2025年新高考数学一轮复习第2章第07讲函数与方程(十一大题型)(讲义)(学生版+解析)

第07讲函数与方程目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 202知识导图·思维引航 303考点突破·题型探究 4知识点1：函数的零点与方程的解 4知识点2：二分法 4解题方法总结 5题型一：求函数的零点或零点所在区间 5题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围 6题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题 7题型四：嵌套函数的零点问题 7题型五：函数的对称问题 9题型六：函数的零点问题之分段分析法模型 10题型七：唯一零点求值问题 10题型八：分段函数的零点问题 11题型九：零点嵌套问题 12题型十：等高线问题 13题型十一：二分法 1404真题练习·命题洞见 1505课本典例·高考素材 1606易错分析·答题模板 17易错点：不理解函数图象与方程根的联系 17答题模板：数形结合法解决零点问题 17

考点要求考题统计考情分析（1）零点存在性定理（2）二分法2024年II卷第6题，5分2024年天津卷第15题，5分2024年甲卷第14题，5分2023年天津卷第15题，5分2022年天津卷第15题，5分2021年天津卷第9题，5分2021年北京卷第15题，5分从近几年高考命题来看，高考对函数与方程也经常以不同的方式进行考查，比如：函数零点的个数问题、位置问题、近似解问题，以选择题、填空题、解答题等形式出现在试卷中的不同位置，且考查得较为灵活、深刻，值得广大师生关注．复习目标：（1）理解函数的零点与方程的解的联系.（2）理解函数零点存在定理，并能简单应用.（3）了解用二分法求方程的近似解．

知识点1：函数的零点与方程的解1、函数零点的概念对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.2、方程的根与函数零点的关系方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.3、零点存在性定理如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.【诊断自测】已知函数是定义在R上的偶函数且满足，当时，，则函数的零点个数为.知识点2：二分法1、二分法的概念对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.2、用二分法求函数零点近似值的步骤（1）确定区间，验证，给定精度.（2）求区间的中点.（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）~（4）步.用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.【诊断自测】用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（

）A．， B．，C．， D．，解题方法总结函数的零点相关技巧：①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.题型一：求函数的零点或零点所在区间【典例1-1】已知函数则函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例1-2】函数的一个零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【方法技巧】求函数零点的方法：（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.【变式1-1】定义在上的单调函数满足：，则方程的解所在区间是（

）A． B． C． D．【变式1-2】已知函数，，的零点分别为a，b，c，则．【变式1-3】（2024·高三·山西太原·期中）已知是函数的零点，则.【变式1-4】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，，则函数的零点是．【变式1-5】设是函数的一个零点，若且，则下列结论一定错误的是（

）A． B．C． D．题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围【典例2-1】（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【典例2-2】（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（

）A． B．或.C． D．或.【方法技巧】本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数的等量关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而解决.【变式2-1】（2024·山西阳泉·三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2-2】设函数在区间上存在零点，则的最小值为（

）A． B．e C． D．【变式2-3】若方程在区间上有解，其中，则实数的取值范围为．（结果用表示）题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围是．【典例3-2】设函数是定义在R上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（其中）恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围为.【方法技巧】方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.【变式3-1】（2024·河南·二模）已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有个.【变式3-2】已知函数的四个零点是以0为首项的等差数列，则.【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是．【变式3-4】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知关于的方程且有两个不等实根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型四：嵌套函数的零点问题【典例4-1】设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【典例4-2】（2024·高三·河南·期末）已知函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【方法技巧】2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功一定要扎实、过关.【变式4-1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式4-2】已知函数若方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式4-3】（2024·高三·上海·期中）已知函数，，下列四个结论中，正确的结论有（

）①方程有2个不同的实数解；②方程有2个不同的实数解；③方程有且只有1个实数解；④当时，方程有2个不同的实数解.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个题型五：函数的对称问题【典例5-1】已知函数，若的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例5-2】（2024·云南昭通·模拟预测）已知函数，若函数图象上存在点且图象上存在点，使得点和点关于坐标原点对称，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【方法技巧】转化为零点问题【变式5-1】（2024·四川内江·一模）已知函数，，，若与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式5-2】（2024·四川·三模）定义在R上的函数与的图象关于直线对称，且函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（

）A． B． C． D．【变式5-3】（2024·河北邯郸·二模）若直角坐标平面内两点满足条件：①点都在的图像上；②点关于原点对称，则对称点对是函数的一个“兄弟点对”（点对与可看作一个“兄弟点对”．已知函数，则的“兄弟点对”的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5题型六：函数的零点问题之分段分析法模型【典例6-1】（2024·黑龙江·高三大庆市东风中学校考期中）设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是A． B．C． D．【典例6-2】（2024·福建厦门·厦门外国语学校校考一模）若至少存在一个，使得方程成立．则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【方法技巧】分类讨论数学思想方法【变式6-1】设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式6-2】已知函数（其中为自然对数的底数）至少存在一个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．题型七：唯一零点求值问题【典例7-1】（2024·安徽芜湖·二模）在数列中，为其前n项和，首项，且函数的导函数有唯一零点，则=（

）A．26 B．63 C．57 D．25【典例7-2】（2024·贵州毕节·模拟预测）若函数有唯一零点，则实数（

）A．2 B． C．4 D．1【方法技巧】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.【变式7-1】在数列中，，且函数的导函数有唯一零点，则的值为（

）．A．1021 B．1022 C．1023 D．1024【变式7-2】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（

）A． B． C． D．【变式7-3】（2024·江西·二模）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（

）A．或 B．或 C． D．题型八：分段函数的零点问题【典例8-1】已知函数，若实数，则函数的零点个数为（

）A．0或1 B．1或2 C．1或3 D．2或3【典例8-2】（2024·北京西城·一模）设，函数若恰有一个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【方法技巧】已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.【变式8-1】已知函数若函数有3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式8-2】（2024·高三·北京通州·期末）已知函数（1）若，则的零点是.（2）若无零点，则实数的取值范围是.【变式8-3】（2024·山西·模拟预测）已知函数若函数有三个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式8-4】已知函数，令，则下列说法正确的（

）A．函数的单调递增区间为B．当时，有3个零点C．当时，的所有零点之和为D．当时，有1个零点题型九：零点嵌套问题【典例9-1】设定义在R上的函数满足有三个不同的零点且则的值是（

）A．81 B．-81 C．9 D．-9【典例9-2】若关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，其中，则的值为（

）A．-6 B．-4 C．-3 D．-2【方法技巧】解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.【变式9-1】已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（

）A．3 B．6 C．9 D．36【变式9-2】已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（

）A．3 B．4 C．9 D．16【变式9-3】（2024·四川成都·一模）已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型十：等高线问题【典例10-1】已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例10-2】已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，，，，且，则的最小值为（

）A． B．8 C． D．【方法技巧】数形结合数学思想方法【变式10-1】已知函数，若有四个不同的解且，则的取值范围是．【变式10-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（

）A． B．C． D．【变式10-3】（2024·陕西商洛·一模）已知函数，若关于的方程有3个实数解，且则的最小值是（

）A．8 B．11 C．13 D．16【变式10-4】（2024·陕西渭南·一模）已知，若存在实数（），当（）时，满足，则的取值范围为（

）A． B．C． D．题型十一：二分法【典例11-1】（2024·辽宁大连·一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程，选取初始值，在下面四个选项中最佳近似解为（

）A． B． C． D．【典例11-2】（2024·广东梅州·二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（

）A． B． C． D．【方法技巧】．5．（2023年天津高考数学真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为．1．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：x123456y136.13615.552-3.9210.88-52.488-232.064函数在哪几个区间内一定有零点？为什么？2．已知函数，求证：方程在内至少有两个实数解.3．利用信息技术，用二分法求函数的零点（精确度为0.1）.4．设函数，且，求证：函数在内至少有一个零点.5．有一道题“若函数在区间内恰有一个零点，求实数a的取值范围"，某同学给出了如下解答：由，解得.所以，实数a的取值范围是.上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答.易错点：不理解函数图象与方程根的联系易错分析：解题中有的同学不能将函数图象与方程的根联系起来，误认为证明的图象与轴相交于两个不同的点，从而着眼于证，使得无法解决．【易错题1】函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（

）A． B．或 C． D．或【易错题2】已知，若关于x的方程在上有解，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．答题模板：数形结合法解决零点问题1、模板解决思路求函数的零点个数就是求函数图象与轴的交点个数，因此只要作出函数图象即可．如果函数图象不易作出，可将函数转化为的结构，然后转化为与的图象交点个数的问题．2、模板解决步骤已知零点个数求参数第一步：将函数化为的形式，与一个含参，一个不含参．第二步：画出两个函数的图象．第三步：确定满足题意时含参函数的图象的移动范围，从而求出参数的取值范围．【典例1】函数有且只有一个零点，则m的取值范围是．【典例2】若函数有2个零点，则m的取值范围是．第07讲函数与方程目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 202知识导图·思维引航 303考点突破·题型探究 4知识点1：函数的零点与方程的解 4知识点2：二分法 5解题方法总结 6题型一：求函数的零点或零点所在区间 6题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围 9题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题 12题型四：嵌套函数的零点问题 17题型五：函数的对称问题 21题型六：函数的零点问题之分段分析法模型 24题型七：唯一零点求值问题 27题型八：分段函数的零点问题 30题型九：零点嵌套问题 34题型十：等高线问题 38题型十一：二分法 4304真题练习·命题洞见 4505课本典例·高考素材 5206易错分析·答题模板 54易错点：不理解函数图象与方程根的联系 54答题模板：数形结合法解决零点问题 56

考点要求考题统计考情分析（1）零点存在性定理（2）二分法2024年II卷第6题，5分2024年天津卷第15题，5分2024年甲卷第14题，5分2023年天津卷第15题，5分2022年天津卷第15题，5分2021年天津卷第9题，5分2021年北京卷第15题，5分从近几年高考命题来看，高考对函数与方程也经常以不同的方式进行考查，比如：函数零点的个数问题、位置问题、近似解问题，以选择题、填空题、解答题等形式出现在试卷中的不同位置，且考查得较为灵活、深刻，值得广大师生关注．复习目标：（1）理解函数的零点与方程的解的联系.（2）理解函数零点存在定理，并能简单应用.（3）了解用二分法求方程的近似解．

知识点1：函数的零点与方程的解1、函数零点的概念对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.2、方程的根与函数零点的关系方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.3、零点存在性定理如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.【诊断自测】已知函数是定义在R上的偶函数且满足，当时，，则函数的零点个数为.【答案】4【解析】因为函数是定义在R上的偶函数且满足，所以，所以，所以函数的周期为2.由可得，所以函数的零点个数转化为函数的图像与的图像交点个数，对于的定义域为，因为，所以为偶函数，所以画出和在轴右侧的图像如图所示，有2个交点，又和都是偶函数，所以轴左边也有2个交点，综上所述，的图像与的图像交点个数为4，即的零点个数为4.故答案为：4.知识点2：二分法1、二分法的概念对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.2、用二分法求函数零点近似值的步骤（1）确定区间，验证，给定精度.（2）求区间的中点.（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）~（4）步.用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.【诊断自测】用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】因为，由零点存在性知：零点，根据二分法，第二次应计算，即，解题方法总结函数的零点相关技巧：①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.题型一：求函数的零点或零点所在区间【典例1-1】已知函数则函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】当时，由，得或0（舍去）；当时，由解得或.故共有3个零点.故选：C.【典例1-2】函数的一个零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为的定义域为，且在内单调递增，可知在内单调递增，且，所以函数的唯一一个零点所在的区间是.故选：B.【方法技巧】求函数零点的方法：（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.【变式1-1】定义在上的单调函数满足：，则方程的解所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题设为定值，且，所以，则，易知，故，由，则，显然在第一象限有一个交点，又在上分别单调递增，单调递减，由，，，故方程解在上.故选：C【变式1-2】已知函数，，的零点分别为a，b，c，则．【答案】3【解析】如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，它们的图象与函数的交点的横坐标就是.因为，互为反函数，其图象关于直线对称，与垂直，所以.又，所以.所以.故答案为：3【变式1-3】（2024·高三·山西太原·期中）已知是函数的零点，则.【答案】【解析】由题可知，，所以，令,则单调递增，且,所以，所以，所以.故答案为：【变式1-4】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，，则函数的零点是．【答案】和和【解析】由于，故，令，则或或（舍去），又因为，所以或或，故函数的零点是和和，故答案为：和和【变式1-5】设是函数的一个零点，若且，则下列结论一定错误的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，定义域为，则，所以函数在区间上单调递增，又因为为的零点，所以，所以当，.对A：当，可知，所以，只有时，从而满足题意，故A不一定错误；对B：当，则，，从而满足题意，故B一定正确；对C：当，则，不满足题意，故C一定错误；对D：当，则，满足题意，故D一定正确；综上所述：故C正确.故选：C.题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围【典例2-1】（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数在上单调递增，由函数在内有零点，得，解得，即命题成立的充要条件是，显然成立，不等式、、都不一定成立，而成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立，所以命题成立的一个必要不充分条件是.故选：D【典例2-2】（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（

）A． B．或.C． D．或.【答案】C【解析】由函数，若，可得，令，即，解得，符合题意；若，令，即，可得，当时，即，解得，此时，解得，符合题意；当时，即且，则满足，解得且，若，可得，令，即，解得或，其中，符合题意；若，可得，令，即，解得或，其中，符合题意；综上可得，实数的取值范围为或.【方法技巧】本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数的等量关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而解决.【变式2-1】（2024·山西阳泉·三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，因为函数在区间存在零点，所以，即，解得，所以实数m的取值范围是.故选：B.【变式2-2】设函数在区间上存在零点，则的最小值为（

）A． B．e C． D．【答案】C【解析】设零点为t，则，因此，考虑函数，其导函数，因此函数在上单调递减，从而的最小值为．【变式2-3】若方程在区间上有解，其中，则实数的取值范围为．（结果用表示）【答案】【解析】因为方程，即在区间上有解，设函数，则函数的图象与直线在区间上有交点．因为，所以，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．当时，在区间上，，，则，解得．当时，因为，，．令，解得，又，所以，则，解得，综上，实数的取值范围为．故答案为：．题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围是．【答案】【解析】的图像经过四个象限，，且当，，令，在和上均至少存在一个实根．又,．实数的取值范围是．故答案为：．【典例3-2】设函数是定义在R上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（其中）恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围为.【答案】【解析】∵，则函数关于直线对称，又∵函数是定义在R上的奇函数，则，即，则，故函数是以4为周期的周期函数，又∵，即，故函数关于点对称，令，则，原题等价于与有3个交点，且的定义域为，如图所示，则可得，解得，故答案为：【方法技巧】方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.【变式3-1】（2024·河南·二模）已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有个.【答案】4【解析】函数是偶函数，说明函数的图象关于轴对称，说明的周期是2，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与的图象，如图所示：如图所示，共有4个不同的交点，即有4个零点.故答案为：4.【变式3-2】已知函数的四个零点是以0为首项的等差数列，则.【答案】或【解析】因为，所以，所以关于直线对称，令得或，由题意这两个方程各有两个根，且四个根是以0为首项的等差数列，①若0为的根，则另一个根为6，则，又关于直线对称，且四个根是以0为首项的等差数列，所以等差数列的公差为，所以的两根为，所以，所以，所以；②若0为的根，则另一个根为6，则即，又关于直线对称，且四个根是以0为首项的等差数列，所以等差数列的公差为，所以的两根为，所以，所以.综上，或.故答案为：或【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】令，得；设，则方程，即，易知，所以在上单调递增，在上单调递减，可得，易知当时，，当时，，且当趋近于时，趋近于0，当趋近于时，趋近于，作出的大致图象如图所示．数形结合可得，且方程在上有两个不同的实数根．解法一：由，得或．当时，，此时方程在上至多有一个实数根，不合题意，当时，设方程在上的两个实数根分别为，则，所以需，得，故实数的取值范围是．解法二：设方程的两个不同的实数根分别为，则，或，．①当，时，由，得，则在上有两个不同的实数根，即在上有两个不同的实数根，由，得或，与，矛盾．②当，时，若方程在上有两个不同的实数根，则，解得．故答案为：【变式3-4】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知关于的方程且有两个不等实根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】关于的方程且有两个不等实根，即关于的方程且有两个不等实根，即函数与且函数的图象有两个交点，由指数函数与对数函数的图象可知，当时，函数与且函数的图象有且只有1个交点，，联立，得.令，则，且在上单调递增，，即，即，令，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，则，又当时，，且，若要，则需要，画出大致图象如图所示，由图知，，解得.故选：A.题型四：嵌套函数的零点问题【典例4-1】设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】画出的图象如下图所示，由图可知要使有个解，则需，依题意，方程有6个不同的实数解，令，则有两个不相等的实数根，且，令，则，解得，所以实数a的取值范围为.故选：B【典例4-2】（2024·高三·河南·期末）已知函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由函数，可得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数，当时，，且，画出函数的图象，如图所示，令，要使得有三个不同的实数解，则有两个不同的实数根和，且或，若且时，此时无解；若且时，令，只需要，解得.故选：C.【方法技巧】2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功一定要扎实、过关.【变式4-1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，令，得，当时，，递增；当时，，递减；所以当时，取得极大值，图象如图所示：方程，即为，解得或，由函数的图象知：只有一个解，所以有两个解，所以，解得，故选：A【变式4-2】已知函数若方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的大致图象如图所示，令，则可化为，因为方程有5个不同的实数解，所以在上各有一个实数解或的一个解为，另一个解在内或的一个解为，另一个解在内.当在上各有一个实数解时，设，则解得；当的一个解为时，，此时方程的另一个解为，不在内，不满足题意；当的一个解为时，，此时方程有两个相等的根，不满足题意.综上可知，实数的取值范围为.故选：A【变式4-3】（2024·高三·上海·期中）已知函数，，下列四个结论中，正确的结论有（

）①方程有2个不同的实数解；②方程有2个不同的实数解；③方程有且只有1个实数解；④当时，方程有2个不同的实数解.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【解析】对于①，，则，又，所以，所以，所以，所以方程有2个不同的实数解，正确；对于②，，则，又，所以，无解，所以方程无解，错误；对于③，，则，又，所以，所以，所以，所以方程有且只有1个实数解，正确；对于④，，则，又，所以，所以当时，，方程无解，当时，，方程的解为，当时，方程的解为，所以当时，方程至多有2个不同的实数解，错误；故选：C题型五：函数的对称问题【典例5-1】已知函数，若的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数解析式可得，函数图象如下图示，如图，要使的图象上存在两个点关于原点对称，只需，即即可.故选：D【典例5-2】（2024·云南昭通·模拟预测）已知函数，若函数图象上存在点且图象上存在点，使得点和点关于坐标原点对称，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，则点在的图象上，，即.令，则，令，则，此时递增，令，则，此时递减，最小值为.故选：A.【方法技巧】转化为零点问题【变式5-1】（2024·四川内江·一模）已知函数，，，若与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于关于点的坐标之间的关系得函数关于对称的函数为，进而将问题转化为函数与函数图象在区间有交点，即方程在区间上有解，故，进而得.设是函数的图象上的任意一点，其关于对称的点的坐标为，所以，所以函数关于对称的函数为.由于与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，故函数与函数图象在区间有交点，所以方程在区间上有解，所以，即，所以.故选：C.【变式5-2】（2024·四川·三模）定义在R上的函数与的图象关于直线对称，且函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为为奇函数，所以，即，故的对称中心为，即，由于函数与的图象关于直线对称，且关于的对称点为，故的对称中心为.故选：D【变式5-3】（2024·河北邯郸·二模）若直角坐标平面内两点满足条件：①点都在的图像上；②点关于原点对称，则对称点对是函数的一个“兄弟点对”（点对与可看作一个“兄弟点对”．已知函数，则的“兄弟点对”的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】设，则点关于原点的对称点为，于是，，只需判断方程根的个数，即与图像的交点个数，因为，；，；，；作出两函数的图象，由图知，与的图象有5个交点，所以的“兄弟点对”的个数为5个．故选：D．题型六：函数的零点问题之分段分析法模型【典例6-1】（2024·黑龙江·高三大庆市东风中学校考期中）设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】C【解析】令,则，设，令，，则，发现函数在上都是单调递增，在上都是单调递减，故函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点需满足，即．应选答案D．【典例6-2】（2024·福建厦门·厦门外国语学校校考一模）若至少存在一个，使得方程成立．则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】原方程化简得:有解,令,,当时,,所以f(x)在单调递减,当x<e时,,所以f(x)在单调递增..所以.选B.【方法技巧】分类讨论数学思想方法【变式6-1】设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意得，函数至少存在一个零点，且，可构造函数和，因为，开口向上，对称轴为，所以为单调递减，为单调递增；而，则，由于，所以为单调递减，为单调递增；可知函数及均在处取最小值，所以在处取最小值，又因为函数至少存在一个零点，只需即可，即：解得：.【变式6-2】已知函数（其中为自然对数的底数）至少存在一个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，即令，则函数与函数的图象至少有一个交点易知，函数表示开口向上，对称轴为的二次函数，函数在上单调递增，在上单调递减，作出函数与函数的草图，如下图所示由图可知，要使得函数与函数的图象至少有一个交点只需，即解得：故选：B题型七：唯一零点求值问题【典例7-1】（2024·安徽芜湖·二模）在数列中，为其前n项和，首项，且函数的导函数有唯一零点，则=（

）A．26 B．63 C．57 D．25【答案】A【解析】因为，所以，由题意可知：有唯一零点.令，可知为偶函数且有唯一零点，则此零点只能为0，即，代入化简可得：，又，所以，，，，所以.故选：C【典例7-2】（2024·贵州毕节·模拟预测）若函数有唯一零点，则实数（

）A．2 B． C．4 D．1【答案】B【解析】由，得，即函数的图象关于对称，要使函数有唯一的零点，则，即，得．故选：A．【方法技巧】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.【变式7-1】在数列中，，且函数的导函数有唯一零点，则的值为（

）．A．1021 B．1022 C．1023 D．1024【答案】B【解析】由在上有唯一零点，而，所以为偶函数，则，故，且，所以是首项为4，公比为2的等比数列，则，则.故选：A【变式7-2】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知条件可知由函数奇偶性易知令，为偶函数.当时，，单调递增，当时，单调递减，仅有一个极小值点图象右移一个单位，所以仅在处有极小值，则函数只有一个零点，即，解得，故选：A【变式7-3】（2024·江西·二模）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（

）A．或 B．或 C． D．【答案】C【解析】已知，①且，分别是上的偶函数和奇函数，则，得：，②①+②得：∴令∵有唯一零点，且是偶函数，所以，∴∴或若时，则当时，则令解得，∴（不合题意舍去）若时，则∵在上单调递减∴∵是偶函数∴只有唯一零点0∴只有唯一零点2023综上：.题型八：分段函数的零点问题【典例8-1】已知函数，若实数，则函数的零点个数为（

）A．0或1 B．1或2 C．1或3 D．2或3【答案】C【解析】函数的零点个数即函数与的函数图象交点个数问题，画出的图象与，的图象，如下：故函数的零点个数为2或3.故选：D【典例8-2】（2024·北京西城·一模）设，函数若恰有一个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】画出函数的图象如下图所示：函数可由分段平移得到，易知当时，函数恰有一个零点，满足题意；当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点；当时，恰有一个零点，满足题意，即；综上可得的取值范围是.故选：D【方法技巧】已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.【变式8-1】已知函数若函数有3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】要使函数有三个零点，则有三个不相等的实根，即与的图象有三个交点，当时，在上单调递减，；当时，在上单调递增，；当时，在上单调递增，；由与的图象有三个交点，结合函数图象可得，故选：A.【变式8-2】（2024·高三·北京通州·期末）已知函数（1）若，则的零点是.（2）若无零点，则实数的取值范围是.【答案】【解析】（1）若，则，令可得，即的零点是（2）若无零点,则如图所示

当此时，应有，当如图所示，

此时应有，综上可得.【变式8-3】（2024·山西·模拟预测）已知函数若函数有三个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数当时，方程．可得．解得，函数有一个零点，则当时，函数有两个零点，即，在时有两个解．设，其开口向上，对称轴为：在上单调递减，在上单调递增，所以，且，解得．故选：C．【变式8-4】已知函数，令，则下列说法正确的（

）A．函数的单调递增区间为B．当时，有3个零点C．当时，的所有零点之和为D．当时，有1个零点【答案】C【解析】的图像如下：由图像可知，的增区间为，故A错误当时，如图当时，与有3个交点，当时，与有2个交点，当时，与有1个交点，所以当时与有3个交点或2个交点或1个交点，即有3个零点或2个零点或1个零点，故B不正确；当时，由可得，由可得所以的所有零点之和为，故C错误；当时，由B选项可知：与有1个交点，即有1个零点，故D正确；故选：D题型九：零点嵌套问题【典例9-1】设定义在R上的函数满足有三个不同的零点且则的值是（

）A．81 B．-81 C．9 D．-9【答案】B【解析】由有三个不同的零点知：有三个不同的实根，即有三个不同实根，若，则，整理得，若方程的两根为，∴，而，∴当时，即在上单调递减；当时，即在上单调递增；即当时有极小值为，又，有，即.∵方程最多只有两个不同根，∴，即，，∴.故选：A【典例9-2】若关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，其中，则的值为（

）A．-6 B．-4 C．-3 D．-2【答案】B【解析】依题意可知，由整理得①，即关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，令，则或，则①转化为，即，根据对勾函数的性质可知是方程的一个根，所以，所以，解得或，所以是方程的根，即的根，所以，所以.故选：A【方法技巧】解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.【变式9-1】已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（

）A．3 B．6 C．9 D．36【答案】C【解析】因为，所以，因为，所以有三个不同的零点，令，则，所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，令，则必有两个根、，不妨令、，且，，即必有一解，有两解、，且，故故选：D【变式9-2】已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（

）A．3 B．4 C．9 D．16【答案】A【解析】，，有三个不同的零点.令，在递增，在上递减，.时，.令，必有两个根，，且，有一解，有两解，且，故.故选：C【变式9-3】（2024·四川成都·一模）已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，得，整理得，令，原方程化为，设，则，令，解得，且，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，则在时，有最大值为，则当时，有一个解，当时，有两个解，当时，有一个解，当时，无解，因为原方程为，由题可知有三个零点，因此方程有两个不等实根、，设，则有，，若，则，故舍去，若，则，，有，即有，，代入得，矛盾，故舍去，若则，，，设，则，得到，所以.题型十：等高线问题【典例10-1】已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，所以如下图示，要使恰有四个不同的实数解，则，不妨设，由图知：，且，即，令，可得或，令，可得或，所以，而在上递减，故，综上，.故选：A【典例10-2】已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，，，，且，则的最小值为（

）A． B．8 C． D．【答案】C【解析】函数图像如图所示，，，，，由，∴，当且仅当时，等号成立，此时；，当且仅当时等号成立，此时.所以的最小值为.故选：D【方法技巧】数形结合数学思想方法【变式10-1】已知函数，若有四个不同的解且，则的取值范围是．【答案】【解析】根据对数函数与二次函数的性质作出函数图象，如图所示，易知，所以，则，而由二次函数对称性可知，，所以，根据对勾函数的性质可知，，所以.故答案为：.【变式10-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函数的图象开口向上，对称轴为直线，当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，方程的根是直线与函数图象交点的横坐标，方程有四个根，即直线与函数图象有4个交点，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，观察图象知，，，AD正确；显然，而，则，即，，，B正确；显然，，C错误.故选：C【变式10-3】（2024·陕西商洛·一模）已知函数，若关于的方程有3个实数解，且则的最小值是（

）A．8 B．11 C．13 D．16【答案】A【解析】由函数，作出函数的大致图象，如图所示，由图可知，则，因为，所以，设函数，则，当时，；当时，，所以，即的最小值是.故选：C.【变式10-4】（2024·陕西渭南·一模）已知，若存在实数（），当（）时，满足，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】作出的图象如图，由题，，，所以，令（），则当时，；当时，.，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以，且，所以的取值范围为.题型十一：二分法【典例11-1】（2024·辽宁大连·一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程，选取初始值，在下面四个选项中最佳近似解为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，则，令，即，可得，迭代关系为，取，则，，【典例11-2】（2024·广东梅州·二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，因为函数在上都是增函数，所以函数在上是增函数，，所以函数在区间上有唯一零点，所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.故选：B.【方法技巧】所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.【变式11-1】以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】根据二分法的思想，函数在区间上的图象连续不断，且，即函数的零点是变号零点，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值．对各选项的函数图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点．故选：C.【变式11-2】用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】因为开区间的长度等于1，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，所以经过次操作后，区间长度变为，令，解得，且，故所需二分区间的次数最少为7.故选：C.【变式11-3】一块电路板的线段之间有个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（）A．次 B．次C．次 D．次【答案】B【解析】利用二分法检测，每次取中点，焊接点数减半，不妨设需要次检测，则，即，因为，故的最小值为，即至少需要检测次.故选：B.1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】解法一：令，即，可得，令，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得，若，令，可得因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，所以符合题意；综上所述：.解法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为，则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意；2．（2024年天津高考数学真题）若函数恰有一个零点，则的取值范围为．【答案】【解析】令，即，由题可得，当时，，有，则，不符合要求，舍去；当时，则，即函数与函数有唯一交点，由，可得或，当时，则，则，即，整理得，当时，即，即，当，或（正值舍去），当时，或，有两解，舍去，即当时，在时有唯一解，则当时，在时需无解，当，且时，由函数关于对称，令，可得或，且函数在上单调递减，在上单调递增，令，即，故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得，由的渐近线方程为，即部分的渐近线方程为，其斜率为，又，即在时的斜率，令，可得或（舍去），且函数在上单调递增，故有，解得，故符合要求；当时，则，即函数与函数有唯一交点，由，可得或，当时，则，则，即，整理得