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文档简介
学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精自我小测1.根据下面给出的数塔猜测123456×9+7=()1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111A.1111110B.1111111C.1111112D.11111132.下面使用类比推理,得出正确结论的是()A.“若a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”B.“若(a+b)c=ac+bc"类比推出“(a·b)c=ac·bc”C.“若(a+b)c=ac+bc”类比推出“eq\f(a+b,c)=eq\f(a,c)+eq\f(b,c)(c≠0)"D.“(ab)n=anbn"类比推出“(a+b)n=an+bn"3.数列{an}的前n项和Sn=n2an(n≥2).若a1=1,通过计算a2,a3,a4,猜想an=()A。eq\f(2,(n+1)2)B。eq\f(2,n(n+1))C。eq\f(2,2n-1)D.eq\f(2,2n-1)4.设f1(x)=cosx,f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),fn+1(x)=fn′(x),n∈N+,则f2014(x)等于()A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx5.如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列前n项的和为Sn,则S16等于()A.128B.144C.155D.1646.设函数f(x)=eq\f(x,x+2)(x>0),观察:f1(x)=f(x)=eq\f(x,x+2),f2(x)=f(f1(x))=eq\f(x,3x+4),f3(x)=f(f2(x))=eq\f(x,7x+8),f4(x)=f(f3(x))=eq\f(x,15x+16),…根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N+,且n≥2时,fn(x)=f(fn-1(x))=__________。7.如图,在三棱锥SABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SC⊥SA,且SA,SB,SC和底面ABC所成的角分别为α1,α2,α3,三侧面△SBC,△SAC,△SAB的面积分别为S1,S2,S3,类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想____________________.8.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为eq\f(n(n+1),2)=eq\f(1,2)n2+eq\f(1,2)n。记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下给出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)=eq\f(1,2)n2+eq\f(1,2)n,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)=eq\f(3,2)n2-eq\f(1,2)n,六边形数N(n,6)=2n2-n,…………可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=__________。9.将全体正整数排成一个三角形数阵,如图所示,试求数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数.10.将自然数排成如下的螺旋状:第1个拐弯处的数是2,第2个拐弯处的数是3,则第20个及第25个拐弯处的数各是多少?11.已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对边于A′,B′,C′,则eq\f(OA′,AA′)+eq\f(OB′,BB′)+eq\f(OC′,CC′)=1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”.eq\f(OA′,AA′)+eq\f(OB′,BB′)+eq\f(OC′,CC′)=eq\f(S△OBC,S△ABC)+eq\f(S△OCA,S△ABC)+eq\f(S△OAB,S△ABC)=eq\f(S△ABC,S△ABC)=1。请运用类比思想,对于空间中的四面体ABCD,存在什么类似的结论?并证明.
参考答案1。答案:B2。答案:C3。解析:由已知可得,a2=S2-S1=4a2-a1,解得a2=eq\f(1,3)。代入选项中可知B适合.答案:B4。解析:f1(x)=cosx,f2(x)=f1′(x)=(cosx)′=-sinx,f3(x)=(-sinx)′=-cosx,f4(x)=(-cosx)′=sinx,f5(x)=(sinx)′=cosx,…则fn(x)的取值呈周期性,且4是最小正周期,∴f2014(x)=f2(x)=-sinx.答案:B5.解析:由题意可知该数列的前16项为:1,2,3,3,6,4,10,5,15,6,21,7,28,8,36,9。故S16=1+2+3+…+36+9=164.答案:D6。解析:观察知:四个等式等号右边的分母为x+2,3x+4,7x+8,15x+16,即(2-1)x+2,(4-1)x+4,(8-1)x+8,(16-1)x+16,所以归纳出fn(x)=f(fn-1(x))的分母为(2n-1)x+2n,故当n∈N+,且n≥2时,fn(x)=f(fn-1(x))=eq\f(x,(2n-1)x+2n)。答案:eq\f(x,(2n-1)x+2n)7.解析:如图,在△DEF中,由正弦定理,得eq\f(d,sinD)=eq\f(e,sinE)=eq\f(f,sinF),于是,类比三角形中的正弦定理,在三棱锥SABC中,我们猜想==.答案:==8。解析:由题中数据可猜想:含n2项的系数组成首项是eq\f(1,2),公差是eq\f(1,2)的等差数列,含n项的系数组成首项是eq\f(1,2),公差是-eq\f(1,2)的等差数列,因此N(n,k)=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)+(k-3)\f(1,2)))n2+eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)+(k-3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))))n=eq\f(k-2,2)n2+eq\f(4-k,2)n.故N(10,24)=11n2-10n=11×102-10×10=1000。答案:10009.解:第1行,第2行,第3行,…分别有1,2,3,…个数字,且每个数字前后差1,则第n-1行的最后一个数字再加3即为第n(n≥3)行的从左至右的第3个数,前n-1行共有数字1+2+3+…+(n-1)=eq\f(n(n-1),2),则第n(n≥3)行的从左至右的第3个数为eq\f(n(n-1),2)+3=eq\f(n2-n+6,2)。10.分析:先根据前面的情况归纳出一般结论,再求解.解:前几个拐弯处的数依次是2,3,5,7,10,13,17,21,26,…,这是一个数列,题目要求找出它的第20项和第25项各是多少,因此要找出这个数列的规律.把数列的后一项减去前一项,得一新数列,1,2,2,3,3,4,4,5,5,…,把原数列的第一项2添在新数列的前面,得到2,1,2,2,3,3,4,4,5,5,…,于是,原数列的第n项an就等于上面数列的前n项和,即a1=2=1+1=2,a2=2+1=1+(1+1)=3,a3=2+1+2=1+(1+1+2)=5,a4=2+1+2+2=1+(1+1+2+2)=7,…,所以,第20个拐弯处的数a20=1+(1+1+2+2+3+3+4+4+…+10+10)=1+2×(1+2+…+10)=111.第25个拐弯处的数a25=1+(1+1+2+2+…+12+12+13)=111+2×(11+12)+13=170。11。解:在四面体A。BCD中,任取一点O,连接AO,DO,BO,CO并延长分别交四个面于E,F,G,H点.则eq\f(OE,AE)+eq\f(OF,DF)+eq\f(OG,BG)+eq\f(OH,CH)=1。在四面体O。BCD与A。BCD中,eq\f(OE,AE)=eq\f(hO.BCD,hA.BCD)=eq\f(\f(1,3)S△BCD·hO。BCD,\f(1,3)S△BCD·hA。BCD)=eq\f(VO。BCD,VABCD).同理,eq\f(OF,DF)=eq\f(VO。ABC,VDABC),e
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