2025年新高考数学一轮复习第4章第04讲解三角形(九大题型)(练习)(学生版+解析)

第04讲解三角形目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：正弦定理的应用 2题型二：余弦定理的应用 2题型三：判断三角形的形状 2题型四：正、余弦定理的综合运用 3题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用 3题型六：解三角形的实际应用 4题型七：倍角关系 5题型八：三角形解的个数 6题型九：三角形中的面积与周长问题 702重难创新练 803真题实战练 11题型一：正弦定理的应用1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则.2．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则.3．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则角.题型二：余弦定理的应用4．在锐角三角形中，角所对的边分别为，若的面积为，则角=.5．在中，，则角=.6．在中，角的对边分别为，若，则中角B的大小是（

）A． B． C． D．题型三：判断三角形的形状7．（2024·高三·广东广州·开学考试）在中，，则的形状为三角形．8．在中，有，试判断的形状（从“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中选一个填入横线中）.9．在中，角所对的边分别为，且，则的形状为.10．对于，有如下四个命题:

①若，则为等腰三角形，②若，则是直角三角形③若，则是钝角三角形④若，则是等边三角形.其中正确的命题序号是11．已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形题型四：正、余弦定理的综合运用12．（2024·北京西城·三模）在中，若，，，则，.13．（2024·贵州六盘水·三模）在中，，，，则外接圆的半径为（）A． B． C． D．14．设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（

）A． B． C． D．题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用15．（2024·湖南·模拟预测）已知函数.(1)求函数的定义域和值域；(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.16．（2024·湖南长沙·一模）已知函数.（1）若，求的值.（2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围.17．在中，角的对边分别为.已知向量，向量，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的值.题型六：解三角形的实际应用18．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距14公里的两座炮台，在的正东方.某次演习时，向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则炮台与弹着点的距离为（

）A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里19．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度．把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B，测得，在点A处测得点C，D的仰角分别为，，在点B处测得点D的仰角为，则塔高CD为m．20．（2024·湖南岳阳·二模）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度，他首先在处，测得楼顶的仰角为，然后沿方向行走22.5米至处，又测得楼顶的仰角为，则楼高为米．21．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）22．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为m．(结果精确到1m)题型七：倍角关系23．（多选题）（2024·河北·三模）已知内角A、B、C的对边分别是a、b、c，，则（

）A． B．的最小值为3C．若为锐角三角形，则 D．若，，则24．在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为.25．设的内角所对边的长分别是，且为边上的中点，且，则．26．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．(1)求证：；(2)若，求a边的范围；(3)求的取值范围．题型八：三角形解的个数27．（2024·北京朝阳·一模）在中，，，．（1）若，则；（2）当（写出一个可能的值）时，满足条件的有两个．28．（2024·上海闵行·模拟预测）已知中，，，的对边分别为，，，若，，给出下列条件中：①，②，③，能使有两解的为.（请写出所有正确答案的序号）29．已知分别是内角所对的边，若，，且有唯一解，则的取值范围为.30．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁和临秀亭两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：①测量、、；②测量、、；③测量、、；④测量、、．其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是．题型九：三角形中的面积与周长问题31．（2024·山东·模拟预测）内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为.32．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且．(1)求角；(2)若的面积为，求的周长．33．（2024·北京西城·二模）已知函数．在中，，且．(1)求的大小；(2)若，且的面积为，求的周长．1．（2024·河南信阳·模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，已知，则的外接圆的面积为（

）A． B． C． D．2．（2024·重庆·模拟预测）记的内角的对边分别为，若，则的面积为（

）A． B． C． D．3．（2024·新疆喀什·三模）在中，，，，是边一点，是的角平分线，则（

）A． B．1 C．2 D．4．（2024·陕西·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若的面积为，周长为，则AC边上的高为（

）A． B． C． D．5．（2024·湖南衡阳·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，为AC的中点，，则（

）A．1 B． C． D．26．（2024·北京·三模）在四棱锥中，底面为正方形，，，，则的周长为（

）A．10 B．11 C． D．127．（2024·陕西安康·模拟预测）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且，若，，则（

）A．1 B．2 C． D．48．（2024·浙江绍兴·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则A等于（

）A． B． C． D．9．（多选题）（2024·安徽安庆·模拟预测）在中，面积，则下列说法正确的是（

）A．B．若是锐角三角形，则C．若，则D．若角的平分线长为，则10．（多选题）（2024·广东佛山·一模）在中，所对的边为，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（）A．若，则 B．的最大值为C． D．角的最小值为11．（多选题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题正确的是（

）A．若，，，则有两解B．若，，则的面积最大值为C．若，，，则外接圆半径为D．若，则一定是等腰三角形12．（2024·陕西铜川·模拟预测）在中，角的对边分别是，已知，三角形面积为12，则．13．（2024·新疆·三模）在中，，.则.14．（2024·四川成都·模拟预测）在中，已知，，，则．15．（2024·湖南长沙·三模）记的内角的对边分别为，已知.(1)若，求的值；(2)若是边上的一点，且平分，求的长.16．（2024·江西新余·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积.(1)求角B；(2)若的平分线交于点D，，，求的长.17．（2024·天津南开·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，.(1)求证：；(2)求的值；(3)求的值.18．（2024·天津河北·二模）在中，角，，的对边分别为，，，已知.(1)若，求的值和的面积；(2)在（1）的条件下，求的值；(3)若，求的值.19．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在中，记角、、的对边分别为、、，已知．(1)求角；(2)已知点在边上，且，，，求的面积．1．（2024年上海高考数学真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则(精确到0.1度)2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，．3．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c．4．（2024年北京高考数学真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．(1)求；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．5．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周长．6．（2024年天津高考数学真题）在中，角所对的边分别为，已知．(1)求；(2)求；(3)求的值．7．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积．8．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）在中，已知，，.(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.9．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．10．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．11．（2022年新高考浙江数学高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．12．（2022年新高考全国II卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．13．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：14．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．15．（2022年新高考北京数学高考真题）在中，．(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．16．（2022年新高考全国I卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．第04讲解三角形目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：正弦定理的应用 2题型二：余弦定理的应用 3题型三：判断三角形的形状 4题型四：正、余弦定理的综合运用 5题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用 6题型六：解三角形的实际应用 8题型七：倍角关系 12题型八：三角形解的个数 16题型九：三角形中的面积与周长问题 1802重难创新练 2003真题实战练 31题型一：正弦定理的应用1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则.【答案】或【解析】在中，，则由正弦定理得，，得，因为，所以或，当时，，当时，故答案为：或2．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则.【答案】/【解析】在中，由，，得，则，由正弦定理理，所以.故答案为：3．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则角.【答案】【解析】由正弦定理角化边可知，，整理为，即，由于，所以.故答案为：题型二：余弦定理的应用4．在锐角三角形中，角所对的边分别为，若的面积为，则角=.【答案】【解析】由题，，故，．，，，．故答案为：5．在中，，则角=.【答案】【解析】因为，由正弦定理可得，即，由余弦定理，，.故答案为：6．在中，角的对边分别为，若，则中角B的大小是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，由余弦定理得，又，所以.故选：D.题型三：判断三角形的形状7．（2024·高三·广东广州·开学考试）在中，，则的形状为三角形．【答案】直角【解析】在中，由，得，即，由余弦定理得，整理得，所以是直角三角形.故答案为：直角8．在中，有，试判断的形状（从“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中选一个填入横线中）.【答案】直角三角形【解析】由二倍角公式可知，，且注意到在中，有，因此可将已知转换为，解得，因为是的一个内角，所以，即是直角三角形.故答案为：直角三角形.9．在中，角所对的边分别为，且，则的形状为.【答案】直角三角形或等腰三角形【解析】用正弦定理对条件进行边角转化，结合诱导公式，两角和的正弦公式化简后进行求解.10．对于，有如下四个命题:

①若，则为等腰三角形，②若，则是直角三角形③若，则是钝角三角形④若，则是等边三角形.其中正确的命题序号是【答案】③④【解析】对于①可推出或，故不正确；②若，显然满足条件，但不是直角三角形；③由正弦定理得，所以，是钝角三角形；④由正弦定理知，由于半角都是锐角，所以，三角形是等边三角形.故答案为：③④11．已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形【答案】D【解析】由题即，由正弦定理及余弦定理得即故整理得，故故为顶角为的等腰三角形故选D题型四：正、余弦定理的综合运用12．（2024·北京西城·三模）在中，若，，，则，.【答案】/【解析】由正弦定理，有，所以，由余弦定理，有，解得.故答案为：，.13．（2024·贵州六盘水·三模）在中，，，，则外接圆的半径为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，，由余弦定理可得：，设外接圆的半径为，由正弦定理可得：，则．故选：B．14．设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，由正弦定理有，根据余弦定理有，且，故有，即，又，所以.故选：D.题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用15．（2024·湖南·模拟预测）已知函数.(1)求函数的定义域和值域；(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.【解析】（1），所以要使有意义，只需，即，所以，解得所以函数的定义域为，由于，所以，所以函数的值域为；（2）由于，所以，因为，所以，所以即，由锐角可得，所以，由正弦定理可得，因为，所以所以，所以的最大值为2.16．（2024·湖南长沙·一模）已知函数.（1）若，求的值.（2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围.【解析】（1）由可得：..（2）由余弦定理得：，整理可得：，，，又，，，，则，，即的取值范围为.17．在中，角的对边分别为.已知向量，向量，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的值.【解析】（1）

，解得：（2）由余弦定理得：由正弦定理得：

为锐角

题型六：解三角形的实际应用18．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距14公里的两座炮台，在的正东方.某次演习时，向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则炮台与弹着点的距离为（

）A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里【答案】D【解析】依题意设炮弹第一次命中点为，则，，，，在中，即，解得，所以，又为锐角，解得（负值舍去），在中，所以，即炮台与弹着点的距离为公里.故选：D19．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度．把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B，测得，在点A处测得点C，D的仰角分别为，，在点B处测得点D的仰角为，则塔高CD为m．【答案】20【解析】在中，延长与的延长线交于点E，如图所示.由题意可知，，因为小李同学根据课本书中有一道测量山上松树高度的题目受此题启发，所以三点在同一条直线上.所以，所以为等腰三角形，即.设，即，，在中，由余弦定理得,即，，所以，又因为，所以.故答案为：.20．（2024·湖南岳阳·二模）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度，他首先在处，测得楼顶的仰角为，然后沿方向行走22.5米至处，又测得楼顶的仰角为，则楼高为米．【答案】【解析】中，，，，中，，，，因为米，所以，解得：故答案为：21．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）【答案】/【解析】如图所示，依题意知，，由正弦定理知（米），∴在中，（米），∵国歌长度约为46秒，∴升旗手升旗的速度应为＝（米/秒）．故答案为：．22．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为m．(结果精确到1m)【答案】【解析】作交于E，由题意可得如图：，所以，，在中，由正弦定理可得：，所以，所以，，在直角中，，故答案为：475.题型七：倍角关系23．（多选题）（2024·河北·三模）已知内角A、B、C的对边分别是a、b、c，，则（

）A． B．的最小值为3C．若为锐角三角形，则 D．若，，则【答案】BCD【解析】由，得，由正弦定理得，由余弦定理得，则，当时，，即，当时，，又，所以，所以，所以，所以，故选项A错误；由，则，当且仅当时，故选项B正确；在中，，由正弦定理，，若为锐角三角形，又，则，故，所以，所以，则，所以，故选项C正确；在中，由正弦定理，又，，，得，则由余弦定理，，得，整理得，解得，或，当时，有，又，所以，因为，则不成立，故选项D正确.故选：BCD.24．在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为.【答案】/【解析】由余弦定理得，又，所以，即，所以，由正弦定理得，即，因为，所以，所以或（舍去），所以，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：.25．设的内角所对边的长分别是，且为边上的中点，且，则．【答案】【解析】中，由，可得，则，则，整理得，即，又，则．中，是边上的中点，且，则，则有，解之得则．故答案为：26．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．(1)求证：；(2)若，求a边的范围；(3)求的取值范围．【解析】（1）因为，所以，由正弦定理可得，又因为，代入可得，即，因为，，则，故，所以或，即或（舍去），所以．法二：由正弦定理可得：，则，则，又，故，因为，，则，故，所以或，即或（舍去），（2）因为为锐角三角形，，所以，由，解得，又故．（3）由（2）知．由，，令，则在上单调递增，所以，所以的取值范围为．题型八：三角形解的个数27．（2024·北京朝阳·一模）在中，，，．（1）若，则；（2）当（写出一个可能的值）时，满足条件的有两个．【答案】（答案不唯一）【解析】（1），，，，由余弦定理，，即，解得.（2）因为,,所以当时，方程有两解，即，取即可满足条件（答案不唯一）故答案为：；6.28．（2024·上海闵行·模拟预测）已知中，，，的对边分别为，，，若，，给出下列条件中：①，②，③，能使有两解的为.（请写出所有正确答案的序号）【答案】②③【解析】选择①，由余弦定理，得，解得，所以只有一解.故①错误；选择②，因为，所以,由正弦定理，得，解得，所以,所以有两解，故②正确；选择③，由，得,解得，因为，所以或，所以有两解，故③正确；故答案为：②③.29．已知分别是内角所对的边，若，，且有唯一解，则的取值范围为.【答案】【解析】由正弦定理，可得，当时，，此时唯一；当时，有两个值，不唯一；当时，，即，，唯一，综上可得，实数的取值范围是.故答案为：30．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁和临秀亭两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：①测量、、；②测量、、；③测量、、；④测量、、．其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是．【答案】②③【解析】对于①，由正弦定理可得，则，若且为锐角，则，此时有两解，则也有两解，此时也有两解；对于②，若已知、，则确定，由正弦定理可知唯一确定；对于③，若已知、、，由余弦定理可得，则唯一确定；对于④，若已知、、，则不确定.故答案为：②③.题型九：三角形中的面积与周长问题31．（2024·山东·模拟预测）内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为.【答案】1【解析】因为，由正弦定理可得，且,所以，则.故答案为：132．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且．(1)求角；(2)若的面积为，求的周长．【解析】（1）由可知，由正弦定理，得，即．所以，又，所以.（2）由（1）知．所以，又，所以，所以，即．所以的周长为．33．（2024·北京西城·二模）已知函数．在中，，且．(1)求的大小；(2)若，且的面积为，求的周长．【解析】（1）由函数，因为，可得，在中，因为，所以，又因为，所以，所以，解得，因为，所以.（2）由（1）知，因为的面积为，所以，在中，由余弦定理得，即，整理得，所以，即，所以，所以的周长为.1．（2024·河南信阳·模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，已知，则的外接圆的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，，所以，所以，设的外接圆半径为，则，则的外接圆的面积．故选：A．2．（2024·重庆·模拟预测）记的内角的对边分别为，若，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由余弦定理得，即，解得，所以三角形的面积为.故选：A3．（2024·新疆喀什·三模）在中，，，，是边一点，是的角平分线，则（

）A． B．1 C．2 D．【答案】A【解析】在中，由余弦定理得，即，解得或（舍去），在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，其中，，所以，，故，又，所以，在中，由余弦定理得，故，在中，由正弦定理得，即，解得.故选：A4．（2024·陕西·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若的面积为，周长为，则AC边上的高为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在中，由正弦定理及，得，即，由余弦定理得，则，由的面积为，得，解得，由，得，又，因此，令AC边上的高为，则，所以.故选：B5．（2024·湖南衡阳·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，为AC的中点，，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】由已知，在中，由正弦定理得，所以，又，故.故选：A.6．（2024·北京·三模）在四棱锥中，底面为正方形，，，，则的周长为（

）A．10 B．11 C． D．12【答案】C【解析】在四棱锥中，连接交于，连，则为的中点，如图，正方形中，，，在与中，，则≌，于是，由余弦定理得，所以的周长为.故选：C7．（2024·陕西安康·模拟预测）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且，若，，则（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】A【解析】，由正弦定理得，又，所以，即，得，即，又，所以，而，由余弦定理得.故选：A8．（2024·浙江绍兴·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则A等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，即，如图，过B点作于D，可知，，所以，所以，又，所以.故选：D.9．（多选题）（2024·安徽安庆·模拟预测）在中，面积，则下列说法正确的是（

）A．B．若是锐角三角形，则C．若，则D．若角的平分线长为，则【答案】ABC【解析】对于A，由，得，则，而，解得，A正确；对于B，锐角中，，，，则，B正确；对于C，当时，则，当且仅当时取等号，则，C正确；对于D，由三角形面积公式得，则，即，因此，当且仅当，即时取等号，D错误.故选：ABC10．（多选题）（2024·广东佛山·一模）在中，所对的边为，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（）A．若，则 B．的最大值为C． D．角的最小值为【答案】ABC【解析】选项A，若，由余弦定理，得，所以，则三角形面积，A正确；选项B，由基本不等式可得，即，当且仅当时，等号成立，由余弦定理可得，则，B正确；选项C，因为边上的中点为，所以，而，即，则，所以，故C正确；选项D，因为，即，所以由余弦定理得，又，且函数在上单调递减，所以，D错误.故选：ABC.11．（多选题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题正确的是（

）A．若，，，则有两解B．若，，则的面积最大值为C．若，，，则外接圆半径为D．若，则一定是等腰三角形【答案】AC【解析】对于A，因为，所以，所以如图有两解，所以A正确，对于B，因为，，所以由余弦定理得，当且仅当时取等号，所以，所以，当且仅当时取等号，所以当的面积最大值为，所以B错误，对于C，因为，，，所以由余弦定理得，因为，所以，所以由正弦定理得，得，所以C正确，对于D，因为，所以由余弦定理得，所以，所以，所以，所以，所以，或，所以为等腰三角形或直角三角形，所以D错误，故选：AC12．（2024·陕西铜川·模拟预测）在中，角的对边分别是，已知，三角形面积为12，则．【答案】6或8【解析】在中，因为三角形面积为12，所以，解得，所以．当时，由余弦定理得，解得；当时，由余弦定理得，解得，综上，或．故答案为：6或8.13．（2024·新疆·三模）在中，，.则.【答案】【解析】由正弦定理，，所以由可得，所以，所以，所以.故答案为：14．（2024·四川成都·模拟预测）在中，已知，，，则．【答案】/.【解析】由余弦定理得，所以，所以，因为，所以，所以.故答案为：.15．（2024·湖南长沙·三模）记的内角的对边分别为，已知.(1)若，求的值；(2)若是边上的一点，且平分，求的长.【解析】（1）由题意得，所以.由正弦定理，得，即.又，所以，又，所以.因为，所以.（2）由，得，解得.由，得，即，所以.16．（2024·江西新余·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积.(1)求角B；(2)若的平分线交于点D，，，求的长.【解析】（1）在中，，而，即，，由余弦定理得，所以.（2）在中，由等面积法得，即，即所以.17．（2024·天津南开·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，.(1)求证：；(2)求的值；(3)求的值.【解析】（1）因为，又由余弦定理，可得，由知，所以，（2）由（1）及正弦定理得，又因为，所以，又因为，解得．（3）由（2）知，所以，，因为，即，则，或，当时，．当，B为，此时．18．（2024·天津河北·二模）在中，角，，的对边分别为，，，已知.(1)若，求的值和的面积；(2)在（1）的条件下，求的值；(3)若，求的值.【解析】（1）在中，由余弦定理得，即，化简得，解得或(舍)，，，的面积.（2），，.（3）在中，由正弦定理得，，化简得，由余弦定理得，，解得（负值舍去），所以.19．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在中，记角、、的对边分别为、、，已知．(1)求角；(2)已知点在边上，且，，，求的面积．【解析】（1），由正弦定理可得，，，，，；（2）设，，，或4，当时，，，此时三角形为正三角形，当时，，，满足，此时三角形为直角三角形，．1．（2024年上海高考数学真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则(精确到0.1度)【答案】【解析】设，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因为，得，利用计算器即可得，故答案为：.2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，．【答案】/【解析】[方法一]：余弦定理设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为：.[方法二]：建系法令BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理设BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，则，，，当且仅当，即时等号成立.[方法四]：判别式法设，则在中，，在中，，所以，记，则由方程有解得：即，解得：所以，此时所以当取最小值时，，即.3．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c．【解析】（1）由余弦定理有，对比已知，可得，因为，所以，从而，又因为，即，注意到，所以.（2）由（1）可得，，，从而，，而，由正弦定理有，从而，由三角形面积公式可知，的面积可表示为，由已知的面积为，可得，所以.4．（2024年北京高考数学真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．(1)求；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】（1）由题意得，因为为钝角，则，则，则，解得，因为为钝角，则.（2）选择①，则，因为，则为锐角，则，此时，不合题意，舍弃；选择②，因为为三角形内角，则，则代入得，解得，,则.选择③，则有，解得，则由正弦定理得，即，解得，因为为三角形内角，则，则，则5．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周长．【解析】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用极值点求解设，则，显然时，，注意到，，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，即，即，又，故方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设，由题意，，根据向量的数量积公式，，则，此时，即同向共线，根据向量共线条件，，又，故方法五：利用万能公式求