江苏省南通市海安市2021-2022学年高二下学期期末数学试题

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………试卷第=page11页，共=sectionpages33页…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………试卷第=page11页，共=sectionpages33页江苏省南通市海安市2021-2022学年高二下学期期末数学试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四五总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．若，则（

）A． B． C． D．2．根据样本点，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则（

）A． B． C． D．3．一个袋子中共有个大小相同的球，其中个红球，个白球，从中随机摸出个球，则取到红球的个数的期望为（

）A． B． C． D．4．第十三届冬残奥会于年月日至月日在中国成功举行已知从某高校名男志愿者，名女志愿者中选出人分别担任残奥高山滑雪、残奥冰球和轮椅冰壶志愿者，且仅有名女志愿者入选，则不同的选择方案共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种5．投资甲、乙两种股票，每股收益单位：元分别如下表：甲种股票收益分布列乙种股票收益分布列收益-102收益012概率0.10.30.6概率0.20.50.3则下列说法正确的是（

）A．投资甲种股票期望收益大 B．投资乙种股票期望收益大C．投资甲种股票的风险更高 D．投资乙种股票的风险更高6．在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（

）A． B． C． D．7．六氟化硫在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途已知六氟化硫分子构型呈正八面体每个面都是正三角形，如图所示，任取正八面体的两条棱，在第一条棱取自于四边形的一条边的条件下，再取第二条棱，则取出的两条棱所在的直线是异面直线的概率为（

）A． B． C． D．8．若，则（

）A． B． C． D．评卷人得分二、多选题9．对于样本相关系数，下列说法不正确的是（

）A．越大，成对样本数据的线性相关程度越强B．，成对样本数据没有任何相关关系C．刻画了样本点集中于某条直线的程度D．成对样本数据相关的正负性与的符号正负相同10．已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，，两两共面，则，，共面C．对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底11．箱中共有包装相同的件正品和件赝品，从中不放回地依次抽取件，用表示“第一次取到正品”，用表示“第二次取到正品”，则（

）A． B．C． D．12．在平行六面体中，，，点在线段上，则（

）A．B．到和的距离相等C．与所成角的余弦值最小为D．与平面所成角的正弦值最大为第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分三、填空题13．试写出一个点的坐标：__________，使之与点，三点共线．14．已知的展开式中第项和第项的二项式系数相同，则展开式中项的系数为__________．评卷人得分四、双空题15．请在下面两题中选择一题作答：题设点是抛物线与双曲线在第一象限的唯一公共点，点，分别是的准线与的两条渐近线的交点，则的面积为__________．题已知球的体积和表面积均是球半径的函数，分别记为，若球的半径满足，点到球心的距离为，过点作平面，则平面截球所得截面圆的面积的最小值为__________．16．某商场共有三层，最初规划第一层为家生活用品店，第二层为家服装店，第三层为家餐饮店.招商后，最终各层各类店铺的数量单位：家统计如下表：生活用品店服装店餐饮店第一层第二层第三层若从第一层店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为__________若从该商场所有店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为__________．评卷人得分五、解答题17．已知是等差数列的前项和，且，，求：(1)数列的通项公式(2)数列的前项和．18．在中，已知，，，点在边上，且，求：(1)(2)19．某校为了解学生对体育锻炼时长的满意度，随机抽取了位学生进行调查，结果如下：回答“满意”的人数占被调查人数的一半，且在回答“满意”的人中，男生人数是女生人数的在回答“不满意”的人中，女生人数占．(1)请根据以上信息填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断学生对体育锻炼时长的满意度是否与性别有关满意不满意合计男生女生合计附参考公式：，其中．(2)为了解增加体育锻炼时长后体育测试的达标效果，一学期后对这名学生进行体育测试，将测试成绩折算成百分制，规定不低于分为达标，超过的学生达标则认为达标效果显著已知这名学生的测试成绩服从正态分布，试判断该校增加体育锻炼时长后达标效果是否显著附：若∽，则，，．20．如图，在四棱锥中，和均为正三角形，且边长为，，，与交于点．(1)求证：平面(2)求二面角的余弦值．21．已知椭圆的左焦点，右顶点．(1)求的方程(2)设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：．22．已知函数．(1)证明：(2)若，求．23．某大型养鸡场流行一种传染病，鸡的感染率为．(1)若，从中随机取出只鸡，记取到病鸡的只数为，求的概率分布及数学期望(2)对该养鸡场所有鸡进行抽血化验，以期查出所有病鸡方案如下：按每只鸡一组分组，并把同组的只鸡的血混合在一起化验，若发现有问题，再分别对该组只鸡逐只化验设每只鸡的化验次数为随机变量，当且仅当时，的数学期望，求的取值范围答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．D【解析】【分析】根据排列数与阶乘的公式求解即可【详解】由，则，故．故选：D2．C【解析】【分析】根据线性回归方程经过样本中心点求解即可【详解】由已知得，而，所以，解得．故选：C3．A【解析】【分析】由题意，再计算出概率可得其分布列，再利用数学期望计算公式求结果.【详解】由题意，取到红球的个数的取值为，，，，

．故选：A4．D【解析】【分析】由题意可得需要选名男生，名女生，再根据排列组合的公式求解即可【详解】由题意可得需要选名男生，名女生，所以不同安排方案有种故选；D5．C【解析】【分析】先计算两个分布列的均值与方差，均值越大，收益越大，方差越大，风险越高，即可求解.【详解】解：甲收益的期望，方差，乙收益的期望，方差，所以，，则投资股票甲乙的期望收益相等，投资股票甲比投资股票乙的风险高．故选：C.6．A【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，结合中点的性质求解即可【详解】，其中为中点，有，故可知，则知为的中点，故点满足，．故选：A7．D【解析】【详解】利用异面直线的定义求出满足条件的所有情况，再利用条件概率公式求解即可【解答】解：根据题意可得，假设四边形取，则与异面的直线为，，，，同理可得，，的异面直线，所以第一条棱取自于四边形的一条边，第二次取的棱与第一次取的棱是异面直线的的方法数有种，设事件为“任取正八面体的两条棱，第一条棱取自于四边形的一条边”，事件为“取的第二条棱与第一条棱成异面直线”，则任取正八面体的两条棱有种方法，其中第一次取的棱是四边形的一条边有种方法，所以,，所以故选：D8．B【解析】【详解】利用赋值法，分别令，和，再求解即可【解答】令可得：，令可得：，两式相加可得：，所以，令可得，所以．故选：B9．AB【解析】【分析】相关系数是一个绝对值小于等于1的量，并且它的绝对值越大就说明相关程度越大，根据相关系数的概念即可求解．【详解】解：相关系数是用来衡量两个变量之间的线性相关程度的,相关系数是一个绝对值小于等于1的量，并且它的绝对值越大就说明相关程度越大，所以A错误，相关系数为0说明两变量不存在直线相关关系，但这并不意味着两个变量之间不存在其他类型的关系，所以B不正确，C、D的阐述均正确．故选：AB.10．AD【解析】【详解】根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念逐项判断即可.【解答】解：，，是空间的三个单位向量，由，，则，故A正确；，，两两共面，但是，，不一定共面，，，可能两两垂直，故B错误；由空间向量基本定理，可知只有当，，不共面，才能作为基底，才能得到，故C错误；若是空间的一组基底，则，，不共面，可知也不共面，所以也是空间的一组基底，故D正确．故选：AD.11．ACD【解析】【分析】根据题意分别求得，，再根据概率的公式逐个判断即可【详解】对A，，，，，故A选项对；对B，，故B选项错；对C，，故C选项正确；对D，，故D选项正确．故选：ACD12．BCD【解析】【分析】由结合推出面，得出矛盾，即可判断A选项；由为线段的垂直平分线，且，即可判断B选项；由异面直线夹角的求法即可判断C选项；由线面角的求法即可判断D选项．【详解】对于A，若，易得四边形为菱形，则，又，面，可知面，则面，显然矛盾，故A错误；对于B，其中点在线段上，平分，且为线段的垂直平分线，又，可知上所有点到与的距离相等，故B正确；对于C，设平行六面体的边长为，易得，其中，可得，又，则与所成角即为，当点运动到点处时，此时最小，即与所成角的余弦值最小，，故C正确；易得当点运动到点处时，此时与平面所成角最大，即正弦值最大，又，则，又，，面，则面，作，垂足为，则，又面且相交，则面，则即为与平面所成角，则有，故正弦值最大为，D正确．故选：BCD.13．（答案不唯一）【解析】【分析】设出点的坐标，利用空间向量共线得到，求出，写出一个符合要求的即可.【详解】根据题意可得，设，则设，即故，不妨令，则，故．故答案为：14．##2.5【解析】【分析】先利用展开式中第项和第项的二项式系数相同求得的值，然后写出展开式中的通项赋值后求解即可.【详解】解：由已知可得，所以，则二项式的展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的系数为．故答案为：.15．

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【解析】【分析】（1）联立抛物线与双曲线的方程有，根据题意可得，从而解得，再计算的坐标求解面积即可；（2）根据可得，进而根据垂直关系求出平面截球所得截面圆的面积的最小值即可【详解】（1）因为抛物线与双曲线在第一象限只有唯一公共点，将代入内，有，，解得．可得点，双曲线的渐近线方程为，可知，，则的面积，（2），，其中，可得，故截面圆半径的最小值为，则截面圆面积的最小值为．故答案为：；16．

##【解析】【分析】根据条件结合古典概型概率公式直接计算即可得到答案．【详解】若从第一层店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为，若从该商场所有店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为．故答案为：；17．(1)(2)【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，再根据前项和的公式求解即可；（2）根据（1）可得，再裂项相消求和即可(1)设等差数列的公差为，则，所以．所以，即(2)由（1）知，，所以18．(1)(2)【解析】【分析】（1）由余弦定理求出的长；（2）由正弦定理得到，进而求出，进而利用正弦差角公式进行计算.(1)在中，由余弦定理，解得：，所以(2)在中，由正弦定理，得，在中，由，所以，故．所以．19．(1)表格见解析，认为学生对于体育锻炼时长的满意度与性别有关(2)该校增加锻炼时长后达标效果显著【解析】【分析】（１）根据位学生中回答“满意”的人数占被调查人数的一半，且男生人数是女生人数的可得男女生回答“满意”的人数，再根据回答“不满意”的人中，女生人数占补全列联表，再计算卡方判断即可；（２）根据正态分布，可得，，再根据所给数据结合正态分布的对称性，计算判断即可(1)由题意，回答“满意”的人数有人，且男生人数是女生人数的，故回答“满意”的男生有人，回答“满意”的女生有人，回答“不满意”的人中，女生人数，故补充列联表如图：满意不满意合计男生女生合计则，故认为学生对于体育锻炼时长的满意度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于(2)因为学生的测试成绩服从正态分布，所以，，且，所以．故该校增加锻炼时长后达标效果显著．20．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求解平面的一个法向量，利用空间向量求解二面角即可.(1)证明：因为和均为正三角形，所以．又，所以为的中垂线．所以为的中点．又，所以．又，，平面，所以平面．(2)因为，为的中点，所以．又因为，所以，，为全等三角形．所以，所以．结合（1）知，不妨以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以设平面的一个法向量为，则，故，令，则，，所以．设二面角的大小为，则．又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．21．(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据