2025年新高考数学一轮复习第10章第03讲二项式定理(十五大题型)(练习)(学生版+解析)

第03讲二项式定理目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：求二项展开式中的参数 2题型二：求二项展开式中的常数项 2题型三：求二项展开式中的有理项 2题型四：求二项展开式中的特定项系数 3题型五：求三项展开式中的指定项 3题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 3题型七：求二项式系数最值 4题型八：求项的系数最值 4题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 5题型十：求奇数项或偶数项系数和 5题型十一：整数和余数问题 5题型十二：近似计算问题 6题型十三：证明组合恒等式 7题型十四：二项式定理与数列求和 8题型十五：杨辉三角 902重难创新练 1103真题实战练 14题型一：求二项展开式中的参数1．（2024·陕西榆林·模拟预测）的展开式中项的系数为84，则实数．2．二项式的展开式中前三项的系数和为，则；3．已知展开式中的常数项是，则实数的值为4．（2024·河北沧州·三模）已知的二项展开式中常数项为60，则.题型二：求二项展开式中的常数项5．（2024·新疆·三模）已知的展开式的各二项式系数的和为64，则其展开式的常数项为.（用数字作答）6．展开式中的常数项为.7．（2024·河北唐山·一模）在的展开式中，常数项为．（用数字作答）8．（2024·全国·模拟预测）的展开式中的常数项为.题型三：求二项展开式中的有理项9．写出展开式中的一个有理项为.10．在的展开式中，有理项有项．11．（2024·高三·江西·开学考试）已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，写出展开式中的一个有理项．题型四：求二项展开式中的特定项系数12．（2024·高三·四川成都·开学考试）二项式的展开式中第5项为.13．（2024·安徽芜湖·三模）写出的展开式的第4项的系数：．（用数字表示）14．（2024·高三·北京·期中）在的二项展开式中，第四项为．15．的展开式的第4项是.题型五：求三项展开式中的指定项16．（2024·山东·二模）展开式中的系数为（

）A． B． C． D．17．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）的展开式中的系数为（

）A． B． C．20 D．3018．（2024·浙江·一模）展开式中含项的系数为（

）A．30 B． C．10 D．19．在的展开式中，项的系数为（

）A．30 B．45 C．60 D．90题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数20．若的展开式中的系数为，则（

）A． B． C． D．21．已知的展开式中的系数为448，则该展开式中的系数为（

）A．56 B． C．106 D．22．（2024·广西南宁·一模）展开式中的常数项为（

）A．60 B．4 C． D．23．（2024·广东汕头·一模）展开式中项的系数为（

）A． B． C． D．题型七：求二项式系数最值24．已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中各项的系数和为64，则正数的值为.25．若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的项为.26．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则.27．的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为.题型八：求项的系数最值28．已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．29．二项式的展开式中，系数最大项的是（

）A．第项 B．第项和第项C．第项 D．第项30．（2024·江西南昌·三模）若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是（

）A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项31．（2024·全国·模拟预测）的展开式中系数最大的项为（

）A．70 B．56 C．或 D．题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和32．已知，则（

）A．9 B．10C．19 D．2933．若，则的值为（

）A． B． C．253 D．12634．已知对任意实数x，，则下列结论成立的是（

）A．B．C．D．35．已知的展开式中各项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，若，则展开式中的常数项为（

）A．180 B．60 C．280 D．240题型十：求奇数项或偶数项系数和36．（2024·高三·上海普陀·期末）已知，则（用数字作答）．题型十一：整数和余数问题37．（2024·湖北荆州·三模）已知，则被3除的余数为（

）A．3 B．2 C．1 D．038．（2024·贵州黔南·二模）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的年后是（

）A．虎年 B．马年 C．龙年 D．羊年39．（2024·江西鹰潭·二模）第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（

）A．1 B．3 C．5 D．740．（2024·福建三明·三模）各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如八进制数转换为十进制数的算法为．若将八进制数转换为十进制数，则转换后的数的末位数字是（

）A．3 B．4 C．5 D．6题型十二：近似计算问题41．（2024·高三·河北·开学考试）已知二项式的二项式系数的和为，则.试估算时，的值为.（精确到）42．（2024·广东深圳·模拟预测）定义表示不超过的最大整数，如：，；定义．（1）；（2）当为奇数时，．43．的小数点后第100位数字是．44．实数精确到的近似值为.45．（2024·高三·山西朔州·开学考试）的计算结果精确到0.01的近似值是．题型十三：证明组合恒等式46．47．48．（2024·吉林长春·模拟预测）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对正整数，称为数列的阶差分数列，其中已知数列的首项，且为的二阶差分数列.(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的一阶差分数列，对，是否都有成立？并说明理由；（其中为组合数）(3)对于（2）中的数列，令，其中.证明：.49．组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究.(1)计算：，并与比较，你有什么发现？写出一般性结论并证明；(2)证明：(3)利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：.50．已知．(1)求的值(2)①证明：，其中，，，，；②利用的结论求的值．题型十四：二项式定理与数列求和51．设n为正整数，为组合数，则（

）A． B．C． D．前三个答案都不对52．设，对于有序数组，记为中所包含的不同整数的个数，例如．当取遍所有的个有序数组时，的平均值为（

）A． B． C． D．53．（2024·江西南昌·模拟预测）记，则．54．设，则的值为.55．（2024·宁夏石嘴山·一模）已知，则．56．（2024·高三·重庆·开学考试）已知，则.题型十五：杨辉三角57．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，在他所著的《详解九章算法》中把二项式系数写成一张表，借助它发现了很多有趣的性质，利用这些性质，解决了很多数学问题.如图所示，由杨辉三角左腰上的各数出发引一组平行线，第条线上的数字是；第2条线上的数字是；第3条线上的数字是；第4条线上的数字是，那么第21条线上的数共有个，其中最大的数是.（用数字表示）58．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律（如图所示），则“杨辉三角”中第30行中第12个数与第13个数之比为.59．杨辉三角是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一.如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，则在第11条斜线上，最大的数是.60．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，记这个数列前n项和为，则.61．（2024·宁夏·二模）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角．若第行中从左到右第3个数与第5个数的比为，则的值为．62．在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角．杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．杨辉三角如下图所示：第0行

1第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1第6行

1

6

15

20

15

6

1

如上图，杨辉三角第6行的7个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第0行的一个数为0，得到一个新的三角数阵如下图：第0行

0第1行

0

1第2行

0

2

2第3行

0

3

6

3第4行

0

4

12

12

4第5行

0

5

20

30

20

5第6行

0

6

30

60

60

30

6

在这个新的三角数阵中，第10行的第3个数为；从第一行开始的前行的所有数的和为．63．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：，令，是的前n项和，则．

1．若，则（

）A．180 B． C． D．902．（2024·高三·四川成都·开学考试）已知是数列的前项和，若，数列的首项，，则（

）C．D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数9．（多选题）已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的是（

）A．展开式共有6项 B．二项式系数最大的项是第4项C．展开式的常数项为540 D．展开式含有10．（多选题）（2024·福建泉州·一模）已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（

）A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为C．系数最大项为第2项 D．有理项共有4项11．（多选题）若，则下列选项正确的有（

）A．B．C．D．12．（多选题）已知，则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．13．若，则．14．（2024·高三·全国·自主招生），则.15．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，则.16．（2024·高三·湖北·开学考试）在的展开式中，若的系数为，则.17．（2024·天津·模拟预测）已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若，则等于．18．（2024·高三·上海·开学考试）设，若，则.1．（2024年上海秋季高考数学真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为．2．（2023年天津高考数学真题）在的展开式中，的系数为．3．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知多项式，则，．4．（2022年新高考全国I卷数学真题）的展开式中的系数为（用数字作答）．5．（2022年新高考天津数学高考真题）在的展开式中，常数项是.6．（2021年天津高考数学试题）在的展开式中，的系数是．7．（2021年浙江省高考数学试题）已知多项式，则，.8．（2021年北京市高考数学试题）在的展开式中，常数项为．第03讲二项式定理目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：求二项展开式中的参数 2题型二：求二项展开式中的常数项 3题型三：求二项展开式中的有理项 4题型四：求二项展开式中的特定项系数 5题型五：求三项展开式中的指定项 6题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 7题型七：求二项式系数最值 9题型八：求项的系数最值 10题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 12题型十：求奇数项或偶数项系数和 13题型十一：整数和余数问题 14题型十二：近似计算问题 16题型十三：证明组合恒等式 17题型十四：二项式定理与数列求和 21题型十五：杨辉三角 2302重难创新练 2903真题实战练 37题型一：求二项展开式中的参数1．（2024·陕西榆林·模拟预测）的展开式中项的系数为84，则实数．【答案】【解析】展开式的通项为，因为项的系数为84，所以，解得.故答案为：2．二项式的展开式中前三项的系数和为，则；【答案】或【解析】二项式的展开式为，，1，2，3，4，，故展开式的前三项的系数和为，故，整理得：，解得或．故答案为：．3．已知展开式中的常数项是，则实数的值为【答案】【解析】由题意得，的展开式的通项为，令，解得，，所以的展开式中的常数项为，解得.故答案为：.4．（2024·河北沧州·三模）已知的二项展开式中常数项为60，则.【答案】【解析】展开式的通项为，令，得，则的常数项为，当常数项为60时，.故答案为：.题型二：求二项展开式中的常数项5．（2024·新疆·三模）已知的展开式的各二项式系数的和为64，则其展开式的常数项为.（用数字作答）【答案】15【解析】由题意可知，，得，则展开式的通项公式为，令，得，所以展开式的常数项.故答案为：156．展开式中的常数项为.【答案】240【解析】展开式的通项公式为，令得，，故答案为：240.7．（2024·河北唐山·一模）在的展开式中，常数项为．（用数字作答）【答案】【解析】因为展开式的通项公式为：，令，解得，所以常数项为：.故答案为：8．（2024·全国·模拟预测）的展开式中的常数项为.【答案】240【解析】展开式的通项公式为，令或，解得（舍去）或，故所求常数项为.故答案为：240题型三：求二项展开式中的有理项9．写出展开式中的一个有理项为.【答案】（答案不唯一）【解析】展开式的通项公式为（），所以展开式中的有理项分别为：时，；时，；时，；时，.故答案为：（四个有理项任写其一均可）.10．在的展开式中，有理项有项．【答案】【解析】的展开式的通项为，令为整数，则，共项.故答案为：.11．（2024·高三·江西·开学考试）已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，写出展开式中的一个有理项．【答案】（或，或，写出其中一个即可）【解析】由题意知展开式中共有9项，所以，所以的展开式的通项为，，．若为有理项，则，所以，4，8，故展开式中所有的有理项为，，．故答案为：（或，或，写出其中一个即可）题型四：求二项展开式中的特定项系数12．（2024·高三·四川成都·开学考试）二项式的展开式中第5项为.【答案】15【解析】展开式通项为，.故答案为：15.13．（2024·安徽芜湖·三模）写出的展开式的第4项的系数：．（用数字表示）【答案】-160【解析】.故答案为：14．（2024·高三·北京·期中）在的二项展开式中，第四项为．【答案】【解析】由题设，当时，第四项为.故答案为：15．的展开式的第4项是.【答案】【解析】由题设，二项式展开式通项为，第4项为.故答案为：题型五：求三项展开式中的指定项16．（2024·山东·二模）展开式中的系数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】现有8个相乘，从每个中的三项各取一项相乘时，若结果为的常数倍，则所取的8项中有4个，2个，2个.所以，总的选取方法数目就是.每个这样选取后相乘的结果都是，即给系数的贡献总是，所以的系数就是全部的选取数.17．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）的展开式中的系数为（

）A． B． C．20 D．30【答案】C【解析】，其展开式的通项公式为，令，则，而的展开式的通项公式为：，令，则的展开式中的系数为:,18．（2024·浙江·一模）展开式中含项的系数为（

）A．30 B． C．10 D．【答案】A【解析】由题意得，展开式中含的项为，所以展开式中含项的系数为.故选：B19．在的展开式中，项的系数为（

）A．30 B．45 C．60 D．90【答案】A【解析】在的展开式中，通项公式为，对于，通项公式为，，，r、k，令，可得，故，，故项的系数为，故选：B.题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数20．若的展开式中的系数为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为展开式的通项公式为，令，得；令，得．所以的展开式中的系数为，得．21．已知的展开式中的系数为448，则该展开式中的系数为（

）A．56 B． C．106 D．【答案】B【解析】依题意，，二项式的展开式的通项，于是，解得，所以的展开式中的系数为.故选：D22．（2024·广西南宁·一模）展开式中的常数项为（

）A．60 B．4 C． D．【答案】C【解析】二项式的展开式的通项公式为Tr+1=令，求得，令6−3r2=−3，求得，由于1−x故其展开式中的常数项为−1故选：C23．（2024·广东汕头·一模）展开式中项的系数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】的展开式通项为，因为，在中，令，可得项的系数为；在中，令，得，可得项的系数为.所以，展开式中项的系数为.题型七：求二项式系数最值24．已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中各项的系数和为64，则正数的值为.【答案】3【解析】因为的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以展开式一共有项，即，令，得展开式中所有项的系数和为，所以或（舍去），所以正数的值为3.故答案为：3.25．若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的项为.【答案】【解析】由题意，只有第5项的二项式系数最大知，展开式中有共项，则，所以的展开式的通项为，令，解得，故展开式中的项为.故答案为：.26．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则.【答案】【解析】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，根据二项展开式的性质，可得中间项的二项式系数最大，所以展开式一共有7项，所以为偶数且，可得.故答案为：.27．的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为.【答案】/【解析】因为展开式中只有第六项的二项式系数最大，即，所以，所以.故答案为：题型八：求项的系数最值28．已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】的展开式的通项为，由题可知，解得．故选：A29．二项式的展开式中，系数最大项的是（

）A．第项 B．第项和第项C．第项 D．第项【答案】C【解析】由二项展开式的通项公式，可知系数为，与二项式系数相比只是符号的区别，二项式系数最大的项为第项和第项，又由第项系数为，第项系数为，故系数最大项为第项.30．（2024·江西南昌·三模）若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是（

）A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项【答案】A【解析】因为的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，所以，解得，则的展开式通项为，当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数，所以展开式中系数最大时，为偶数，由展开式通项可知，，，，，所以展开式中系数最大的是第三项，故选：B31．（2024·全国·模拟预测）的展开式中系数最大的项为（

）A．70 B．56 C．或 D．【答案】B【解析】的展开式的通项公式为，，由二项式系数中，最大，此时该二项展开式中第5项的系数最大，∴的展开式中系数最大的项为，故选：D．题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和32．已知，则（

）A．9 B．10C．19 D．29【答案】C【解析】因为，所以分别对两边进行求导得，令，得，所以，故选：C33．若，则的值为（

）A． B． C．253 D．126【答案】C【解析】令，得，，∴.34．已知对任意实数x，，则下列结论成立的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因（*）对于A项，当时，代入（*）可得，当时，代入（*）可得，所以，故A项错误；对于B项，当时，代入（*）可得，又，所以，故B项错误；对于C项，当时，代入（*）可得，故C项正确；对于D项，对（*）两边求导可得，，当时，，故D项错误.35．已知的展开式中各项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，若，则展开式中的常数项为（

）A．180 B．60 C．280 D．240【答案】B【解析】的展开式中各项的二项式系数之和．对于，令，则．由，解得．所以的展开式的通项公式为，令，则，故的展开式中的常数项为．故选：D．题型十：求奇数项或偶数项系数和36．（2024·高三·上海普陀·期末）已知，则（用数字作答）．【答案】【解析】由，令得，，①令得，，②①②得，，.故答案为：.题型十一：整数和余数问题37．（2024·湖北荆州·三模）已知，则被3除的余数为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】令，得，令，得，两式相减，，因为，其中被3整除，所以被3除的余数为1，综上，能被3整除．故选：D.38．（2024·贵州黔南·二模）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的年后是（

）A．虎年 B．马年 C．龙年 D．羊年【答案】A【解析】由，故除以的余数为，故除以的余数为，故年后是马年.故选：B.39．（2024·江西鹰潭·二模）第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【解析】由进位制的换算方法可知，八进制换算成十进制得：，因为是10的倍数，所以，换算后这个数的末位数字即为的末尾数字，由可得，末尾数字为5.故选：C40．（2024·福建三明·三模）各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如八进制数转换为十进制数的算法为．若将八进制数转换为十进制数，则转换后的数的末位数字是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】因为是的倍数，所以换算后这个数的末位数字即为的末位数字，由，末位数字为3，故选：A．题型十二：近似计算问题41．（2024·高三·河北·开学考试）已知二项式的二项式系数的和为，则.试估算时，的值为.（精确到）【答案】【解析】二项式的二项式系数的和为，解得，当时，.故答案为：；.42．（2024·广东深圳·模拟预测）定义表示不超过的最大整数，如：，；定义．（1）；（2）当为奇数时，．【答案】【解析】（1）由题意得，，，，，，由二项式定理同理可得，，；（2）由（1）可归纳出当是奇数时，，当是偶数时，，当为奇数时，则有个偶数，个奇数，.故答案为：2；.43．的小数点后第100位数字是．【答案】9【解析】设．则由特征方程可知其递推式为．但注意到，都是整数，由数学归纳法可知是整数，但显然有，因此所求小数点后第100位数字是9．故答案为：944．实数精确到的近似值为.【答案】【解析】因为，将精确到，故近似值为.故答案为：.45．（2024·高三·山西朔州·开学考试）的计算结果精确到0.01的近似值是．【答案】1.34【解析】故答案为：题型十三：证明组合恒等式46．【解析】令，则，因为，所以，所以.47．【解析】记，则，所以由于，所以所以中的系数为：，而展开式中的系数为，所以成立48．（2024·吉林长春·模拟预测）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对正整数，称为数列的阶差分数列，其中已知数列的首项，且为的二阶差分数列.(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的一阶差分数列，对，是否都有成立？并说明理由；（其中为组合数）(3)对于（2）中的数列，令，其中.证明：.【解析】（1）因为为an的二阶差分数列，所以，将，代入得，整理得，即，所以.故数列是首项为，公差为的等差数列，因此，，即.（2）因为为数列bn的一阶差分数列，所以，故成立，即为.①当时，①式成立；当时，因为，且，所以①成立，故对都有成立.（3），因为，所以，故，即，所以.49．组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究.(1)计算：，并与比较，你有什么发现？写出一般性结论并证明；(2)证明：(3)利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：.【解析】（1），，规律：，证明如下：的展开式中，的系数为，同时，的展开式中的系数为，所以.（2）证明：的展开式中的系数为，又，的展开式中的系数为，所以.（3）证明：由（1）可知，由（2）可知，两式相减可得，即.50．已知．(1)求的值(2)①证明：，其中，，，，；②利用的结论求的值．【解析】（1）令，得，令，得，（2）①证明：，，②由①得：，，，，，，．题型十四：二项式定理与数列求和51．设n为正整数，为组合数，则（

）A． B．C． D．前三个答案都不对【答案】B【解析】解法一设题中代数式为M，则．解法二设题中代数式为M，倒序相加可得，于是．故选：D.52．设，对于有序数组，记为中所包含的不同整数的个数，例如．当取遍所有的个有序数组时，的平均值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解法一分别计算1，2，3，4的“价值”，可得所求平均值为．解法二按的取值分类．N总数142843144424于是所求平均值为．53．（2024·江西南昌·模拟预测）记，则．【答案】【解析】取，则；取，则；两式作和得：，.故答案为：.54．设，则的值为.【答案】1【解析】令有，令有，故故答案为：155．（2024·宁夏石嘴山·一模）已知，则．【答案】【解析】令则，令则，两式相加可得令，所以，故答案为：56．（2024·高三·重庆·开学考试）已知，则.【答案】【解析】由于，所以展开式的通项为，又，所以，所以由二项式系数的对称性知，所以.故答案为：.题型十五：杨辉三角57．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，在他所著的《详解九章算法》中把二项式系数写成一张表，借助它发现了很多有趣的性质，利用这些性质，解决了很多数学问题.如图所示，由杨辉三角左腰上的各数出发引一组平行线，第条线上的数字是；第2条线上的数字是；第3条线上的数字是；第4条线上的数字是，那么第21条线上的数共有个，其中最大的数是.（用数字表示）【答案】11【解析】依据给定条件我们发现第8条线为，第9条线为，第10条线为，第11条线为，第12条线为，第13条线为，第14条线为，第15条线为，第16条线为，第17条线为，第1条线和第2条线有1个数，第3条线和第4条线有2个数，第5条线和第6条线有3个数，第7条线和第8条线有4个数，所以线的个数每增加2，其含有数字的个数增加1，所以第21条线上的数共有11个我们发现第1条线只有数字1，所以它的最大数字为1，第5条线有，所以最大数字为3，第9条线有，所以最大数字为15，第13条线有，所以最大数字为84，第17条线有，所以最大数字为495，若设线的条数为，则第21条线中的最大数字也满足第条线上的最大数字的规律，而我们继续写杨辉三角，我们可以得到剩下的行，第8行为，第9行为，第10行为，第11行为，第12行为，第13行为，第14行为，第15行为，第16行为，我们观察第1条线的最大值，它是第1行第1个数，第5条线的最大值是第4行的第2个，第9条线的最大值是第7行的第3个，第13条线的最大值是第10行的第4个，第17条线的最大值是第13行的第5个，所以我们归纳出如下规律，在线的条数为时，其包含的数字的最大值在杨辉三角中行数每增加3，数字的位置向右平移1位，所以第21条线的最大值是第16行的第6个，为.故答案为：11；58．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律（如图所示），则“杨辉三角”中第30行中第12个数与第13个数之比为.【答案】【解析】第30行中第12个数与第13个数之比为.故答案为：59．杨辉三角是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一.如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，则在第11条斜线上，最大的数是.【答案】35【解析】杨辉三角第8行的数据为：1

7

21

35

35

21

7

1，第9行的数据为：1

8

28

56

70

56

28

8

1，第10行的数据为：1

9

36

84

126

126

84

36

9

1，第11条斜线上的数为：1

9

28

35

15

1，所以最大的数是35.故答案为：3560．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，记这个数列前n项和为，则.【答案】111【解析】由“杨辉三角”的性质，得，所以.故答案为：61．（2024·宁夏·二模）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角．若第行中从左到右第3个数与第5个数的比为，则的值为．【答案】【解析】依题意可知第行的数从左到右分别为，所以，即，得，解得或（舍去），所以的值为.故答案为：62．在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角．杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．杨辉三角如下图所示：第0行

1第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1第6行

1

6

15

20

15

6

1

如上图，杨辉三角第6行的7个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第0行的一个数为0，得到一个新的三角数阵如下图：第0行

0第1行

0

1第2行

0

2

2第3行

0

3

6

3第4行

0

4

12

12

4第5行

0

5

20

30

20

5第6行

0

6

30

60

60

30

6

在这个新的三角数阵中，第10行的第3个数为；从第一行开始的前行的所有数的和为．【答案】90【解析】由题可得杨辉三角中第行的第个数为，则新的三角数阵中第行的第个数为，故第10行的第3个数为，新的三角数阵中第行的和为：，设，，两边求导得，，令得，，所以新的三角数阵中第行的和为，设前行的所有数的和为，则，，两式相减得，，所以，故答案为：90，．63．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：，令，是的前n项和，则．

【答案】【解析】由可得：，所以，所以，所以．故答案为：．1．若，则（

）A．180 B． C． D．90【答案】C【解析】易知，其中展开式中含项为，因此.故选：A2．（2024·高三·四川成都·开学考试）已知是数列的前项和，若，数列的首项，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知，则，则，再根据二项式的展开式中二项式系数的性质可知，则，又，可得，且，则，所以当为奇数时，，当为偶数时，，则.3．若，则的值为（

）A．0 B． C．1 D．【答案】C【解析】令，令x=1,令x=−1,，则.4．，则等于（

）A．180 B． C．45 D．【答案】C【解析】，展开式的通项为，令，解得，故.5．若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（

）A．6 B．10 C．55 D．63【答案】C【解析】因为，所以，所以若既能被7整除，则，故又，所以，所以若既能被9整除，则，故，对于A，若，则由可知无解，故A错误；对于B，若，则由可知无解，故B错误；对于C，若，则由和得，故C正确；对于D，若，则由可知无解，故D错误.6．（2024·四川·模拟预测）的展开式中的系数为（

）A．9 B．15 C．21 D．24【答案】C【解析】二项式的展开式的通项公式为.所以含的项为．故选：A．7．这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫作“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范，再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多排列和组合恒等式，如由等式可知，其左边的项的系数和右边的项的系数相等，得到如下恒等式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A，在展开式中，的系数为，，其中的系数为，∴，故A符合题意；对于B，由“算两次”的定义知，从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为，同时还可以分类考虑：第一类：取出个元素不包括元素甲，则所有排列的个数为，第二类：取出个元素包括元素甲，则先排元素甲，有m个位置，然后从其余n个元素中抽出个元素全排列，则所有的排列个数为，综上，从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为，∴，但是该等式不是由所给二项式得到，故B不符合题意；对于C，对于，由“算两次”的定义知，展开式中，的系数为，，其中的系数为，∴，故C不符合题意；对于D，由组合数的运算性质知，，当时，；当时，，故D不符合题意，故选：A．8．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如