2025年新高考数学一轮复习第7章第04讲直线、平面垂直的判定与性质(七大题型)(练习)(学生版+解析)

第04讲直线、平面垂直的判定与性质目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：垂直性质的简单判定 2题型二：证明线线垂直 2题型三：证明线面垂直 4题型四：证明面面垂直 5题型五：面面垂直的性质定理 7题型六：垂直关系的综合应用 8题型七：鳖臑几何体中的垂直 1102重难创新练 1303真题实战练 19题型一：垂直性质的简单判定1．设、是两个平面，、是两条直线，且．下列四个命题：①若，则或

②若，则，③若，且，则

④若与和所成的角相等，则其中所有真命题的编号是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④2．（2024·四川成都·三模）已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，，则3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题为真命题的是（

）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．，，，则题型二：证明线线垂直4．（2024·四川宜宾·三模）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，点E为线段的中点，点F在线段AB上，且．(1)求证：；(2)求三棱锥的体积．5．（2024·福建龙岩·三模）如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD.

证明：；6．如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，．证明：；7．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图1，在平面四边形中，，，垂足为，将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示.

(1)设平面与平面的交线为，证明：.题型三：证明线面垂直8．如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点，求证：EF⊥平面PBC；9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面．求证：平面；10．（2024·全国·模拟预测）如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是的中点.

(1)求该圆柱体的体积；(2)证明：平面；11．（2024·宁夏银川·一模）如图，在四棱锥中，已知是的中点.(1)证明：平面；(2)若，点是的中点，求点到平面的距离.题型四：证明面面垂直12．（2024·四川资阳·二模）如图，在四面体ABCD中，，，E，F分别为AB，AC的中点.(1)证明：平面平面BCD；(2)求点A到平面BDF的距离.13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，．

(1)证明：平面平面；(2)若，，为中点，求三棱锥的体积．14．（2024·广西·模拟预测）在长方体中，点E，F分别在，上，且，．求证：平面平面AEF；15．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，为边上的点，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且三棱柱的体积为.证明：平面平面；题型五：面面垂直的性质定理16．如图，在四边形中，是边长为2的正三角形，.现将沿边折起，使得平面平面，点是的中点.求证：平面；17．（2024·四川成都·模拟预测）如图所示，斜三棱柱的各棱长均为，侧棱与底面所成角为，且侧面底面．

证明：点在平面上的射影为的中点；18．如图1，在矩形中，点在边上，，将沿进行翻折，翻折后点到达点位置，且满足平面平面，如图2．(1)若点在棱上，平面，求证：；(2)求点到平面的距离．19．（2024·甘肃张掖·模拟预测）在三棱柱中，侧面平面，，侧面为菱形，且为中点．证明：平面；题型六：垂直关系的综合应用20．如图，在直三棱柱：中，，，是的中点，在上，为中点.

(1)求证：平面；(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使平面？并证明你的结论.①为的中点；②；③.21．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为的中点．(1)求证：；(2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使？请证明你的结论．22．已知正方体的棱长为，分别是的中点．(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由；(3)求到平面的距离．23．（2024·江西赣州·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.

(1)证明：平面；(2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.24．（2024·高三·山西大同·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别为棱的中点，平面与平面交于直线.(1)求证：；(2)若与底面所成角为，当满足什么条件时，平面.题型七：鳖臑几何体中的垂直25．（2024·全国·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，是上一点，，，，将沿着翻折，使运动到点处，得到四棱锥．证明：；26．国家主席习近平指出：中国优秀传统文化有着丰富的哲学思想、人文精神、教化思想、道德理念等，可以为人们认识和改造世界提供有益启迪.我们要善于把弘扬优秀传统文化和发展现实文化有机统一起来，在继承中发展，在发展中继承.《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方,得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.刘徽注解为：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云”.鳖臑，是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称.在四面体中，PA⊥平面ACB.(1)如图1，若D、E分别是PC、PB边的的中点，求证：DE平面ABC；(2)如图2，若，垂足为C，且，求直线PB与平面APC所成角的大小；(3)如图2，若平面APC⊥平面BPC，求证：四面体为鳖臑.27．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中，侧棱底面ABCD，且，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.

证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；28．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接.

证明：平面；1．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下面结论中错误的是（

）A．B．平面C．平面平面D．平面2．（2024·江西景德镇·三模）已知，是空间内两条不同的直线，，，是空间内三个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则或3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线，和平面，，，，则的必要不充分条件是（

）A． B． C． D．4．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在正方体中，M是棱上一点，平面与棱交于点N.给出下面几个结论，其中所有正确的结论是（

）①四边形是平行四边形；②四边形可能是正方形；③存在平面与直线垂直；④任意平面都与平面垂直.

A．①② B．③④ C．①④ D．①②④5．（2024·重庆·模拟预测）已知两条直线m，n和三个平面α，β，γ，下列命题正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，，则6．（2024·江苏常州·模拟预测）已知，为异面直线，直线与，都垂直，则下列说法不正确的是（

）A．若平面，则，B．存在平面，使得，，C．有且只有一对互相平行的平面和，其中，D．至少存在两对互相垂直的平面和，其中，7．（2024·广东·一模）已知点分别在平面的两侧，四棱锥与四棱锥的所有侧棱长均为2，则下列结论正确的是（

）A．四边形可能是的菱形B．四边形一定是正方形C．四边形不可能是直角梯形D．平面不一定与平面垂直8．（2024·全国·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》将两底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，已知直三棱柱是堑堵，其中，则下列说法中不一定正确的是（

）A．平面 B．平面平面C． D．为锐角三角形9．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）如图，在三棱锥的平面展开图中，，分别是，的中点，正方形的边长为2，则在三棱锥中（

）A．的面积为 B．C．平面平面 D．三棱锥的体积为10．（多选题）（2024·江苏·二模）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的有（

）A．若，，，则B．，，，则C．若，，，则D．若，，，则11．（多选题）（2024·山西吕梁·二模）如图，在平行六面体中，底面是正方形，为与的交点，则下列条件中能成为“”的必要条件有（

）

A．四边形是矩形B．平面平面C．平面平面D．直线所成的角与直线所成的角相等12．（2024·陕西·三模）如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于的一点，则下面结论中正确的序号是．（填序号）①；②；③平面；④平面平面．13．（2024·黑龙江·模拟预测）已知矩形，其中，，点D沿着对角线进行翻折，形成三棱锥，如图所示，则下列说法正确的是（填写序号即可）．①点D在翻折过程中存在的情况；②三棱锥可以四个面都是直角三角形；③点D在翻折过程中，三棱锥的表面积不变；④点D在翻折过程中，三棱锥的外接球的体积不变．14．如图，在平行四边形中，，，且交于点，现沿折痕将折起，直至折起后的，此时的面积为．15．（2024·四川·一模）如图，在矩形中，，，点为线段的中点，沿直线将翻折，点运动到点的位置．当平面平面时，三棱锥的体积为．16．（2024·广东·二模）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面．(1)证明：；(2)求点到平面的距离．17．（2024·河南郑州·二模）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点．(1)证明：平面；(2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论．18．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱柱中，平面和平面均垂直于平面．(1)求证：平面平面；(2)若为的中点，底面是正方形，，求三棱锥的体积．19．（2024·四川成都·三模）如图，在三棱台中，在边上，平面平面，，，，，.(1)证明：；(2)若的面积为，求三棱锥的体积.1．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知正方体，则（

）A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．(1)证明：；3．（2023年北京高考数学真题）如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；4．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；(2)设，求四棱锥的高．5．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.

(1)证明：平面；(2)证明：平面平面BEF；6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．(1)证明：；7．（2022年新高考浙江数学高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．(1)证明：；8．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）如图，四面体中，，E为AC的中点．(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．，所以，9．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在四棱锥中，底面．(1)证明：；10．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，四面体中，，E为的中点．(1)证明：平面平面；11．（2021年全国新高考II卷数学试题）在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：；14．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且PB⊥AM．（1）证明：平面PAM⊥平面；（2）若PD=DC=1，求四棱锥的体积．15．（2021年全国新高考I卷数学试题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.第04讲直线、平面垂直的判定与性质目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：垂直性质的简单判定 2题型二：证明线线垂直 4题型三：证明线面垂直 6题型四：证明面面垂直 9题型五：面面垂直的性质定理 12题型六：垂直关系的综合应用 15题型七：鳖臑几何体中的垂直 2102重难创新练 2503真题实战练 41题型一：垂直性质的简单判定1．设、是两个平面，、是两条直线，且．下列四个命题：①若，则或

②若，则，③若，且，则

④若与和所成的角相等，则其中所有真命题的编号是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④【答案】A【解析】对于①：若，因为，，则，若，因为，，则，若不在也不在内，因为，，，所以且，故①正确；对于②：若，则与，不一定垂直，也有可能相交但不垂直，故②错误；对于③：过直线分别作平面，与，分别相交于直线，直线，因为，过直线的平面与平面相交于直线，所以，同理可得，所以，因为，，则，因为，，则，又因为，则，故③正确；对于④：与和所成的角相等，则和不一定垂直，比如：正方体中，平面平面，与平面所成角为，与平面所成角为，又，所以，但与不垂直，故④错误；综上只有①③正确．故选：A．2．（2024·四川成都·三模）已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，，则【答案】B【解析】对于A，若，，则平行、相交或异面；对于B，若，则存在，使得，又因为，，而，所以，故B正确；对于C，若，，则或，故C错误；对于D，若，，，且如果不在内，则不会有，故D错误.故选：B.3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题为真命题的是（

）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．，，，则【答案】C【解析】A：若，则与可能相交，可能平行，故A错误；B：若，则与可能相交，可能平行，故B错误；C：若，由线面垂直的性质知，故C正确；D：若，则与可能相交，可能平行，故D错误.故选：C题型二：证明线线垂直4．（2024·四川宜宾·三模）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，点E为线段的中点，点F在线段AB上，且．(1)求证：；(2)求三棱锥的体积．【解析】（1）证明：在正方形中，，又，∴在中，点E为线段PC的中点，，DE平分，在中，，过E作交CD于H，连接FH，则，在正方形中，，∴四边形AFHD是矩形，∴，又，，平面，∴平面，又平面，∴．（2）法一：在中，∵，，∴，在正方形中，，而，CD，平面，∴平面，平面，∴平面平面，平面平面，过P作交CD于Q，∴平面，∵，∴，，，法二：在中，∵，，∴，在正方形中，，而，CD，平面，∴平面，，．5．（2024·福建龙岩·三模）如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD.

证明：；【解析】在四棱台中，延长后必交于一点，故四点共面，因为平面，平面，故，连接，因为底面四边形为菱形，故，平面，故平面，因为平面，所以.6．如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，．证明：；【解析】侧面是边长为2的正方形，，，，侧面是平行四边形，，在中，由余弦定理有，解得，是直角三角形，，，，平面，平面，又平面，；7．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图1，在平面四边形中，，，垂足为，将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示.

(1)设平面与平面的交线为，证明：.【解析】由题意可知.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面平面，所以平面，则.题型三：证明线面垂直8．如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点，求证：EF⊥平面PBC；【解析】证明：因为平面ABC，平面。所以，因为是的直径，知，因为，且平面，所以平面，由分别是的中点，所以，所以平面．9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面．求证：平面；【解析】因为平面，面，所以，又，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，又易知与相交，面，所以平面.10．（2024·全国·模拟预测）如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是的中点.

(1)求该圆柱体的体积；(2)证明：平面；【解析】（1）由已知可得圆柱的底面半径，高，

故该圆柱体体积为.（2）∵是弧中点，∴由题可知平面，且平面，∴又因为，平面，平面所以平面.11．（2024·宁夏银川·一模）如图，在四棱锥中，已知是的中点.(1)证明：平面；(2)若，点是的中点，求点到平面的距离.【解析】（1）是的中点，连接，，，在和中，，，平面，平面.（2）因为是的中点，所以点到平面的距离就是点到平面的距离的一半，设点到平面的距离为，因为，所以，故，设点为的中点，则，所以，，因为，所以，故，所以点到平面的距离为.题型四：证明面面垂直12．（2024·四川资阳·二模）如图，在四面体ABCD中，，，E，F分别为AB，AC的中点.(1)证明：平面平面BCD；(2)求点A到平面BDF的距离.【解析】（1）取CD的中点O，连接OA，OB，因为，，所以，且，又，，，，所以，可得，又，平面，所以平面BCD，又平面ACD，所以平面平面BCD；（2）因为，所以由（1）可得，，，，又F为AC的中点，所以，在△BDF中，，，，则，所以，则.设点A到平面BDF的距离为d，则，解得，即点A到平面BDF的距离为.13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，．

(1)证明：平面平面；(2)若，，为中点，求三棱锥的体积．【解析】（1）在中，由余弦定理得．由，得，而，，则，又平面EDB，因此平面EDB，而平面ABCD，所以平面平面ABCD．（2）由F是EC中点，得．由（1）知平面EDB，平面EDB，则，而，平面ABCD，则平面ABCD，因此．即，所以三棱锥的体积为．14．（2024·广西·模拟预测）在长方体中，点E，F分别在，上，且，．求证：平面平面AEF；【解析】为长方体

平面平面∴

又，且，平面，平面平面AEF

平面平面15．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，为边上的点，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且三棱柱的体积为.证明：平面平面；【解析】证明：由，，为正三角形.设的中点为，连接，则，则.易知，，所以.所以，，，故平面，平面，所以.又易知中，，，又平面，所以平面.又平面，所以平面平面.题型五：面面垂直的性质定理16．如图，在四边形中，是边长为2的正三角形，.现将沿边折起，使得平面平面，点是的中点.求证：平面；【解析】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为为中点，为正三角形，所以，又因为平面，，所以平面.17．（2024·四川成都·模拟预测）如图所示，斜三棱柱的各棱长均为，侧棱与底面所成角为，且侧面底面．

证明：点在平面上的射影为的中点；【解析】过作于，由平面平面，平面平面，平面，，得平面，因此，又，从而为等边三角形，为中点．18．如图1，在矩形中，点在边上，，将沿进行翻折，翻折后点到达点位置，且满足平面平面，如图2．(1)若点在棱上，平面，求证：；(2)求点到平面的距离．【解析】（1）因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以平面平面，平面，所以.（2）取的中点，连接，依题意，所以且，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，连接、，则，所以，又，，，，所以，又平面，平面，所以，所以，则，则，所以，设点到平面的距离为，则，解得，即点到平面的距离为.19．（2024·甘肃张掖·模拟预测）在三棱柱中，侧面平面，，侧面为菱形，且为中点．证明：平面；【解析】（根据题意，即，又侧面平面，面平面，平面，所以面，而面，所以，侧面为菱形，为中点，所以，平面，所以平面；题型六：垂直关系的综合应用20．如图，在直三棱柱：中，，，是的中点，在上，为中点.

(1)求证：平面；(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使平面？并证明你的结论.①为的中点；②；③.【解析】（1）连接，由于是的中点，为中点，则且，故四边形为平行四边形，所以，又平面,平面，故平面，（2）若选①②，由于，则,故四边形为矩形，此时与不垂直，为的中点，为的中点，故，故与不垂直，因此不可能得到平面若选②③由于，，所以,由于三棱柱为直三棱柱，所以,此时不可能满足，，，故无法得到平面选①③能证明平面连接，，，在中，，，则，又，则，又，，由于平面平面，且两平面的交线为，平面所以平面，平面，，又平面，平面．21．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为的中点．(1)求证：；(2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使？请证明你的结论．【解析】（1）连接，四边形为菱形，，又，为等边三角形，为中点，；，为中点，，又，平面，平面，平面，.（2）当为中点时，，证明如下：分别为中点，，又平面，平面，平面；分别为中点，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面，又，平面，平面平面，由（1）知：平面，平面，平面，.22．已知正方体的棱长为，分别是的中点．(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由；(3)求到平面的距离．【解析】（1）连接，，，四边形为平行四边形，；分别为中点，，，平面，平面，平面.（2）取中点为，，，，，又，，，又，，则，，平面，平面，此时，则线段上存在点，为中点，使得平面，此时.（3）平面，到平面的距离即为点到平面的距离，由（2）知：当为中点时，平面，则点到平面的距离即为，又，直线到平面的距离为.23．（2024·江西赣州·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.

(1)证明：平面；(2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【解析】（1）证明：取的中点，连接、、，因为且，故四边形为平行四边形，所以，且，因为为的中点，则且，因为、分别为、的中点，所以，且，所以，且，故四边形为平行四边形，所以，，因为平面，平面，所以，平面，因为、分别为、的中点，所以，，因为平面，平面，所以，平面，因为，、平面，所以，平面平面，因为平面，故平面.（2）当点为的中点时，平面平面，因为四边形为矩形，则，因为，则，因为四边形为菱形，则，因为，则为等边三角形，因为为的中点，所以，，因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，平面平面，因此，当点为的中点时，平面平面.24．（2024·高三·山西大同·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别为棱的中点，平面与平面交于直线.(1)求证：；(2)若与底面所成角为，当满足什么条件时，平面.【解析】（1）证明：取的中点，连接，分别为的中点，，为的中点，且为矩形，，，四边形为平行四边形，，平面平面，平面，又平面，平面平面，.（2）底面，为与底面所成角，当时，由（1）有，，且，平面，平面，因为平面，，，面，面，由（1）有，平面.题型七：鳖臑几何体中的垂直25．（2024·全国·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，是上一点，，，，将沿着翻折，使运动到点处，得到四棱锥．证明：；【解析】（依题意得，，因为，，所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为菱形，如图，取的中点，连接，，由，得，，又，且，平面，所以平面，因为平面，所以．26．国家主席习近平指出：中国优秀传统文化有着丰富的哲学思想、人文精神、教化思想、道德理念等，可以为人们认识和改造世界提供有益启迪.我们要善于把弘扬优秀传统文化和发展现实文化有机统一起来，在继承中发展，在发展中继承.《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方,得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.刘徽注解为：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云”.鳖臑，是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称.在四面体中，PA⊥平面ACB.(1)如图1，若D、E分别是PC、PB边的的中点，求证：DE平面ABC；(2)如图2，若，垂足为C，且，求直线PB与平面APC所成角的大小；(3)如图2，若平面APC⊥平面BPC，求证：四面体为鳖臑.【解析】（1）由D、E分别是PC、PB边的的中点，可得，又平面ABC，平面ABC则DE平面ABC（2）由PA⊥平面ACB，平面ABC，可得又，,平面APC，平面APC则平面APC，则为直线PB与平面APC所成角.又，可得则中，，，则则直线PB与平面APC所成角为（3）在中，过点A作于G，又平面APC⊥平面BPC，平面APC平面BPC则平面BPC，又平面PBC，则，由PA⊥平面ACB，平面ABC，可得又，平面APC，平面APC则平面APC，又平面APC，平面APC则,，则为直角三角形又为直角三角形，则四面体为鳖臑.27．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中，侧棱底面ABCD，且，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.

证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；【解析】因为底面，平面所以，因为为长方形，所以，因为，平面所以平面，因为平面，所以，因为，点E是PC的中点，所以，因为，平面，所以平面，由平面PCD，平面PBC，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是，，，；28．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接.

证明：平面；【解析】因为底面，底面，所以，由底面为长方形，有，而，，面，所以平面，而平面，所以，又因为，点是的中点，所以，而，，面，所以平面，而平面，所以.又，，，面，所以平面.1．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下面结论中错误的是（

）A．B．平面C．平面平面D．平面【答案】D【解析】因为四边形是圆柱的轴截面，则线段是直径，都是母线．又是底面圆周上异于的一点，于是得.而平面，平面，则.因为，平面，则平面，因为平面，因此得，A正确；因为,平面，平面，所以平面，B正确；因为平面，而平面，所以平面平面，C正确．点不在底面内，而直线在底面内，即是两条不同直线，若平面，因平面，则，与矛盾，D不正确；故选：D.2．（2024·江西景德镇·三模）已知，是空间内两条不同的直线，，，是空间内三个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则或【答案】C【解析】对于A，由，，设，当时，可得，故A错误；对于B，由，可得或，故B错误；对于C，如图，设，，在平面作不与重合的直线，使，因，则，因，，则，因，则，于是，故C正确；对于D，当，，时，若且，则可以和平面成任意角度，故D错误.故选：C.3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线，和平面，，，，则的必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，当时，由线面垂直的性质定理可知；只有当且时才能得到.所以的必要不充分条件是.故选：.4．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在正方体中，M是棱上一点，平面与棱交于点N.给出下面几个结论，其中所有正确的结论是（

）①四边形是平行四边形；②四边形可能是正方形；③存在平面与直线垂直；④任意平面都与平面垂直.

A．①② B．③④ C．①④ D．①②④【答案】C【解析】对于①，因为平面与棱交于点，所以四点共面，在正方体中，由平面平面，又平面平面，平面平面，所以，同理可得，故四边形一定是平行四边形，故①正确对于②，在正方体中，面，因为面，所以，若是正方形，有，，若不重合，则与矛盾，若重合，则不成立，故②错误；对于③，因为平面，，若直线与平面垂直，则直线，显然矛盾，所以平面与直线不可能垂直，故③错误对于④，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理：，又平面，平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面，故④正确.综上所述，正确的有①④.故选：C.5．（2024·重庆·模拟预测）已知两条直线m，n和三个平面α，β，γ，下列命题正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，，则【答案】C【解析】对于A，当，时，两平面α，β可能平行可能相交，所以A错误；对于B，，，两平面β，γ可能平行可能相交，所以B错误；对于C，当，，时，设，，在γ取一点O，过O分别作于B，于C，则，，因为，所以，，所以，，因为，，所以，所以C正确；对于D，当，，，时，可得或，所以D错误.故选：C.6．（2024·江苏常州·模拟预测）已知，为异面直线，直线与，都垂直，则下列说法不正确的是（

）A．若平面，则，B．存在平面，使得，，C．有且只有一对互相平行的平面和，其中，D．至少存在两对互相垂直的平面和，其中，【答案】A【解析】对于A，如下图所示，在正方体中取为，为，为，平面为平面，则，，故A错误；对于B，在正方体中取为，为，为，平面为平面，此时，，，故B正确；对于C，由线面垂直的判定可知，，，过直线且与垂直的平面只有一个，过直线且与垂直的平面只有一个，则有且只有一对互相平行的平面和，其中，，故C正确；对于D，在正方体中取为，为，为，此时平面平面，平面平面，即至少存在两对互相垂直的平面和，其中，，故D正确；故选：A.7．（2024·广东·一模）已知点分别在平面的两侧，四棱锥与四棱锥的所有侧棱长均为2，则下列结论正确的是（

）A．四边形可能是的菱形B．四边形一定是正方形C．四边形不可能是直角梯形D．平面不一定与平面垂直【答案】C【解析】因为四棱锥与四棱锥的所有侧棱长均为2，可得点在底面上的投影都是四边形的外心，所以两射影重合，即有面，且四边形有外接圆，对于选项A，当四边形是的菱形时，此时四边形没有有外接圆，所以选项A错误，对于选项B，当四边形是矩形时，显然满足题意，所以选项B错误，对于选项C，因为直角梯形没有外接圆，一定不合题意，所以选项C正确，对于选项D，因为面，又面，所以平面，所以选项D错误，故选：C.8．（2024·全国·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》将两底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，已知直三棱柱是堑堵，其中，则下列说法中不一定正确的是（

）A．平面 B．平面平面C． D．为锐角三角形【答案】C【解析】选项A：易知，又平面平面，所以平面，故A正确．选项B：因为，所以，又，平面,所以平面，而平面，所以平面平面，故B正确．选项C：设的中点分别为，连接，则为异面直线与所成的角或其补角，，．假设，则，即，化简可得，故只有当时，所以C不一定正确．选项D：设，则，所以为锐角．同理可得均为锐角，故D正确．故选：C9．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）如图，在三棱锥的平面展开图中，，分别是，的中点，正方形的边长为2，则在三棱锥中（

）A．的面积为 B．C．平面平面 D．三棱锥的体积为【答案】ABD【解析】对于A，易知，故A正确；对于B，连接交于G，根据正方形的性质易知，所以有，又平面，所以平面，平面，所以，故B正确；对于C，由上可知为平面与平面的夹角，易知，则不垂直，故C错误；对于D，由题意可知两两垂直，则，故D正确.故选：ABD10．（多选题）（2024·江苏·二模）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的有（

）A．若，，，则B．，，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】BCD【解析】A.若，，，不能推出或，则不能推出，故A错误；B.若，，则，又，所以，故B正确；C.若，，则，又，所以，故C正确；D.若，，，说明与和垂直的法向量互相垂直，则，故D正确.故选：BCD11．（多选题）（2024·山西吕梁·二模）如图，在平行六面体中，底面是正方形，为与的交点，则下列条件中能成为“”的必要条件有（

）

A．四边形是矩形B．平面平面C．平面平面D．直线所成的角与直线所成的角相等【答案】ACD【解析】要成为“”的必要条件，则该条件可由“”推出，对于A，因为在平行六面体中，，所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为矩形，故A正确；对于B，假设平面平面，由选项A，可知四边形为矩形，则，又平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，与四边形为正方形矛盾，故B错误；对于C，因为四边形是正方形，所以，因为，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故C正确；对于D，因为四边形为矩形，为的中点，易得，又正方形中，是公共边，所以，则，又，所以分别为直线所成的角与直线，所成的角（或其补角），则直线所成的角与直线所成的角相等，故D正确.故选：ACD.12．（2024·陕西·三模）如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于的一点，则下面结论中正确的序号是．（填序号）①；②；③平面；④平面平面．【答案】①②④【解析】因为四边形是圆柱的轴截面，则线段是底面圆的直径，都是母线．又是底面圆周上异于的一点，于是得，而平面，平面，则．因为平面，则平面，因为平面，所以，①正确：同理可证，②正确：点不在底面内，而直线在底面内，即是两条不同直线，若平面，因平面，与过一点有且只有一条直线垂直于已知平面矛盾，③不正确；因为平面，而平面，于是得平面平面，④正确．故答案为：①②④13．（2024·黑龙江·模拟预测）已知矩形，其中，，点D沿着对角线进行翻折，形成三棱锥，如图所示，则下列说法正确的是（填写序号即可）．①点D在翻折过程中存在的情况；②三棱锥可以四个面都是直角三角形；③点D在翻折过程中，三棱锥的表面积不变；④点D在翻折过程中，三棱锥的外接球的体积不变．【答案】②④【解析】对于①：如图所示，过点B作的垂线，垂足为E，连接，若成立，由，与都在平面内且相交，则面，则，又因为，所以在原矩形中，，因为矩形的长宽不等，所以显然不可能，①错误；对于②：当面面时，，，此时四个面都是直角三角形，②正确；对于③：由于在翻折过程中与都为锐角，且逐渐变小，所以变小，同理也同时变小，而另两个三角形和为矩形面积，③错误；对于④：由于，都为直角三角形，所以外接球的球心就是中点，点D在翻折过程中，其外接球的直径始终为，④正确.故答案为：②④14．如图，在平行四边形中，，，且交于点，现沿折痕将折起，直至折起后的，此时的面积为．【答案】【解析】如图所示，折起前，，所以，在直角中，可得，又由，因为，又因为，则，由，所以，因为，平面，则平面，又因为平面，则平面平面，分别过点作的垂线，垂足分别为点，则，因为平面平面，且平面，所以平面，又因为平面，所以由，可得，所以，在中，可得，因为，所以，所以．故答案为：.15．（2024·四川·一模）如图，在矩形中，，，点为线段的中点，沿直线将翻折，点运动到点的位置．当平面平面时，三棱锥的体积为．【答案】/【解析】如图，取的中点，连接交于点，连接．易知四边形为正方形，则，由翻折前后的不变性可知，，当平面平面时，又平面平面，平面，所以平面．由题意可知，，，所以．故答案为：16．（2024·广东·二模）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面．(1)证明：；(2)求点到平面的距离．【解析】（1）连接，由四边形为菱形，得，由，得，又平面平面，平面平面，面ABC，则平面，又平面，于是，而，则，又，平面，因此平面，又平面，所以（2）点到平面的距离，即三棱锥的底面上的高，由（1）知平面，则三棱锥的底面上的高为，设点到平面的距离为d，由，得，而，，则的面积，由，，得，又，，则，又，，由余弦定理得，则，的面积，则，即，所以点到平面的距离为.17．（2024·河南郑州·二模）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点．(1)证明：平面；(2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论．【解析】（1）取的中点，的中点，连接，，，则有，，，所以，则与共面，又平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以平面，又，平面，平面平面，又平面，∴平面；（2）连接，不妨设，则，所以，∵三棱柱的侧棱垂直于底面，∴平面平面，∵，∴，又点是的中点，所以，又平面平面，平面，∴平面，平面，∴，要使平面，只需即可，又∵，∴，即，∴（负值舍去），即时，平面.18．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱柱中，平面和平面均垂直于平面．(1)求证：平面平面；(2)若为的中点，底面是正方形，，求三棱锥的体积．【解析】（1）在平面内，过点分别作于点，于点，因为平面平面，平面平面，又平面，所以平面，又平面，所以．同理可得，因为，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）由已知得四棱柱，为正四棱柱，连接，所以，，，所以，所以．同理可得，且，平面，所以平面．因为，所以，所以三棱锥的体积为．19．（2024·四川成都·三模）如图，在三棱台中，在边上，平面平面，，，，，.(1)证明：；(2)若的面积为，求三棱锥的体积.【解析】（1）在中，，，，由余弦定理得，则，即，而平面平面，平面平面，平面，于是平面，又平面，则，又，，平面，平面，因此平面，而平面，则，又，所以.（2）在中，，，，则，，由，解得，由，得，因此，所以三棱锥的体积是.1．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知正方体，则（

）A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为【答案】ABD【解析】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，又平面，所以，故B正确；连接，设，连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，则，，，所以，直线与平面所成的角为，故C错误；因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.故选：ABD2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．(1)证明：；【解析】（1）由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，则，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；3．（2023年北京高考数学真题）如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；【解析】（1）因为平面平面，所以，同理，所以为直角三角形，又因为，，所以，则为直角三角形，故，又因为，，所以平面.4．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；(2)设，求四棱锥的高．【解析】（1）证明：因为平面，平面,所以,又因为，即，平面，,所以平面，又因为平面,所以平面平面.（2）如图，过点作，垂足为.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以四棱锥的高为.因为平面，平面,所以,,又因为，为公共边，所以与全等，所以.设，则，所以为中点，,又因为,所以,即，解得，所以，所以四棱锥的高为．5．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.

(1)证明：平面；(2)证明：平面平面BEF；【解析】（1）连接，设，则，，，则，解得，则为的中点，由分别为的中点，于是，即，则四边形为平行四边形，，又平面平面，所以平面.（2）法一：由（1）可知，则，得，因此，则，有，又，平面，则有平面，又平面，所以平面平面.法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，，在中，，在中，，设，所以由可得：，可得：，所以，则，所以，，设平面的法向量为n1=则，得，令，则，所以，设平面的法向量为，则，得，令，则，所以，，所以平面平面BEF；6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．(1)证明：；【解析】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①，因为，，所以与均为等边三角形，，从而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．7．（2022年新高考浙江数学