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文档简介

课时规范练17利用导数研究函数的极值与最值基础巩固组1.函数f(x)=3x2+lnx2x的极值点的个数是()A.0 B.1 C.2 D.无数2.函数f(x)=(x2)·ex的最小值为()A.2 B.e C.1 D.03.已知函数f(x)=3xex,则f(xA.在(∞,+∞)上单调递增B.在(∞,1)上单调递减C.有极大值3eD.有极小值3e4.(多选)(2022广东珠海模拟)初等函数是由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次函数复合所产生,并且能用一个解析式表示的函数,如函数f(x)=xx(x>0),我们可以作变形:f(x)=xx=elnxx=exlnx=et,其中t=xlnx,所以f(x)可看作是由函数g(t)=et和t=xlnx复合而成的,即f(x)=xx(x>0)为初等函数.根据以上材料,关于初等函数h(x)=x1xA.无极小值 B.有极小值1C.无极大值 D.有极大值e5.若方程x33x+m=0在区间[0,2]上有解,则实数m的取值范围是()A.[2,2] B.[0,2]C.[2,0] D.(∞,2)∪(2,+∞)6.(2022山东泰安模拟)设直线x=t与函数f(x)=2x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则|MN|的最小值为()A.12+ln2 B.C.e21 D.7.(2022湖南长郡中学高三检测)函数f(x)=1x+ln|x|的极值点为.8.已知函数f(x)=x1+aex(a∈R(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求实数a的值;(2)求函数f(x)的极值.综合提升组9.(2022广东深圳高三检测)已知函数f(x)=x3+ax2x+a有两个极值点x1,x2,且|x1x2|=233,则f(x)的极大值为(A.39 B.2C.33 D.10.(2022全国甲,文8)当x=1时,函数f(x)=alnx+bx取得最大值2,则f'(2)=(A.1 B.1C.12 D.11.设函数f(x)=x+a,x≤0,lnx,x>0,已知x1<x2且f(x1)=f(A.1 B.1eC.1或1eD.212.已知函数f(x)=x2a2lnxx2(a∈R)在区间116,1上不存在极值点,则实数a的取值范围是.13.设函数f(x)=ln(ax),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.(1)求a;(2)设函数g(x)=x+f(x)xf(x创新应用组14.已知函数f(x)=ex+lnx,g(x)=4x+1x,且x满足1≤x≤2,则g(x)f(x)的最大值为.

课时规范练17利用导数研究函数的极值与最值1.A解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),导数f'(x)=6x+1x2=6x2-2x+1x.令g(x)=6x22x+1,则Δ=20<0,所以g(x)>0恒成立,又x>0,所以f'(x2.B解析:f'(x)=ex+(x2)ex=(x1)ex,令f'(x)=0,解得x=1,易得f(x)在(∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故f(x)的最小值为f(1)=e,故选B.3.C解析:由已知得f'(x)=3(1-x)ex.令f'(x)=0,得x=1.当x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以,当x=1时,函数f(x)取得极大值,也是最大值,且f(1)=3e4.AD解析:根据材料知,h(x)=x1x=elnx1x令h'(x)=0,得x=e.当0<x<e时,h'(x)>0,函数h(x)单调递增;当x>e时,h'(x)<0,函数h(x)单调递减.所以当x=e时,h(x)取得极大值,且极大值为h(e)=e1e5.A解析:由题意得m=x33x,x∈[0,2].令y=x33x,x∈[0,2],则y'=3x23.令y'=0,解得x=1,易得函数在[0,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增.又因为当x=0时,y=0;当x=1时,y=2;当x=2时,y=2,所以函数y=x33x,x∈[0,2]的值域是[2,2],因此m∈[2,2],即m∈[2,2].故选A.6.A解析:由题意M(t,2t2),N(t,lnt),所以|MN|=|2t2lnt|,令h(t)=2t2lnt,t>0,则h'(t)=4t1t令h'(t)=0,得t=12当0<t<12时,h'(t)<0,函数h(t当t>12时,h'(t)>0,函数h(t所以h(t)min=h12=12+ln2,即|MN|的最小值为12+ln27.1解析:当x>0时,f(x)=1x+lnx,则f'(x)=1x2+1x=x-1x2.令f'(x)=0,得x=1,当0<x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'所以1为函数f(x)的极小值点.当x<0时,f(x)=1x+ln(x),f'(x)=1x所以函数f(x)在区间(∞,0)内单调递减,所以f(x)无极值点.综上所述,函数f(x)的极值点为1.8.解(1)由f(x)=x1+aex,得f'(x)=1因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,所以f'(1)=0,即1ae=0,解得a=e(2)由(1)得f'(x)=1ae当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在(∞,+∞)上单调递增,因此f(x)无极值;当a>0时,令f'(x)=0,得x=lna.当x∈(∞,lna)时,f'(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在区间(∞,lna)上单调递减,在区间(lna,+∞)上单调递增,故f(x)在x=lna处取得极小值,且极小值为f(lna)=lna,无极大值.综上,当a≤0时,f(x)无极值;当a>0时,f(x)在x=lna处取得极小值lna,无极大值.9.B解析:因为f'(x)=3x2+2ax1,Δ=4a2+12>0,所以f'(x)=0有两个不同的实数解x1,x2,且由根与系数的关系得x1+x2=2a3,x1x2=由题意可得|x1x2|=(x1+此时f(x)=x3x,f'(x)=3x21.当x∈∞,33,x∈33,+∞时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈33,33时,f'(x)<0,f(故当x=33时,f(x)取得极大值210.B解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞).因为f(1)=aln1+b=2,所以b=2.因为f'(x)=ax所以f'(1)=ab=0,所以a=b=2.所以f(x)=2lnx2xf'(x)=2x经验证,符合题意.所以f'(2)=1+24=1故选B.11.A解析:令f(x1)=f(x2)=t,作出函数f(x)的大致图象,如图.由图象可知t∈(∞,a],因为x1<x2,所以x1+a=t,lnx2=t,得x1=ta,x2=et,所以x2x1=ett+a.令g(t)=ett+a(t≤a),则g'(t)=et1.当a≤0时,g'(t)≤0,g(t)在(∞,a]上单调递减,所以g(t)min=g(a)=eaa+a=ea,由g(t)min=ea=1e,解得a=当a>0时,令g'(t)=0,得t=0,易得g(t)在区间(∞,0]上单调递减,在区间(0,a]上单调递增,所以g(t)min=g(0)=e00+a=1+a,由g(t)min=1+a=1e,解得a=1e1<综上可得a=1,故选A.12.∞,116∪[3,+∞)解析:因为函数f(x)=x2a2lnxx2(a∈R)在区间116,1上不存在极值点,所以函数f(x)在区间116,1上单调递增或单调递减,所以f'(x)≥0或f'(x)≤0在区间116,1上恒成立.f'(x)=2xa2x-12=4x2-x-a2x,令g(x)=4x2xa,x∈116,1,则其图象的对称轴为直线x=18,所以g(x)min=4×18218a=116a,g(x)max=4×121a=3a.当f'(x)≥0时,需满足116综上所述,a的取值范围为∞,116∪[3,+∞).13.(1)解由题意,f(x)的定义域为(∞,a).令p(x)=xf(x),则p(x)=xln(ax),x∈(∞,a),p'(x)=ln(ax)+x·-1a-x=ln(ax因为x=0是函数y=xf(x)的极值点,则有p'(0)=0,即lna=0,所以a=1.当a=1时,p'(x)=ln(1x)+-x1-x,则当x<0时,p'(x)>0,函数p(x)单调递增;当0<x<1时,p'(x)<0,函数p(x)单调递减,所以当a=1时,x=0是函数y=xf(x)的极大值点.(2)证明由(1)可知,xf(x)=xln(1x),要证x+f(x)xf因为当x∈(∞,0)时,xln(1x)<0,当x∈(0,1)时,xln(1x)<0,所以需证明x+ln(1x)>xln(1x),即证x+(1x)ln(1x)>0.令h(x)=x+(1x)ln(1x),x<1,则h'(x)=1ln(1x)+(1x)·-11-x所以h'(0)=0,当x∈(∞,0)时,h'(x)<0,函数h(x)单调递减;当x∈(0,1)时,h'(x)>0,函数h(x)单调递增.所以x=0为h(x)的唯一极小值点,也是最小值点,所以当x∈(∞,0)∪(0,1)时,h(x)>h(0)=0,即x+(1x)ln(1x)>0,所以x+ln(1-x)14.5e解析:令h(x)=g(x)f(x)=4x+1xexlnx,1≤x≤2,则h'(x)=41x2ex1x,令m(x)=41x2ex1x,1≤x≤2,则m

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