湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

2023-2024学年青竹湖湘一外国语学校九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分.）1.下列四个数中，是负数的是（）A. B. C. D.答案：D解析：、，结果为正，不符合题意；、，结果为正，不符合题意；、，结果为正，不符合题意；、，结果为负，符合题意；故选：．2.已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，用科学记数法表示31536000正确的是（）A. B.C. D.答案：B解析：将31536000用科学记数法表示为．故选B．3.下面运算正确的是（）A.7a2b-5a2b=2 B.x8÷x4=x2 C.(a-b)2=a2-b2 D.(2x2)3=8x6答案：D解析：A.7a2b-5a2b=2a2b，故该选项错误；B.x8÷x4=x8-4=x4，故该选项错误；C.(a-b)2=a2-2ab+b2，故该选项错误；D.(2x2)3=23(x2)3=8x6，故该选项正确．故选：D．4.如图所示物体的左视图是()A. B. C. D.答案：B解析：从左边看，为一个长方形，中间有两条横线，如下图所示：，故选B．5.已知点与点关于轴对称，则的值为（）．A. B. C. D.答案：A解析：解：∵点与点关于轴对称，∴与互为相反数，∴，故选：A．6.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为()A.10° B.15° C.18° D.30°答案：B解析：解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，∵AB∥CF，∴∠ABD=∠EDF=45°，∴∠DBC=45°﹣30°=15°．故选：B．7.下列说法错误的是()A.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半B.矩形的对角线相等C.对角线互相垂直的平行四边形是矩形D.对角线相等的菱形是正方形答案：C解析：A、菱形的面积等于对角线乘积的一半，故正确，不符合题意；

B、矩形的对角线相等，正确，不符合题意；

C、对角线平分且相等的平行四边形是矩形，错误，符合题意；

D、对角线相等的菱形是正方形，正确，不符合题意；

故选C．8.已知圆锥的底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积是（）A. B. C. D.答案：C解析：解：圆锥的侧面积是．故选：C．9.我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛两银子，1只羊两银子，则可列方程组为（）A. B. C. D.答案：A解析：解：设1头牛两银子，1只羊两银子，由题意可得：，故选：A．10.若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.答案：C解析：解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上，则图象上的点离对称轴越远则的值越大，∵，，，∴，∴，故选：．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.）11.分解因式：______________．答案：解析：解：；故答案为．12.为了落实“双减”，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动．6名选手投中篮圈的个数分别为2，3，3，4，3，5，则这组数据的众数是_____．答案：3解析：解：2，3，3，4，3，5这组数据中，3出现了3次，出现的次数最多，∴2，3，3，4，3，5这组数据的众数为3，故答案为：3．13.已知关于的一元二次方程有一个根是，则另外一个根是_____．答案：解析：解：设的两个实数根为，，其中，∴，即，解得：，故答案为：．14.一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为________．答案：10解析：解：设这个多边形边数为，则，解得．故答案为：10．15.若正比例函数与反比例函数的图象交于，则另一个交点坐标为___________．答案：解析：解：正比例函数与反比例函数图象均关于原点对称，两函数的交点关于原点对称，一个交点的坐标是，另一个交点的坐标是．故答案为：．16.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝120°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为_____．答案：30°解析：如图所示：连接OC、CD，∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵∠A＝120°，∴∠ODC＝180°−∠A＝60°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝60°，∴∠DOC＝180°−2×60°＝60°，∴∠P＝90°−∠DOC＝30°；故填：30°．三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23题每题9分，24、25题每题10分，共72分.）17.计算：﹣（2019﹣π）0﹣4cos45°+（﹣）﹣2答案：8解析：解：原式＝2﹣1﹣2+9＝8．18.先化简再求值：4（m+1)2－（2m+5）（2m-5），其中m=－3．答案：5解析：原式=当m=-3时，原式.19.科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇，小明发现古镇恰好在地的正北方向．（1）求点到的距离．（2）求的长度．答案：（1）（2）小问1解析：如图所示．根据题意可知，点到的距离为线段的长度．在中．小问2解析：在中．根据题意可知．在中．．20.某校为组织代表队参加县知识竞赛，校级初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分），A组：75≤x＜80；B组：80≤x＜85；C组：85≤x＜90；D组：90≤x＜95；E组：95≤x＜100．并绘制出如图两幅不完整的统计图：请根据图中信息，解答下列问题：（1）参加初赛的选手共有名，请补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中，C组对应的圆心角度数是，E组人数占参赛选手的百分比是；（3）学校准备组成8人代表队参加县级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．答案：（1）40，频数分布直方图见详解；（2）108°，15%；（3）小问1解析：参加初赛的选手共有：8÷20%=40（人），B组有：40×25%=10（人）．频数分布直方图补充如下：故答案为40；小问2解析：C组对应的圆心角度数是：360°×=108°，E组人数占参赛选手的百分比是：×100%=15%；小问3解析：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有8种结果，∴抽取两人恰好是一男生和一女生的概率为．21.在中，是斜边上的高．（1）证明：；（2）若，求的长．答案：（1）见解析（2）小问1解析：证明：∵是斜边上的高．∴，∴，∴又∵∴，小问2解析：∵∴，又∴．22.数学于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的2.5倍．（1）求每套《古今数学思想》的价格；（2）学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？答案：（1）125元（2）20套小问1解析：解：设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是元，根据题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴，答：每套《古今数学思想》的价格是125元；小问2解析：解：设可以购进m套《古今数学思想》，则购进套《什么是数学》，根据题意得：，解得：，∴m的最大值为20．答：《古今数学思想》最多能买20套．23.如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于点C，交⊙O于D．（1）求证AE平分∠BAC；（2）若OA＝5，EC＝4，求AD的长．答案：（1）见解析（2）6小问1解析：如图1，连接，由题意知，∴∵∴∴∴∴AE平分∠BAC．小问2解析：如图2，连接交于点∴，∵∴∴垂直平分∴∵∴四边形是矩形∴∴在中，由勾股定理得∴AD的长为6．24.定义：若直线：与函数交于、两点，将叫做函数在直线上的弦长，且，其中叫做函数在直线上的截距．（1）求出在轴上的截距；（2）若直线过定点，抛物线在该直线上的弦长等于，求直线的解析式；（3）若二次函数与反比例函数在第一象限交于点，在第三象限交于、两点．若、两点的横纵坐标均为整数，请直接写出正整数的值；若，求该二次函数在直线上的截距的取值范围．答案：（1）；（2）；（3）或；．小问1解析：令，解得：或，则截距；小问2解析：设直线的表达式为：，联立直线和抛物线的表达式得：，即，则，，则弦长解得：；则直线表达式为：；小问3解析：联立两个函数表达式得：，整理得：，∵两个函数在第三象限交于、两点，则，若、两点的横纵坐标均为整数，则或，则，解得：，或，则，解得：，或，则，解得：（舍去），或，则，解得：（舍去），综上可知：或；由知，，，设二次函数在直线上的截距，∵，则．25.已知直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．（1）求的度数；（2）如图，连接、、，点在直线上运动，若和相似，求点的坐标；（3）点为线段上任意一点（不与、重合），经过三点的圆交直线于点，当面积最大时，求出面积的最大值及此时点的坐标．答案：（1）；