2023-2024学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语质量评估

第一章质量评估(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.满足条件M∪{1}={1,2,3}的集合M的个数为 ()A.1B.2C.3D.4答案:B2.已知集合A={1,1,2,4},B={x||x1|≤1},则A∩B= ()A.{1,2} B.{1,2} C.{1,4} D.{1,4}答案:B3.设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4},则A∩(∁UB)= ()A.{3} B.{1,6} C.{5,6} D.{1,3}答案:B4.若集合M={x|x>1},N={x∈Z|0≤x≤4},则(∁RM)∩N等于 ()A.{0} B.{0,1} C.{0,1,2} D.{2,3,4}答案:B5.设x是实数,则“x>0”是“|x|>0”的 ()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:A6.命题“∀x>0,都有x2x≤0”的否定是 ()A.∃x0>0,使得x02xB.∃x0>0,使得x02x0C.∀x>0,都有x2x>0D.∀x≤0,都有x2x>0答案:B7.已知集合A={0,a},B={x|1<x<2},且A⊆B,则a可以是 ()A.1 B.0 C.1 D.2答案:C8.已知集合A为实数集,则“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的 ()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知M={x∈R|x≥22},a=π,下列式子正确的是 ()A.a∈M B.{a}⊆MC.a⊆M D.{a}∩M=π答案:AB10.已知命题p:∃x∈R,x2+1<2x;命题q:若mx2mx1≠0恒成立,则4<m<0.则 ()A.p的否定是假命题 B.q的否定是真命题C.p与q都为假命题 D.p与q都为真命题答案:BC11.对任意实数a,b,下列命题中为真命题的是 ()A.“|a|=|b|”是“a=b”的充要条件B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件C.“a<5”是“a<3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件答案:CD12.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14,10,8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20,则这三天都开车上班的职工人数可能是 ()A.5 B.6 C.7 D.8答案:AB三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设集合A={1,2,3,4},B={0,1,2,4,5},全集U=A∪B,则集合∁U(A∩B)中的元素共有3个.14.如图,I是全集,M,P,S是I的子集,阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(∁IS).

15.若“函数y=x22x+a3的图象与y轴正半轴相交”是“a>m”的必要不充分条件,则实数m的取值范围是m>3.16.已知命题p:∀m∈R,m+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1≠0恒成立.若p与q不同时为真命题,则m的取值范围是{m|m≤2或m>1}.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知全集U为R,集合A={x|0<x≤2},B={x|x<3或x>1}.求:(1)A∩B;(2)(∁UA)∩(∁UB);(3)∁U(A∪B).解:∁UA={x|x≤0或x>2},∁UB={x|3≤x≤1},A∪B={x|x<3或x>0}.(1)A∩B={x|1<x≤2}.(2)(∁UA)∩(∁UB)={x|3≤x≤0}.(3)∁U(A∪B)={x|3≤x≤0}.18.(12分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.(1)能被6整除的数一定是偶数;(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;(3)矩形的对角线相等;(4)∃x0∈Z,x02=解:(1)本题隐含了全称量词“所有的”,可表述为“所有的能被6整除的数都为偶数”,是全称量词命题,且为真命题.(2)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是存在量词命题,且为真命题.(3)本题隐含了全称量词“所有的”,可表述为“所有的矩形的对角线都相等”,是全称量词命题,且为真命题.(4)命题中含有存在量词“∃”,是存在量词命题,且为假命题.19.(12分)已知集合A={x|x<1或x≥1},B={x|2a<x≤a+1,a<1},B⊆A,求实数a的取值范围.解:因为a<1,所以2a<a+1,所以B≠⌀.画数轴如图所示.由B⊆A知,a+1<1或2a≥1,即a<2或a≥12由已知a<1,所以a<2或12≤a<即所求a的取值范围是(∞,2)∪1220.(12分)已知U=R,A={x|x2+px+12=0},B={x|x25x+q=0},若(∁UA)∩B={2},(∁UB)∩A={4},求A∪B.解:因为(∁UA)∩B={2},所以2∈B,且2∉A.因为A∩(∁UB)={4},所以4∈A,且4∉B.分别代入得42+4p+12=0,225×2+q=0,所以p=7,q=6,所以A={3,4},B={2,3},所以A∪B={2,3,4}.21.(12分)已知集合A={x|ax23x+1=0,a∈R}.(1)若A是空集,求a的取值范围;(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.解:(1)若A是空集,则方程ax23x+1=0无实数根.当a=0时,x=13当a≠0时,Δ=94a<0,解得a>94因此若A是空集,则a的取值范围是94(2)若A中至多有一个元素,则A=⌀或A中只有一个元素.当A=⌀时,由(1)知a∈94当A中只有一个元素时,可得a=0或a≠0,Δ=9综上所述,若A中至多有一个元素,则a的取值范围是aa22.(12分)设a,b,c为△ABC中与∠A,∠B,∠C分别对应的三边,求证:关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cxb2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.证明:充分性:因为∠A=90°,所以a2=b2+c2.于是方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2c2=0,即(x+a+c)(x+ac)=0,所以该方程有两根x1=(a+c),x2=(ac),同理另一方程x2+2cxb2=0也可化为x2+2cx(a2c2)=0,即(x+c+a)(x+ca)=0,所以该方程有两根x3=(a+c),x4=(ca).可以发现,x1=x3,所以方