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文档简介
广东深圳罗湖外国语学校2025届高三第一次调研测试数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.执行如图所示的程序框图,若输出的,则①处应填写()A. B. C. D.2.函数的大致图象为()A. B.C. D.3.在直三棱柱中,己知,,,则异面直线与所成的角为()A. B. C. D.4.设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,则集合中的元素共有()A.3个 B.4个 C.5个 D.6个5.已知函数,,若对,且,使得,则实数的取值范围是()A. B. C. D.6.下列四个图象可能是函数图象的是()A. B. C. D.7.自2019年12月以来,在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例,研究表明,该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速,采取了有效的防控阻击措施,把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记,有3个不同的住户属在鄂返乡住户,负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生,现要求这4名医生都要分配出去,且每个住户家里都要有医生去检查登记,则不同的分配方案共有()A.12种 B.24种 C.36种 D.72种8.定义在R上的函数,,若在区间上为增函数,且存在,使得.则下列不等式不一定成立的是()A. B.C. D.9.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一,其内容是:一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和,也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的,我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和,则拆成的和式中,加数全部为质数的概率为()A. B. C. D.10.已知集合,则为()A.[0,2) B.(2,3] C.[2,3] D.(0,2]11.已知函数,下列结论不正确的是()A.的图像关于点中心对称 B.既是奇函数,又是周期函数C.的图像关于直线对称 D.的最大值是12.在三角形中,,,求()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知(2x-1)7=ao+a1x+a2x2+…+a7x7,则a2=____.14.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动,服务活动共有“走进社区”、“环境监测”、“爱心义演”、“交通宣传”等四个项目,每人限报其中一项,记事件为“4名同学所报项目各不相同”,事件为“只有甲同学一人报走进社区项目”,则的值为______.15.函数的图象向右平移个单位后,与函数的图象重合,则_____.16.已知为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上移动时,的内心的轨迹方程为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数(1)当时,证明,在恒成立;(2)若在处取得极大值,求的取值范围.18.(12分)[选修4-4:极坐标与参数方程]在直角坐标系中,曲线的参数方程为(是参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)若射线与曲线交于,两点,与曲线交于,两点,求取最大值时的值19.(12分)已知正项数列的前项和.(1)若数列为等比数列,求数列的公比的值;(2)设正项数列的前项和为,若,且.①求数列的通项公式;②求证:.20.(12分)2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出的最小值.(结论不要求证明)21.(12分)(本小题满分12分)已知椭圆C:x2a2+y(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点A(1,0)的直线与椭圆C交于点M,N,设P为椭圆上一点,且OM+ON=t22.(10分)已知在中,角、、的对边分别为,,,,.(1)若,求的值;(2)若,求的面积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
模拟程序框图运行分析即得解.【详解】;;.所以①处应填写“”故选:B【点睛】本题主要考查程序框图,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2、A【解析】
利用特殊点的坐标代入,排除掉C,D;再由判断A选项正确.【详解】,排除掉C,D;,,,.故选:A.【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题,代入特殊点,采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法,属于中档题.3、C【解析】
由条件可看出,则为异面直线与所成的角,可证得三角形中,,解得从而得出异面直线与所成的角.【详解】连接,,如图:又,则为异面直线与所成的角.因为且三棱柱为直三棱柱,∴∴面,∴,又,,∴,∴,解得.故选C【点睛】考查直三棱柱的定义,线面垂直的性质,考查了异面直线所成角的概念及求法,考查了逻辑推理能力,属于基础题.4、A【解析】试题分析:,,所以,即集合中共有3个元素,故选A.考点:集合的运算.5、D【解析】
先求出的值域,再利用导数讨论函数在区间上的单调性,结合函数值域,由方程有两个根求参数范围即可.【详解】因为,故,当时,,故在区间上单调递减;当时,,故在区间上单调递增;当时,令,解得,故在区间单调递减,在区间上单调递增.又,且当趋近于零时,趋近于正无穷;对函数,当时,;根据题意,对,且,使得成立,只需,即可得,解得.故选:D.【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题,涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题,属综合困难题.6、C【解析】
首先求出函数的定义域,其函数图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到,因为为奇函数,即可得到函数图象关于对称,即可排除A、D,再根据时函数值,排除B,即可得解.【详解】∵的定义域为,其图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到,∵为奇函数,图象关于原点对称,∴的图象关于点成中心对称.可排除A、D项.当时,,∴B项不正确.故选:C【点睛】本题考查函数的性质与识图能力,一般根据四个选择项来判断对应的函数性质,即可排除三个不符的选项,属于中档题.7、C【解析】
先将4名医生分成3组,其中1组有2人,共有种选法,然后将这3组医生分配到3个不同的住户中去,有种方法,由分步原理可知共有种.【详解】不同分配方法总数为种.故选:C【点睛】此题考查的是排列组合知识,解此类题时一般先组合再排列,属于基础题.8、D【解析】
根据题意判断出函数的单调性,从而根据单调性对选项逐个判断即可.【详解】由条件可得函数关于直线对称;在,上单调递增,且在时使得;又,,所以选项成立;,比离对称轴远,可得,选项成立;,,可知比离对称轴远,选项成立;,符号不定,,无法比较大小,不一定成立.故选:.【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9、A【解析】
列出所有可以表示成和为6的正整数式子,找到加数全部为质数的只有,利用古典概型求解即可.【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加数全为质数的有(3,3),根据古典概型知,所求概率为.故选:A.【点睛】本题主要考查了古典概型,基本事件,属于容易题.10、B【解析】
先求出,得到,再结合集合交集的运算,即可求解.【详解】由题意,集合,所以,则,所以.故选:B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算,其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键,着重考查了计算能力,属于基础题.11、D【解析】
通过三角函数的对称性以及周期性,函数的最值判断选项的正误即可得到结果.【详解】解:,正确;,为奇函数,周期函数,正确;,正确;D:,令,则,,,,则时,或时,即在上单调递增,在和上单调递减;且,,,故D错误.故选:.【点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断,利用导数判断函数最值,属于中档题.12、A【解析】
利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角的值,再利用正弦定理可求得的值.【详解】,由正弦定理得,整理得,由余弦定理得,,.由正弦定理得.故选:A.【点睛】本题考查利用正弦定理求值,涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用,考查计算能力,属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据二项展开式的通项公式即可得结果.【详解】解:(2x-1)7的展开式通式为:当时,,则.故答案为:【点睛】本题考查求二项展开式指定项的系数,是基础题.14、【解析】
根据条件概率的求法,分别求得,再代入条件概率公式求解.【详解】根据题意得所以故答案为:【点睛】本题主要考查条件概率的求法,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.15、【解析】
根据函数图象的平移变换公式求得变换后的函数解析式,再利用诱导公式求得满足的方程,结合题中的范围即可求解.【详解】由函数图象的平移变换公式可得,函数的图象向右平移个单位后,得到的函数解析式为,因为函数,所以函数与函数的图象重合,所以,即,因为,所以.故答案为:【点睛】本题考查函数图象的平移变换和三角函数的诱导公式;诱导公式的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题.16、【解析】
考查更为一般的问题:设P为椭圆C:上的动点,为椭圆的两个焦点,为△PF1F2的内心,求点I的轨迹方程.解法一:如图,设内切圆I与F1F2的切点为H,半径为r,且F1H=y,F2H=z,PF1=x+y,PF2=x+z,,则.直线IF1与IF2的斜率之积:,而根据海伦公式,有△PF1F2的面积为因此有.再根据椭圆的斜率积定义,可得I点的轨迹是以F1F2为长轴,离心率e满足的椭圆,其标准方程为.解法二:令,则.三角形PF1F2的面积:,其中r为内切圆的半径,解得.另一方面,由内切圆的性质及焦半径公式得:从而有.消去θ得到点I的轨迹方程为:.本题中:,代入上式可得轨迹方程为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)根据,求导,令,用导数法求其最小值.设研究在处左正右负,求导,分,,三种情况讨论求解.【详解】(1)因为,所以,令,则,所以是的增函数,故,即.因为所以,①当时,,所以函数在上单调递增.若,则若,则所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是,所以在处取得极小值,不符合题意,②当时,所以函数在上单调递减.若,则若,则所以的单调递减区间是,单调递增区间是,所以在处取得极大值,符合题意.③当时,,使得,即,但当时,即所以函数在上单调递减,所以,即函数)在上单调递减,不符合题意综上所述,的取值范围是【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性和极值,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题.18、(1)的极坐标方程为.曲线的直角坐标方程为.(2)【解析】
(1)先得到的一般方程,再由极坐标化直角坐标的公式得到一般方程,将代入得,得到曲线的直角坐标方程;(2)设点、的极坐标分别为,,将分别代入曲线、极坐标方程得:,,,之后进行化一,可得到最值,此时,可求解.【详解】(1)由得,将代入得:,故曲线的极坐标方程为.由得,将代入得,故曲线的直角坐标方程为.(2)设点、的极坐标分别为,,将分别代入曲线、极坐标方程得:,,则,其中为锐角,且满足,,当时,取最大值,此时,【点睛】这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法,极坐标化为直角坐标的方法,以及极坐标中极径的几何意义,极径代表的是曲线上的点到极点的距离,在参数方程和极坐标方程中,能表示距离的量一个是极径,一个是t的几何意义,其中极径多数用于过极点的曲线,而t的应用更广泛一些.19、(1);(2)①;②详见解析.【解析】
(1)依题意可表示,,相减得,由等比数列通项公式转化为首项与公比,解得答案,并由其都是正项数列舍根;(2)①由题意可表示,,两式相减得,由其都是正项并整理可得递推关系,由等差数列的通项公式即可得答案;②由已知关系,表示并相减即可表示递推关系,显然当时,成立,当,时,表示,由分组求和与正项数列性质放缩不等式得证.【详解】解:(1)依题意可得,,两式相减,得,所以,因为,所以,且,解得.(2)①因为,所以,两式相减,得,即.因为,所以,即.而当时,,可得,故,所以对任意的正整数都成立,所以数列是等差数列,公差为1,首项为1,所以数列的通项公式为.②因为,所以,两式相减,得,即,所以对任意的正整数,都有.令,而当时,显然成立,所以当,时,,所以,即,所以,得证.【点睛】本题考查由前n项和关系求等比数列公比,求等差数列通项公式,还考查了由分组求和表示数列和并由正项数列放缩证明不等式,属于难题.20、(Ⅰ)万;(Ⅱ)分布列见解析,;(Ⅲ)【解析】
(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ)的可能取值为,计算概率得到分布列,再计算数学期望得到答案.(Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为,故,解得答案.【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人,故人数为:万人.(Ⅱ)8名男生中,测试成绩在70分以上的有人,的可
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