2025年新高考数学一轮复习第6章第六章数列(测试)(学生版+解析)

第六章数列（测试）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．等比数列的前项和，则（

）A． B． C． D．2．已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（

）A． B． C． D．3．正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（

）（参考数据：，，）A．10 B．9 C．8 D．74．在各项均为正数的等比数列中，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．45．已知实数构成公差为d的等差数列，若，，则d的取值范围为（

）A． B．C． D．6．已知，则数列的偶数项中最大项为（

）A． B． C． D．7．如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列的前4项.记，则下列结论正确的为（

）A． B．C． D．与的大小关系不能确定8．给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列.已知为的牛顿数列，，且，数列的前项和为．则（）A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设等差数列的前n项和为，e是自然对数的底数，则下列说法正确的是（

）A．当时，，，是等差数列B．数列是等比数列C．数列是等差数列D．当p，q均为正整数且时，10．记数列的前项和为为常数.下列选项正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．存在常数A、B，使数列是等比数列 D．对任意常数A、B，数列都是等差数列11．设等比数列前项积为，公比为．若，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．当时，取最大值 D．使成立的最大自然数是4046第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知在递增的等比数列中，，，则数列的通项公式为．13．设数列的通项公式为，该数列中个位数字为0的项按从小到大的顺序排列构成数列，则被7除所得的余数是.14．已知数表，，，其中分别表示，，中第行第列的数．若，则称是，的生成数表．若数表，，且是的生成数表，则．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和．16．（15分）已知数列的首项，且满足（）．(1)求证：数列为等比数列；(2)记，求数列的前项和，并证明．17．（15分）已知正项数列的前项和为，且满足.试求:(1)数列的通项公式;(2)记，数列的前项和为，当时，求满足条件的最小整数.18．（17分）已知是等差数列，公差，，且是与的等比中项.(1)求的通项公式(2)数列满足，且.（ⅰ）求的前n项和.（ⅱ）是否存在正整数m，n（），使得，，成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.19．（17分）如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”.(1)设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项；(2)设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和.①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值?②若，且，求的最小值.第六章数列（测试）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．等比数列的前项和，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若等比数列的公比为，因为，则，矛盾，故设等比数列公比为，则，即等比数列的前项和要满足，又因为，所以.故选：B2．已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦函数性质知，当，即时，函数取得极大值，则，由等差数列性质，得，所以.故选：D3．正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（

）（参考数据：，，）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【解析】设，则，因为，可知数列为递增数列，且，，可知，所以.故选：C.4．在各项均为正数的等比数列中，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由得，即，因为等比数列各项均为正数，所以，故选：D.5．已知实数构成公差为d的等差数列，若，，则d的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由实数a，b，c构成公差为d的等差数列，所以设，，则，所以，构造函数，，当时，，所以此时单调递减，当时，，所以此时单调递增，所以的最小值为，当b趋近于时，趋近于，当b从负方向趋近于时，也趋近于，所以，所以．故选：A．6．已知，则数列的偶数项中最大项为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】数列中，，则，令，解得，则当时，，即，同理当时，，即，而当时，，所以数列的偶数项中最大项为.故选：D7．如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列的前4项.记，则下列结论正确的为（

）A． B．C． D．与的大小关系不能确定【答案】C【解析】由图分析可知，，，，依次类推，，所以.故选：.8．给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列.已知为的牛顿数列，，且，数列的前项和为．则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由可得，，，则两边取对数可得.即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设等差数列的前n项和为，e是自然对数的底数，则下列说法正确的是（

）A．当时，，，是等差数列B．数列是等比数列C．数列是等差数列D．当p，q均为正整数且时，【答案】BCD【解析】对于A，令，则，，当时，，即，所以，，不是等差数列，故A错误；对于B，设的公差为d，则（定值），所以是公比为的等比数列，故B正确；对于C，，故是公差为的等差数列，故C正确；对于D，，，所以，故D正确．故选：BCD．10．记数列的前项和为为常数.下列选项正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．存在常数A、B，使数列是等比数列 D．对任意常数A、B，数列都是等差数列【答案】ABC【解析】对于A，若，则，A正确；对于B，若，则，B正确；对于C，由得，当时，，所以，当时，数列是公比为1的等比数列，C正确；对于D，由上知，当时，若，则，此时，数列不是等差数列，D错误.故选：ABC11．设等比数列前项积为，公比为．若，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．当时，取最大值 D．使成立的最大自然数是4046【答案】ACD【解析】A选项，，，故或，当时，由可知，所以，但，互相矛盾，舍去，当时，又，所以，故满足要求，A正确；B选项，，B错误；C选项，因为，，故当时，取最大值，C正确；D选项，由于，故当时，，，，使成立的最大自然数是4046，D正确.故选：ACD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知在递增的等比数列中，，，则数列的通项公式为．【答案】【解析】设等比数列的公比为q，因为，所以，解得，又，所以有，由是递增的等比数列，解得，所以，即有.故答案为：.13．设数列的通项公式为，该数列中个位数字为0的项按从小到大的顺序排列构成数列，则被7除所得的余数是.【答案】【解析】因为，所以当的个位数字为时，的个位数为，则在数列中，每连续10项中就有6项的个位数字为0，而，由此推断数列中的第2017项相当于数列中的第3361项，即，而，所以除以7余数为1，而，，所以除以7余数也为1，而它们的差一定能被7整除，所以被7除所得余数为0.故答案为：0.14．已知数表，，，其中分别表示，，中第行第列的数．若，则称是，的生成数表．若数表，，且是的生成数表，则．【答案】【解析】由题意，得，，，，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和．【解析】（1）因为为等差数列，设公差为d，由，得，即，由，，成等比数列得，，（3分）化简得，因为，所以．所以．综上．（6分）（2）由知，，又为公比是3的等比数列，，所以，即，所以，，（10分）所以.综上.（13分）16．（15分）已知数列的首项，且满足（）．(1)求证：数列为等比数列；(2)记，求数列的前项和，并证明．【解析】（1）由得，又，所以是首项为2，公比为2的等比数列．（6分）（2）由（1）知，，所以所以，（10分）当时，单调递增，故．（15分）17．（15分）已知正项数列的前项和为，且满足.试求:(1)数列的通项公式;(2)记，数列的前项和为，当时，求满足条件的最小整数.【解析】（1）因为，当时，，当时，，（3分）因为，两式相减得，，因为，所以，（6分）所以，均为等差数列，，．所以；（7分）（2）由题意得，，所以，（10分）因为，所以，解得．所以满足条件的最小整数为9．（15分）18．（17分）已知是等差数列，公差，，且是与的等比中项.(1)求的通项公式(2)数列满足，且.（ⅰ）求的前n项和.（ⅱ）是否存在正整数m，n（），使得，，成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）因为为等差数列，且，所以．又是与的等比中项，所以，即．化简得，解得或（舍），所以．（5分）（2）（i）由，得，所以（），又，当时，，又也适合上式，所以，则，所以．（9分）（ⅱ）假设存在正整数m，n，使得，，成等差数列，则，即，整理得，显然是25的正约数，又，则或，当，即时，与矛盾；当，即时，，符合题意，所以存在正整数使得，，成等差数列，此时，．（17分）19．（17分）如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”.(1)设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项；(2)设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和.①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值