江苏专版2024-2025学年新教材高中数学第6章空间向量与立体几何午练6直线的方向向量与平面的法向量苏教版选择性必修第二册

午练6直线的方向向量与平面的法向量1.已知向量a=(2,-1,3)和b=(-4,2x2,6x)都是直线l的方向向量,则x的值是()A.-1 B.1或-1C.-3 D.12.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作为平面ABC的法向量的是()A. B.C. D.3.(2024滨州月考)已知平面α内有两点M(1,-1,2),N(a,3,3),平面α的一个法向量为n=(6,-3,6),则a=()A.4 B.3 C.2 D.14.已知A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,2,-1),下列四个点中在平面ABC内的点是()A.(2,3,1) B.(1,-1,2)C.(1,2,1) D.(1,0,3)5.(多选题)在如图所示的坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,下列结论正确的有()A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)6.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示,则直线DB1的一个方向向量为.

7.在空间直角坐标系O-xyz中,已知平面α的一个法向量是n=(1,-1,2),且平面α过点A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α上随意一点,则点P的坐标满意的方程是.

8.(人A教材题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2.以D为原点,为空间的一个单位正交基底,建立空间直角坐标系O-xyz,求平面ACD1的一个法向量.9.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD=,建立适当的空间直角坐标系,求平面SCD与平面SBA的一个法向量.午练6直线的方向向量与平面的法向量1.A由题意得a∥b,所以解得x=-1.2.D如图,∵CC1,AA1,BB1均垂直于平面ABC,∴选项D中的可以作为平面ABC的法向量.故选D.3.C因为M(1,-1,2),N(a,3,3),所以=(a-1,4,1).因为平面α的一个法向量为n=(6,-3,6),所以n⊥,则n·=6(a-1)-3×4+6=0,解得a=2.故选C.4.D=(1,1,1),=(1,2,-1).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),∴即不妨令x=3,则y=-2,z=-1,∴n=(3,-2,-1).∵(3,-2,-1)·(1,0,3)=0,∴在平面ABC内的点是(1,0,3).故选D.5.ABCDD1∥AA1,=(0,0,1),故A正确;BC1∥AD1,=(0,1,1),故B正确;直线AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0),故C正确;点C1的坐标为(1,1,1),与平面B1CD不垂直,故D错误.6.(1,1,1)(答案不唯一)由题意知D(0,0,0),B1(1,1,1),所以=(1,1,1),即直线DB1的一个方向向量是(1,1,1).7.x-y+2z+1=0由题意知·n=0,即x-y+2z+1=0.8.解如图,由题可得C(0,4,0),A(3,0,0),D1(0,0,2),则=(-3,4,0),=(-3,0,2).设平面ACD1的一个法向量为m=(x,y,z),则令x=4,得y=3,z=6,则平面ACD1的一个法向量为(4,3,6).9.解以A为坐标原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),D,0,0,C(1,1,0),S(0,0,1),则=,1,0,=-,0,1.明显向量