幅振荡；当0<K<1时，系统不稳定。⑶K*=10时系统的闭环极点和单位阶跃响应当K*=10时，系统闭环传递函数为

系统闭环极点为s1=-2，s2=-5。系统单位阶跃响应的拉普拉斯变换为

进行拉普拉斯反变换，得出系统的单位阶跃响应为由此可见，当K*=10时，系统在单位阶跃信号作用下的响应无振荡分量，但有超调。若令，得峰值时间此时超调量为可见，利用根轨迹可以很方便地分析根轨迹增益K*（或开环增益K）对系统动态特性的影响。

2.用闭环主导极点估算系统的性能指标如果高阶系统闭环极点满足具有闭环主导极点的分布规律，就可以忽略非主导极点及偶极子的影响，将高阶系统近似看作一、二阶系统，可以较为简便地计算（或估算）出系统的各项性能指标。例4-16已知单位负反馈控制系统开环传递函数为⑴试绘制系统根轨迹。⑵试计算阻尼比ζ=0.5时的系统动态性能指标。⑶计算此时系统的稳态速度误差。解：将开环传递函数写成时间常数形式，得

⑴绘制根轨迹①开环传递函数分子的阶次m=0，分母的阶次n=3，有3条根轨迹，3条渐近线。②系统有3个开环极点p1=0，p2=-1，p3=-2，无开环零点。3条根轨迹始于开环极点，趋于无穷远处。③实轴上，根轨迹区间是(-∞,-2]和[-1,0]。④渐近线与实轴的交点为

渐近线与正实轴方向的夹角为

⑤根轨迹分离点（或会合点）

解得（舍去）⑥根轨迹与虚轴的交点闭环特征方程为

令s=jω，带入闭环特征方程根据可得因此，根轨迹与虚轴的交点为，对应的K*=6为临界根轨迹增益。绘制根轨迹如图4-4-2所示。

⑵计算ζ=0.5时系统的动态性能指标为了满足阻尼比ζ=0.5的条件，首先作出ζ=0.5的等阻尼线，它与负实轴的夹角，如图4-4-2所示。等阻尼线与根轨迹的交点坐标为s1和s2。设复数极点s1,2=σ±jω，从根轨迹上可得交点s1的坐标满足求得，则。设第3个闭环极点为s3，由根之和条件可得即

闭环特征方程为

比较系数有因此，当ζ=0.5时，解得闭环极点s1,2=-0.333±j0.577，s3=-2.334，对应K*=1.037。当K*=1.037时系统闭环传递函数为

由s1,2=-0.333±j0.577和s3=-2.334可见，s3至虚轴的距离是s1（或s2）至虚轴的距离的7倍，满足闭环主导极点的条件。因此，s1,2可认为是系统的闭环主导极点，可以根据闭环主导极点来估算系统的动态性能指标。系统闭环传递函数可近似为二阶系统的形式，即由此可得二阶系统阻尼比ζ=0.5，无阻尼振荡频率ωn=0.666rad/s。在单位阶跃信号作用下二阶系统的动态性能指标为⑶计算ζ=0.5时系统的稳态速度误差系统为Ⅰ型系统，系统的稳态速度误差系数为

系统在单位斜坡信号作用下的稳态误差为3.用根轨迹计算系统的参数利用根轨迹法可以计算在一定性能指标下的系统参数。这里通过例4-17来讨论如何根据系统的动态和稳态性能指标来确定系统的参数。例4-17已知单位负反馈控制系统的开环传递函数

⑴试确定系统响应为等幅振荡K的取值及振荡频率。⑵若要求闭环系统的最大超调量，试确定开环增益K的范围。⑶能否通过选择K满足调节时间的要求？⑷能否通过选择K满足误差系数的要求？解：将开环传递函数化为零、极点标准形式，得

⑴绘制系统根轨迹①开环传递函数分子的阶次m=0，分母的阶次n=4。有4条根轨迹，4条渐近线。②系统有4个开环极点p1,2,3,4=-2，无开环零点。4条根轨迹趋于无穷远处。③实轴上无根轨迹。④渐近线与实轴的交点为

渐近线与正实轴方向的夹角为⑥根轨迹的出射角

得⑦根轨迹与虚轴的交点系统闭环特征方程为

列劳斯表为

根据劳斯表可知，系统稳定的条件为系统临界稳定时K*=64，将其带入辅助方程

即得s1,2=±j2绘制根轨迹如图4-4-3所示。系统响应为等幅振荡，即根轨迹与虚轴相交，临界根轨迹增益K*=64，对应的开环增益K=4，振荡频率ω=2rad/s。

⑵由根轨迹可见，系统存在一对闭环主导极点，系统的性能可以由二阶系统性能指标公式近似估算。根据解得ζ=0.5，等阻尼角，如图4-4-3所示。设闭环极点s1,2=-α±jω，由根轨迹图可知交点是s1的坐标满足求得α=0.732，ω=1.268,则s1,2=-0.732±j1.268。可设另外两个闭环极点为s3,4=-γ±jω,由根之和条件可得γ=3.268，则s3,4=-3.268±j1.268

显然s3,4至虚轴的距离约是s1,2至虚轴的距离的5倍，满足闭环主导极点的条件。因此，s1,2可认为是系统的闭环主导极点。当ζ=0.5时对应的K*值可由模值方程求出，即将s1代入模值方程可得

得到K*=10.34，相应K=0.646。综上所述，当开环增益取K≤0.646时，最大超调量满足σ%≤16.3%。⑶要求

，即。表明闭环主导极点必须位于s平面左半部分，且距离虚轴大于(0.75-1)，即可满足要求。由图4-4-3可知，在系统稳定的范围内，闭环主导极点的实部绝对值均小于2，所以能通过选择K满足ts≤4s的要求。⑷由于临界稳定根轨迹增益为K*=64，所以使系统稳定的位置误差系数应满足故不能通过选择K满足误差系数的要求。

4.4.2开环零、极点对系统性能的影响闭环控制系统的稳定性及动态特性与根轨迹的形状密切相关，而开环零、极点的分布决定着根轨迹的形状。因此，在系统中适当地增加开环零、极点或者改变开环零、极点在s平面的位置，可以改变根轨迹的形状，从而改善系统的性能。1.开环零点对系统性能的影响通过例4-18来说明增加开环零点对系统性能的影响。例4-18某单位负反馈控制系统开环传递函数为在该系统中分别增加开环零点z为，试分析增加开环零点对系统性能的影响。解：4个系统的开环零、极点分布及根轨迹如图4-4-4所示。从图4-4-4可以看出，增加开环零点可以减少渐近线的条数，改变渐近线倾角及与实轴的交点；一般使系统的根轨迹向左偏移，有利于改善系统的动态性能，提高系统的相对稳定性，且开环零点越靠近虚轴，这种作用越显著。因此，适当地引入开环零点，可以对系统的性能有所改善。因此，适当地引入附加零点，可以对系统的性能有所改善。2.开环极点对系统性能的影响通过例4-19来说明增加开环极点对系统性能的影响。例4-19某单位负反馈控制系统开环传递函数为，在该系统中分别增加开环极点p为，试分析增加开环极点对系统性能的影响。解：4个系统的开环零、极点分布及根轨迹如图4-4-5所示。从图4-4-5可以看出，增加开环极点改变了渐近线的条数、倾角及与实轴的交点；一般使根轨迹向右偏移，不利于系统的稳定性和动态性能，且附加极点离虚轴越近，系统的稳定性越差，响应速度越慢。因此，在系统设计时一般不单独增加开环极点。3.偶极子对系统性能的影响在控制系统的综合设计中，偶极子的概念是十分有用的。可以在系统中加入适当的零点，以抵消对动态过程影响较大的不利极点，使系统的动态性能得以改善。附加偶极子对系统性能的影响通过例4-20来说明。例4-20已知某比例积分控制系统如图4-4-6所示，利用根轨迹分析控制系统性能。解：当控制器为比例控制时，系统为0型系统，其单位阶跃响应存在稳态误差，即稳态误差。当控制器为比例积分控制时，系统为Ⅰ型系统，其单位阶跃响应稳态误差。系统的开环传递函数为

其中，z为开环零点。下面比较开环零点z分别为-4,-0.5,-1.2，阻尼比ζ=0.5时的系统性能。不加比例积分控制器（相当于）的原系统，加入比例积分控制器（相当于系统加入开环零点z分别为-4,-0.5,-1.2）的系统的根轨迹如图4-4-7所示。设等阻尼线ζ=0.5(此时)与根轨迹的交点为s1则代入闭环特征方程

令其实部和虚部分