2025年新高考数学一轮复习第3章拔高点突破02极值点偏移问题与拐点偏移问题(七大题型)(学生版+解析)

拔高点突破02极值点偏移问题与拐点偏移问题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳与总结 3题型一：极值点偏移:加法型 3题型二：极值点偏移:减法型 5题型三：极值点偏移:乘积型 6题型四：极值点偏移:商型 7题型五：极值点偏移:平方型 9题型六：极值点偏移:混合型 10题型七：拐点偏移问题 1103过关测试 12

1、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往。如下图所示。图1极值点不偏移图2极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏。2、对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证，则令.(3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．(4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．(5)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．【注意】若要证明的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效3、应用对数平均不等式证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.题型一：极值点偏移:加法型【典例1-1】（2024·四川南充·一模）已知函数有两个不同的零点.(1)求实数的取值范围；(2)求证：.【典例1-2】（2024·安徽马鞍山·一模）设函数.(1)若对恒成立，求实数的取值范围；(2)已知方程有两个不同的根、，求证：，其中为自然对数的底数.【变式1-1】（2024·甘肃酒泉·模拟预测）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若（为的导函数），方程有两个不等实根、，求证：．【变式1-2】（2024·安徽淮南·二模）已知函数．(1)若，证明：时，；(2)若函数恰有三个零点，证明：．【变式1-3】（2024·河南新乡·三模）已知函数.(1)讨论的单调性.(2)若函数有两个零点，且，证明：.题型二：极值点偏移:减法型【典例2-1】已知函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：.【典例2-2】（2024·湖南邵阳·一模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，方程有三个不相等的实数根，分别记为.①求的取值范围；②证明.【变式2-1】已知函数．(1)讨论的单调区间；(2)已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点；①求证：；②求证：．题型三：极值点偏移:乘积型【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若有两个零点，，且，求证：．【典例3-2】（2024·北京通州·三模）已知函数(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值；(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.(3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明.【变式3-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知．(1)当时，讨论函数的极值点个数；(2)若存在，，使，求证：．【变式3-2】（2024·江西南昌·二模）已知函数，．(1)当时，恒成立，求a的取值范围．(2)若的两个相异零点为，，求证：．【变式3-3】（2024·河北保定·二模）已知函数为其导函数．(1)若恒成立，求的取值范围；(2)若存在两个不同的正数，使得，证明：．【变式3-4】（2024·高三·重庆·期末）已知函数有两个不同的零点.(1)求的最值；(2)证明：.题型四：极值点偏移:商型【典例4-1】（2024·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知函数，其中为自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，且，证明：.【典例4-2】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.【变式4-1】已知函数.(1)讨论的单调性；(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：.【变式4-2】（2024·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：．【变式4-3】（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，.(1)若对于任意，都有，求实数的取值范围；(2)若函数有两个零点，求证：.题型五：极值点偏移:平方型【典例5-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．(1)若对任意的都有，求实数的取值范围；(2)若且，，证明：．【典例5-2】（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，，求证：.【变式5-1】（2024·山西·模拟预测）已知函数.(1)若，求实数的取值范围；(2)若有2个不同的零点（），求证：.【变式5-2】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性：(2)若是方程的两不等实根，求证：；题型六：极值点偏移:混合型【典例6-1】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，．(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：①；②；③；请从①②③中任选一个进行证明．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【典例6-2】已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若时，都有，求实数的取值范围；(3)若有不相等的两个正实数满足，求证：.【变式6-1】（2024·山东·模拟预测）已知函数.(1)若有两个零点，的取值范围；(2)若方程有两个实根、，且，证明：.题型七：拐点偏移问题【典例7-1】已知函数，．(1)若在处取得极值，求的值；(2)设，试讨论函数的单调性；(3)当时，若存在实数，满足，求证：．【典例7-2】已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）对实数，令，正实数，满足，求的最小值.【变式7-1】已知函数，.（1）若在处取得极值，求的值；（2）设，试讨论函数的单调性；（3）当时，若存在正实数满足，求证：.【变式7-2】已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程.（2）若正实数满足，求证：.【变式7-3】已知函数，，当时，恒成立．(1)求实数的取值范围；(2)若正实数、满足，证明：．1．已知函数．(1)若，讨论的单调性．(2)已知关于的方程恰有个不同的正实数根．（i）求的取值范围；（ii）求证：．6．（2024·云南·二模）已知常数，函数.(1)若，求的取值范围;(2)若、是的零点，且，证明:.7．已知函数有两个零点．(1)求实数的取值范围；(2)证明：．8．已知函数.(1)当时，判断函数的单调性；(2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明.9．已知函数（其中为自然对数的底数）.(1)求函数的单调区间；(2)若为两个不相等的实数，且满足，求证：.10．已知函数.(1)若有唯一极值，求的取值范围；(2)当时，若，，求证：.11．（2024·吉林·二模）在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴上，另一个顶点在函数图象上(1)当顶点在轴上方时，求以轴为旋转轴，边和边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值；(2)已知函数，关于的方程有两个不等实根.（i）求实数的取值范围;（ii）证明：.12．已知函数.若有两个零点，证明：.13．已知函数的图像与直线交于不同的两点，，求证：．14．已知函数．(1)若函数和的图象都与平行于轴的同一条直线相切，求的值；(2)若函数有两个零点，证明：．拔高点突破02极值点偏移问题与拐点偏移问题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳与总结 3题型一：极值点偏移:加法型 3题型二：极值点偏移:减法型 8题型三：极值点偏移:乘积型 13题型四：极值点偏移:商型 20题型五：极值点偏移:平方型 28题型六：极值点偏移:混合型 33题型七：拐点偏移问题 3903过关测试 44

1、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往。如下图所示。图1极值点不偏移图2极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏。2、对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证，则令.(3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．(4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．(5)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．【注意】若要证明的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效3、应用对数平均不等式证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.题型一：极值点偏移:加法型【典例1-1】（2024·四川南充·一模）已知函数有两个不同的零点.(1)求实数的取值范围；(2)求证：.【解析】（1）的定义域为，因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值.又当x趋近于0或时，趋于，所以，要使有两个不同的零点，只需满足，即.所以实数的取值范围为.（2）不妨设，由（1）可知，，则，要证，只需证，又在上单调递增，所以只需证，即证.记，则，当时，，单调递增，又，所以，即.所以.【典例1-2】（2024·安徽马鞍山·一模）设函数.(1)若对恒成立，求实数的取值范围；(2)已知方程有两个不同的根、，求证：，其中为自然对数的底数.【解析】（1）由，得.令，，则，令，则.所以，函数在上单增，故.①当时，则，所以在上单增，，此时对恒成立，符合题意；②当时，，，故存在使得，当时，，则单调递减，此时，不符合题意.综上，实数的取值范围.（2）证明：由（1）中结论，取，有，即.不妨设，，则，整理得.于是，即.【变式1-1】（2024·甘肃酒泉·模拟预测）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若（为的导函数），方程有两个不等实根、，求证：．【解析】（1）因为，则，所以，，，所以，曲线在点处的切线方程为，即.（2）证明：因为，，所以．因为为增函数，所以在上单调递减，在上单调递增．由方程有两个不等实根、，则可设，欲证，即证，即证，而，即，即，设，其中，则，设，则，所以，函数在上单调递增，所以，所以在上单调递减，所以，即，故得证．【变式1-2】（2024·安徽淮南·二模）已知函数．(1)若，证明：时，；(2)若函数恰有三个零点，证明：．【解析】（1）时，函数，则，在上单调递增，所以．（2），显然为函数的一个零点，设为；设函数，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增．由已知，必有两个零点，且，下证：．设函数，则，，由于，则，由（1）有，故，即函数在上单调递减，所以，即有，由于，且在上单调递增，所以，所以．【变式1-3】（2024·河南新乡·三模）已知函数.(1)讨论的单调性.(2)若函数有两个零点，且，证明：.【解析】（1）函数的定义域为，.①当时，令，得，则在上单调递减；令，得，则在上单调递增.②当时，令，得，则在上单调递减；令，得，则在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：因为为的两个零点，所以，，两式相减，可得，即，，因此，，.令，则，令，则，所以函数在上单调递增，所以，即.因为，所以，故得证.题型二：极值点偏移:减法型【典例2-1】已知函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：.【解析】（1）由题意可知：的定义域为，，令，可得，且，即，，可知在内恒成立，即在内恒成立，所以在内单调递增.（2）当时，可得，，或故在内单调递增，在内单调递减，由题意可得：，因为，令，则，可知在内单调递增，则，可得在内恒成立，因为，则，且在内单调递减则，即；令，则，可知在内单调递增，则，可得在内恒成立，因为，则，且在内单调递增，则，即；由和可得.【典例2-2】（2024·湖南邵阳·一模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，方程有三个不相等的实数根，分别记为.①求的取值范围；②证明.【解析】（1）函数的定义域为.又，令，得.当，即时，在恒成立，.当，即时，方程有两根，可求得：，因为所以，当和时，，为增函数，当时，，为减函数.综上：当时，在上单调递增，当时，在和上单调递增，在上单调递减.（2）当时，.①方程有三个不相等的实数根，即方程在上有三个不相等的实数根.令，则，令，求得：或，则当或时，，当时，，则在和上单调递增，在上单调递减，存在极大值为，存在极小值，且当时，，当时，.要使方程有三个不相等的实数根，则的取值范围为.②证明：设方程三个不相等的实数根分别为：，且，由①可得，要证，只需证，即证，当时，在和上单调递增，在上单调递减，且当时，，当时，.由，构造函数，，当时，在上单调递增，，即在上恒成立，又，则有：，又，且在上单调递减，，即.构造函数，，当时在上单调递增.，即在上恒成立.又，则.即，由，则.在上单调递增，.又，则可证得：.【变式2-1】已知函数．(1)讨论的单调区间；(2)已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点；①求证：；②求证：．【解析】（1），，其中，，当时，即，此时恒成立，函数在区间单调递增，当时，即或，当时，在区间上恒成立，即函数在区间上单调递增，当时，，得或，当，或时，，当时，，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，综上可知，当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；（2）①由（1）知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，、是方程的两根，有，，又的图象与有三个公共点，故，则，要证，即证，又，且函数在上单调递减，即可证，又，即可证，令，，由，则恒成立，故在上单调递增，即，即恒成立，即得证；②由，则，令，，则，故在上单调递增，即，即当时，，由，故，又，故，由，，函数在上单调递减，故，即，又由①知，故，又，故.题型三：极值点偏移:乘积型【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若有两个零点，，且，求证：．【解析】（1）因为函数的定义域是，，当时，，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．综上所述，当时，的减区间为，无增区间；当时，的增区间为，减区间为．（2）因为是函的两个零点，由（1）知，因为，设，则，当，，当，，所以在上单调递增，在上单调递减，．又因为，且，所以，．首先证明：．由题意，得，设，则两式相除，得．要证，只要证，即证．只要证，即证．设，．因为，所以在上单调递增．所以，即证得①．其次证明：．设，．因为，所以在上单调递减．所以，即．所以②．由①②可证得．【典例3-2】（2024·北京通州·三模）已知函数(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值；(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.(3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明.【解析】（1）因为，所以.所以，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，所以，解得..（2）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数，所以在（0，+∞）上恒成立.即恒成立.，即，令，所以，时，时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即.（3）定义域为当时，，所以在（0，+∞）上单调递减，不合题意.当时，在（0，）上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，函数存在两个零点的必要条件是，即，又，所以在（1，）上存在一个零点（）.当时，，所以在（，+∞）上存在一个零点，综上函数有两个零点，实数a的取值范围是.不妨设两个零点由，所以，所以，所以，要证，只需证，只需证，由，只需证，只需证，只需证，令，只需证，令，，∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴，即成立，所以成立.【变式3-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知．(1)当时，讨论函数的极值点个数；(2)若存在，，使，求证：．【解析】（1）当时，，则，当时，，故在上单调递增，不存在极值点；当时，令，则总成立，故函数即在上单调递增，且，，所以存在，使得，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；故在上存在唯一极值点，综上，当时，函数的极值点有且仅有一个．（2）由知，整理得，（*），不妨令，则，故在上单调递增，当时，有，即，那么，因此，（*）即转化为，接下来证明，等价于证明，不妨令（），建构新函数，，则在上单调递减，所以，故即得证，由不等式的传递性知，即．【变式3-2】（2024·江西南昌·二模）已知函数，．(1)当时，恒成立，求a的取值范围．(2)若的两个相异零点为，，求证：．【解析】（1）当时，恒成立，即当时，恒成立，设，所以，即，，设，则，所以，当时，，即在上单调递增，所以，所以当时，，即在上单调递增，所以，若恒成立，则．所以时，恒成立，a的取值范围为.（2）由题意知，，不妨设，由得，则，令，则，即：．要证，只需证，只需证，即证，即证（），令（），因为，所以在上单调递增，当时，，所以成立，故．【变式3-3】（2024·河北保定·二模）已知函数为其导函数．(1)若恒成立，求的取值范围；(2)若存在两个不同的正数，使得，证明：．【解析】（1），当时，单调递增；当时，单调递减．所以，解得，即的取值范围为．（2）证明：不妨设，则，要证，即证，则证，则证，所以只需证，即．令，则，．当时，，则，所以在上单调递减，则．所以．由（1）知在上单调递增，所以，从而成立．【变式3-4】（2024·高三·重庆·期末）已知函数有两个不同的零点.(1)求的最值；(2)证明：.【解析】（1），有两个不同的零点，∴在内必不单调，故，令，解得，∴在上单增，上单减，∴，无最小值．（2）由题知两式相减得，即，故要证，即证，即证，不妨设，令，则只需证，设，则，设，则，∴在上单减，∴，∴在上单增，∴，即在时恒成立，原不等式得证．题型四：极值点偏移:商型【典例4-1】（2024·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知函数，其中为自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，且，证明：.【解析】（1），是减函数，是增函数，所以在单调递减，∵，∴时，，单调递增；时，，单调递减.（2）由题意得，，即，，设，，则由得，，且.不妨设，则即证，由及的单调性知，.令，，则，∵，∴，，∴，取，则，又，则，又，，且在单调递减，∴，.下证：.（i）当时，由得，；（ii）当时，令，，则，记，，则，又在为减函数，∴，在单调递减，在单调递增，∴单调递减，从而，在单调递增，又，，∴，又，从而，由零点存在定理得，存在唯一，使得，当时，单调递减；当时，单调递增.所以，，又，，所以，，显然，，所以，，即，取，则，又，则，结合，，以及在单调递增，得到，从而.【典例4-2】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.【解析】(1)的定义域为．由得，，当时，；当时；当时，．故在区间内为增函数，在区间内为减函数，(2)[方法一]：等价转化由得，即．由，得．由（1）不妨设，则，从而，得，①令，则，当时，，在区间内为减函数，，从而，所以，由（1）得即．①令，则，当时，，在区间内为增函数，，从而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最优解】：变形为，所以．令．则上式变为，于是命题转换为证明：．令，则有，不妨设．由（1）知，先证．要证：．令，则，在区间内单调递增，所以，即．再证．因为，所以需证．令，所以，故在区间内单调递增．所以．故，即．综合可知．[方法三]：比值代换证明同证法2．以下证明．不妨设，则，由得，，要证，只需证，两边取对数得，即，即证．记，则.记，则，所以，在区间内单调递减．，则，所以在区间内单调递减．由得，所以，即．[方法四]：构造函数法由已知得，令，不妨设，所以．由（Ⅰ）知，，只需证．证明同证法2．再证明．令．令，则．所以，在区间内单调递增．因为，所以，即又因为，所以，即．因为，所以，即．综上，有结论得证．【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.方法四：构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.【变式4-1】已知函数.(1)讨论的单调性；(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：.【解析】（1）函数的定义域为，又，当时，，当时，，故的递增区间为，递减区间为（2）因为，故，即，故，设，则，不妨设，由（1）可知原命题等价于：已知，证明：.

证明如下：若，恒成立；若，即时，要证：，即证，而，即证，即证：，其中设，，则，因为，故，故，所以，故在为增函数，所以，故，即成立，所以成立，综上，成立.【变式4-2】（2024·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：．【解析】（1）因为，所以，其中.①当时，，所以函数的减区间为，无增区间；②当时，由得，由可得.所以函数的增区间为，减区间为．综上：当时，函数的减区间为，无增区间；当时，函数的增区间为，减区间为．（2）（i）方程可化为，即．令，因为函数在上单调递增，易知函数的值域为，结合题意，关于的方程（*）有两个不等的实根．又因为不是方程（*）的实根，所以方程（*）可化为．令，其中，则．由可得或，由可得，所以，函数在和上单调递减，在上单调递增．所以，函数的极小值为，且当时，；当时，则.作出函数和的图象如下图所示：由图可知，当时，函数与的图象有两个交点，所以，实数的取值范围是.（ii）要证，只需证，即证．因为，所以只需证．由（ⅰ）知，不妨设．因为，所以，即，作差可得．所以只需证，即只需证．令，只需证．令，其中，则，所以在上单调递增，故，即在上恒成立．所以原不等式得证．【变式4-3】（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，.(1)若对于任意，都有，求实数的取值范围；(2)若函数有两个零点，求证：.【解析】（1）结合题意：对于任意，都有，所以，因为，所以只需，，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以只需；（2）等价于，设函数，，易知在区间上单调递增；上单调递减，由知且，，设函数，其中，知，知在区间上单调递增，即时，即时，，即，又由已知由且，有且，由在上单调递减，所以，即.题型五：极值点偏移:平方型【典例5-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．(1)若对任意的都有，求实数的取值范围；(2)若且，，证明：．【解析】（1）由，，得，，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，所以当时，的最大值为．当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，所以当时，的最小值为．所以，故实数的取值范围为．（2）由得，两边取对数并整理，得，即，即．由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，，（技巧：注意对第（1）问结论的应用）而，当时，恒成立，不妨设，则．记，，则，所以函数在上单调递增，所以，即，，于是，，又在上单调递减，因此，即，所以．【典例5-2】（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，，求证：.【解析】（1）当时，，导数为，可得切线的斜率为，且，所以切线的方程为，即为；（2）证明：由题意可得，若，则，所以在递增，因此不存在，使得，所以；设，，则，令，，所以在递减，又，所以在恒成立，从而在递减，从而.①又由，可得，所以.②由①②可得.又因为，所以，因此要证，只需证明，即证，③设，，则，所以在上为增函数，又因为，所以，即③式成立.所以获证.【变式5-1】（2024·山西·模拟预测）已知函数.(1)若，求实数的取值范围；(2)若有2个不同的零点（），求证：.【解析】（1）因为函数的定义域为，所以成立，等价于成立.令，则，令，则，所以在内单调递减，又因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取极大值也是最大值.因此，即实数的取值范围为.（2）有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根.令，则，当时，解得.所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取极大值为.又因为，当时，，当时，.且时，.所以，且.因为是方程的2个不同实数根，即.将两式相除得，令，则，，变形得，.又因为，，因此要证，只需证.因为，所以只需证，即证.因为，即证.令，则，所以在上单调递增，，即当时，成立，命题得证.【变式5-2】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性：(2)若是方程的两不等实根，求证：；【解析】（1）由题意得，函数的定义域为.由得：，当时，在上单调递增；当时，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减.（2）因为是方程的两不等实根，，即是方程的两不等实根，令，则，即是方程的两不等实根.令，则，所以在上递增，在上递减，，当时，；当时，且.所以0，即0.令，要证，只需证，解法1（对称化构造）：令，则，令，则，所以在上递增，，所以h，所以，所以，所以，即，所以.解法2（对数均值不等式）：先证，令，只需证，只需证，令，所以在上单调递减，所以.因为，所以，所以，即，所以.题型六：极值点偏移:混合型【典例6-1】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，．(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：①；②；③；请从①②③中任选一个进行证明．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【解析】（1）当时，，当时，因为，所以此时不合题意；当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，要，只需，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，则由得，所以，故实数b的取值范围为．（2）当时，，，令，则，因为函数有两个极值点，，所以有两个零点，若，则，单调递增，不可能有两个零点，所以，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，因为有两个零点，所以，则，设，因为，，则，因为，所以，，则，取对数得，令，，则，即①令，则，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，令，则，在上单调递减，因为，所以，即，亦即，因为，，在上单调递增，所以，则，整理得，所以，故①成立②令，则，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，令，则，在上单调递增，又，所以当时，，即，因为，，在上单调递增，所以，所以，即，所以，即，故②成立．③令，，则，令，则，∴在上单调递增，则，∴，则，两边约去后化简整理得，即，故③成立．【典例6-2】已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若时，都有，求实数的取值范围；(3)若有不相等的两个正实数满足，求证：.【解析】（1）函数的定义域为，.①当时，令，即，解得：.令，解得：；令，解得：；所以函数在上单调递增，在上单调递减.②当时，则，所以函数在上单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递增，在上单调递减.当时，函数在上单调递增.（2）当时，都有，即，亦即对恒成立.令，只需..令，则，所以当时，，所以在上单增，所以，所以当时，.所以，所以在上单减，所以.所以.综上所述：实数的取值范围为.（3）可化为：.令，上式即为.由（1）可知：在上单调递增，在上单调递减，则为的两根，其中.不妨设，要证，只需，即，只需证.令.则当时，；当时，.由零点存在定理可得：存在，使得.当时，，单增；当时，，单减；又，所以..因为，，所以.所以恒成立.所以.所以.所以即证.【变式6-1】（2024·山东·模拟预测）已知函数.(1)若有两个零点，的取值范围；(2)若方程有两个实根、，且，证明：.【解析】（1）函数的定义域为.当时，函数无零点，不合乎题意，所以，，由可得，构造函数，其中，所以，直线与函数的图象有两个交点，，由可得，列表如下：增极大值减所以，函数的极大值为，如下图所示：且当时，，由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，故实数的取值范围是.（2）证明：因为，则，令，其中，则有，，所以，函数在上单调递增，因为方程有两个实根、，令，，则关于的方程也有两个实根、，且，要证，即证，即证，即证，由已知，所以，，整理可得，不妨设，即证，即证，令，即证，其中，构造函数，其中，，所以，函数在上单调递增，当时，，故原不等式成立.题型七：拐点偏移问题【典例7-1】已知函数，．(1)若在处取得极值，求的值；(2)设，试讨论函数的单调性；(3)当时，若存在实数，满足，求证：．【解析】（1）因为，所以，因为在处取得极值，所以，解得：．验证：当时，，易得在处取得极大值．（2）因为，所以，①若，则当时，，所以函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；②若，，当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，恒成立，所以函数在上单调递增；当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减.（3）证明：当时，因为，所以，所以，令，，则，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增；所以函数在时，取得最小值，最小值为1，所以，即，所以，当时，此时不存在，满足等号成立条件，所以．【典例7-2】已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）对实数，令，正实数，满足，求的最小值.【解析】（1）.若，当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减.若，当时，，即在（，上均单调递增；当时，，即在上单调递减.若，则，即在上单调递增.若，当时，，即在，上均单调递增；当时，，即在上单调递减.（2）当实数时，，，，，令，，由于，知当时，，即单调递减；当时，，即单调递增.从而，，于是，，即，而，所以，而当，时，取最小值6.【变式7-1】已知函数，.（1）若在处取得极值，求的值；（2）设，试讨论函数的单调性；（3）当时，若存在正实数满足，求证：.【解析】（1）因为，所以，因为在处取得极值，所以，解得．

验证：当时，在处取得极大值．

（2）因为所以．①若，则当时，，所以函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减．②若，，当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减；

当时，恒成立，所以函数在上单调递增；当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减．

（3）证明：当时，，因为，所以，即，所以．

令，，则，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增．所以函数在时，取得最小值，最小值为．

所以，即，所以或．因为为正实数，所以．当时，，此时不存在满足条件，所以．【变式7-2】已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程.（2）若正实数满足，求证：.【解析】（1），切点为.，.切线为：，即.（2）.令，，，，，，为减函数，，，为增函数，，所以.即.得：，得到，即：.【变式7-3】已知函数，，当时，恒成立．(1)求实数的取值范围；(2)若正实数、满足，证明：．【解析】（1）根据题意，可知的定义域为，而，当时，，，为单调递增函数，当时，成立；当时，存在大于1的实数，使得，当时，成立，在区间上单调递减，当时，；不可能成立，所以，即的取值范围为.（2）证明：不妨设，正实数、满足，有（1）可知，，又为单调递增函数，所以，又，所以只要证明：，设，则，可得，当时，成立，在区间上单调增函数，又，当时，成立，即，所以不等式成立，所以.1．已知函数．(1)若，讨论的单调性．(2)已知关于的方程恰有个不同的正实数根．（i）求的取值范围；（ii）求证：．【解析】（1）当时，，则；令，解得：或，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减.（2）（i）由得：，恰有个正实数根，恰有个正实数根，令，则与有两个不同交点，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，又，当从的右侧无限趋近于时，趋近于；当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于；则图象如下图所示，当时，与有两个不同交点，实数的取值范围为；（ii）由（i）知：，，，，，不妨设，则，要证，只需证，，，，则只需证，令，则只需证当时，恒成立，令，，在上单调递增，，当时，恒成立，原不等式得证.2．（2024·江苏·模拟预测）已知函数.(1)求的单调区间；(2)当时，证明：.【解析】（1），令，则，；当时，，在上单调递减，又，，，使得，则当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，又当时，，；当时，，即；当时，，即；的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）知：若，则，要证，只需证，，，又在上单调递减，则只需证，，则只需证，即证，则需证，又，只需证，即证，令，则，，在上单调递减，，在上单调递增，，，原不等式得证.3．（2024·安徽淮北·一模）已知函数，(1)讨论函数的单调性；(2)若函数在上有两个不相等的零点，求证：.【解析】（1），.①当时，恒成立，单调递增；②当时，由得，，单调递增，由得，，单调递减.综上：当时，单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）∵在上有两个不相等的零点，，不妨设，∴在上有两个不相等的实根，令，，∴，由得，，单调递减，由得，，单调递增，，，，，∴要证，即证，又∵，只要证，即证，∵，即证即证，即证，即证令，，∴，令，，则，当时，恒成立，所以在上单调递增，又，∴，∴，∴∴在上递增，∴，∴∴.4．已知函数，，当时，恒成立．(1)求实数的取值范围；(2)若正实数、满足，证明：．【解析】（1）根据题意，可知的定义域为，而，当时，，，为单调递增函数，当时，成立；当时，存在大于1的实数，使得，当时，成立，在区间上单调递减，当时，；不可能成立，所以，即的取值范围为.（2）证明：不妨设，正实数、满足，有（1）可知，，又为单调递增函数，所以，又，所以只要证明：，设，则，可得，当时，成立，在区间上单调增函数，又，当时，成立，即，所以不等式成立，所以.5．已知函数.(1)若的极小值为-4，求的值；(2)若有两个不同的极值点，证明：.【解析】（1），当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.当时，取得极小值，由，解得或（舍去）.故的值为。（2）由题意可知，方程有两个不同的正实数根，即有两个不同的实数根.令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减.验证可知，，由得，所以.当时，方程，即方程，则有两个不同的正实数根.设，则，所以在上单调递增，在上单调递减.不妨设，则.令，则，所以在上单调递增，则当时，，所以又，函数在上单调递减，所以，则，因为，故.6．（2024·云南·二模）已知常数，函数.(1)若，求的取值范围;(2)若、是的零点，且，证明:.【解析】（1）由已知得的定义域为，且，当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增.所以在处取得极小值即最小值，，，，即的取值范围为.（2）由（1）知，的定义域为，在上单调递减，在上单调递增，且是的极小值点.、是的零点，且，、分别在、上，不妨设，设，则当时，，即在上单调递减.，，即