江苏省连云港市2024-2025学年高二数学上学期第一次学情检测试题含解析

PAGE20-江苏省连云港市2024-2025学年高二数学上学期第一次学情检测试题考试范围：直线与圆；考试时间：120分钟；留意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每题5分，共40分）1.过点且与直线平行的直线方程是（）A. B. C. D.2.以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（）A. B.C. D.3.若圆C与直线和：都相切，且圆心在直线上，则圆C的方程为（）A. B.C. D.4.已知圆（、为正实数）上随意一点关于直线的对称点都在圆上，则的最小值为（）A. B. C. D.5.下列说法正确是（）A.平面内全部的直线方程都可以用斜截式来表示B直线与轴的交点到原点的距离为C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.不能表示经过点且斜率为的直线方程6.与圆关于直线对称的圆的方程为，则等于（）A.0 B.1 C.2 D.37.已知圆的方程为，过点的该圆的全部弦中，最短弦的长为（）A.1 B.2 C.3 D.48.在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个好玩的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处动身，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处动身，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则当“将军饮马”的总路程最短时，将军去往河边饮马的行走路途所在的直线方程为（）A. B.C. D.二、多选题（每题5分，共20分）9.下列说法正确的是（）A.直线与直线垂直B.过点的直线被圆所截得的弦的长度的最小值为2．C.直线与圆的位置关系不确定．D.若直线与圆相交，则点在圆外．10.设圆的圆心为，直线过，且与圆交于两点，若，则直线的方程为（）A. B.C. D.11.已知圆，直线，则（）A.圆心坐标为 B.圆半径为3C.直线与圆相交 D.圆上的点到直线的距离最大值为12.已知圆M：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别是A，B，下列说法正确的有（）A.圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B.切线长PA的最小值为1C.四边形AMBP面积的最小值为2 D.直线AB恒过定点第II卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13.与圆同时相切的直线有___________条.14.若直线与直线相互垂直，则被圆截得弦长为________．15.在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆的两个交点分别位于不同的象限，则l的斜率的取值范围为______．16.过圆O：外一点引直线l与圆O相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率为，则______．四、解答题17.已知中，、、，写出满意下列条件的直线方程．（1）BC边上的高线的方程；（2）BC边的垂直平分线的方程．18.求满意条件的圆的标准方程：（1）已知，，以为直径；（2）圆心为点且与直线相切.19.圆的圆心为，且过点．（1）求圆的标准方程；（2）直线：与圆交两点，且，求．20.已知动圆过定点，且在y轴上截得的弦长为8．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线和y轴的距离之和的最小值．21.在以下这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．①圆经过点；②圆心在直线上；③圆截y轴所得弦长为8且圆心M的坐标为整数．已知圆M经过点且_____．（1）求圆M方程；（2）求以为中点的弦所在的直线方程．22.已知直线与圆.（1）求证：直线l过定点，并求出此定点坐标；（2）设O为坐标原点，若直线l与圆C交于M，N两点，且直线OM，ON的斜率分别为，，则是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．赣榆智贤中学高二年级第一学期第一次学情检测数学试题考试范围：直线与圆；考试时间：120分钟；命题人：留意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每题5分，共40分）1.过点且与直线平行的直线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平行直线的特点先设出待求直线方程，代入所过点可得答案.【详解】由题意设所求方程为，因为直线经过点，所以，即，所以所求直线为.故选：A.2.以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依据题意干脆写出圆的标准方程即可.【详解】以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程为.故选：B3.若圆C与直线和：都相切，且圆心在直线上，则圆C的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】可设圆心为，由两切线可求，再由点到直线距离可求，进而求得圆C的方程.【详解】因为圆心在直线上，可设圆心为，又因为圆C与直线和：都相切，两直线间距离为，则半径，又由圆心到直线距离得，化简得，故，则圆的标准方程为：.故选：B4.已知圆（、为正实数）上随意一点关于直线的对称点都在圆上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析可知直线过圆心，可得出，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.【详解】圆的圆心坐标为，由题意可知，圆心在直线上，则，可得，则，由已知可得，可得，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故选：B.5.下列说法正确的是（）A.平面内全部的直线方程都可以用斜截式来表示B.直线与轴的交点到原点的距离为C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.不能表示经过点且斜率为的直线方程【答案】D【解析】【分析】干脆利用直线的倾斜角和斜率的关系及直线的方程推断各选项即可．【详解】解：对于A：斜率存在的直线的方程可以用斜截式表示，故A错误；对于B：直线与轴的交点到原点的距离为，故B错误；对于C：在轴、轴上的截距分别为，且不为0的直线方程为，故C错误；对于D：由方程可知，，即方程表示不过点且斜率为的直线方程，故D正确；故选：D．6.与圆关于直线对称的圆的方程为，则等于（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】先利用两个圆的一般方程得到各自的圆心，通过题意可得两个圆心关于直线对称，即可得到答案【详解】解：由可得，所以圆心为，由可得，所以圆心为，因为与圆关于直线对称的圆的方程为，所以关于直线对称的点为，且半径相等，所以与的中点在上，即解得，满意题意，故选：C7.已知圆的方程为，过点的该圆的全部弦中，最短弦的长为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】计算出圆的圆心和半径，设，由几何性质得到当与圆的弦垂直时，弦最短，利用垂径定理求解出最短弦长.【详解】整理为，故圆心为，半径为，设，故当与圆的弦垂直时，弦最短，其中，由垂径定理得：.故选：B8.在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个好玩的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处动身，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处动身，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则当“将军饮马”的总路程最短时，将军去往河边饮马的行走路途所在的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求圆心C关于直线的对称点B的坐标，结合图形分析可得.【详解】军营所在区域为，即军营在以为圆心，1为半径的圆内和圆上.设圆心C关于直线的对称点的坐标为B，则，解得.如图，由对称性可知，所以，当将军去往河边饮马的行走路途所在的直线经过，两点时，“将军饮马”的总路程最短，因为，所以该直线方程为，即.故选：B二、多选题（每题5分，共20分）9.下列说法正确的是（）A.直线与直线垂直B.过点的直线被圆所截得的弦的长度的最小值为2．C.直线与圆的位置关系不确定．D.若直线与圆相交，则点在圆外．【答案】BD【解析】【分析】对于A，推断两直线的斜率的乘积是否为，对于B，过点的直线被圆截得的最短弦为当弦与圆心和点的连线垂直时即可，对于C，先求出直线过的定点，然后再推断即可，对于D，由题意可得，化简可得结论【详解】对于A，因为直线与直线的斜率分别为，且，所以两直线不垂直，所以A错误，对于B，圆可化为，圆心，半径为3，当弦与圆心和点的连线垂直时，弦最短，最短弦长为，所以B正确，对于C，直线化为，所以直线恒过点，因为点在圆内，所以直线与圆必相交，所以C错误，对于D，因为直线与圆相交，所以，所以，所以点在圆外，所以D正确，故选：BD10.设圆的圆心为，直线过，且与圆交于两点，若，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分直线的斜率不存在与存在两种状况探讨，当直线斜率存在时，设直线方程为：，依据圆心到直线的距离，得到方程，解得即可；【详解】解：圆，即的圆心为，半径为2，当直线垂直于轴时，直线方程为：，由得或，此时符合题意：当直线斜率存在时，设直线方程为：，即.由，得圆心到直线的距离.故，解得，直线方程为：，即.故选：AC.11.已知圆，直线，则（）A.圆心坐标为 B.圆的半径为3C.直线与圆相交 D.圆上的点到直线的距离最大值为【答案】BCD【解析】【分析】把圆方程化为标准方程得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离可推断直线与圆位置关系，由圆心到直线的距离加半径可得圆上的点到直线距离的最大值．【详解】转化为标准方程为，故圆心，半径为，故直线与圆相交，圆上的点到直线距离的最大值为.故选：BCD．12.已知圆M：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别是A，B，下列说法正确的有（）A.圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B.切线长PA的最小值为1C.四边形AMBP面积的最小值为2 D.直线AB恒过定点【答案】BD【解析】【分析】利用圆心到直线的距离可推断A，利用圆的性质可得切线长利用点到直线的距离可推断B，由题可得四边形AMBP面积为，可推断C，由题可知点A，B，在以为直径的圆上，利用两圆方程可得直线AB的方程，即可推断D.【详解】由圆M：，可知圆心，半径，∴圆心到直线l：的距离为，圆M上恰有一个点到直线l的距离为，故A错误；由圆的性质可得切线长，∴当最小时，有最小值，又，∴，故B正确；∵四边形AMBP面积为，∴四边形AMBP面积的最小值为1，故C错误；设，由题可知点A，B，在以为直径的圆上，又，所以，即，又圆M：，即，∴直线AB方程为：，即，由，得，即直线AB恒过定点，故D正确.故选：BD.第II卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13.与圆同时相切的直线有___________条.【答案】【解析】【分析】推断两个圆的位置关系，由此确定正确答案.【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为；圆心距，所以两圆相交，公切线有条.故答案为：14.若直线与直线相互垂直，则被圆截得的弦长为________．【答案】【解析】【分析】由两条直线垂直得，再结合几何法求弦长即可得答案.【详解】解：因为直线与直线相互垂直，所以，解得，故，所以圆心到的距离，所以所求弦长为．故答案为：15.在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆的两个交点分别位于不同的象限，则l的斜率的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】由题设，依据圆的方程找到轴线点，应用两点式求与各轴线点连线的斜率，数形结合法推断满意题设状况下直线l的范围.【详解】记，，，，．当，即时，两个交点分别位于第一、三象限，满意题意；当，即时，两个交点分别位于第三、四象限，满意题意；当时，若直线l与圆有两个交点，则两个交点均在其次象限，不满意题意；当时，若直线l与圆有两个交点，则两个交点均在第三象限，不满意题意．综上，或．故答案为：.16.过圆O：外一点引直线l与圆O相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率为，则______．【答案】##【解析】【分析】依据圆的性质，结合三角形面积公式、点到直线的距离公式进行求解即可.【详解】设，则，当时，的最大值为，此时依据对称性，不妨取直线l的方程为，因为，，所以点O到直线l的距离为，所以，解得．故答案为：四、解答题17.已知中，、、，写出满意下列条件的直线方程．（1）BC边上的高线的方程；（2）BC边的垂直平分线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）BC边上的高线过点A且垂直于BC，由点斜式即可得解；（2）BC边的垂直平分线过BC中点且垂直于BC，由点斜式即可得解.【小问1详解】因为，所以BC边上的高线的斜率，故BC边上的高线的方程为：,即所求直线方程为：.【小问2详解】因为，所以BC边上的垂直平分线的斜率，又BC的中点为，故BC边的垂直平分线的方程为：，即所求直线方程为：.18.求满意条件的圆的标准方程：（1）已知，，以为直径；（2）圆心为点且与直线相切.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据题意得到圆心，半径为，即可得到答案.（2）依据直线与圆的位置关系求解即可.【小问1详解】圆心为的中点，半径为，所以圆的标准方程为.【小问2详解】点C到直线的距离为，所以圆的标准方程为.19.圆的圆心为，且过点．（1）求圆的标准方程；（2）直线：与圆交两点，且，求．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）依据两点间的距离公式求得半径，再求标准方程即可；（2）由题知圆心到直线的距离为，再结合点到直线的距离公式求解即可.【小问1详解】解：因为圆的圆心为，且过点,所以半径，所以，圆标准方程为【小问2详解】解：设圆心到直线的距离为，因为所以，解得所以，由圆心到直线距离公式可得．解得或．20.已知动圆过定点，且在y轴上截得的弦长为8．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线和y轴的距离之和的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设圆心的坐标为，求出半径，再依据弦长结合勾股定理列出等式，化简即可；（2）画出图形，由图可知的最小值为F到直线的距离，再依据点到直线的距离公式即可得解.【小问1详解】解：设圆心的坐标为，则半径，又因动圆在y轴上截得的弦长为8，所以，化简得，即动圆圆心的轨迹C的方程为；【小问2详解】解：如图，设轨迹C的焦点为F，点P到直线的距离为，到y轴的距离为，F到直线的距离为，由抛物线定义，可知，所以，由图可知的最小值为F到直线的距离，所以，所以的最小值为．21.在以下这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．①圆经过点；②圆心在直线上；③圆截y轴所得弦长为8且圆心M的坐标为整数．已知圆M经过点且_____．（