甘肃省酒泉市瓜州县重点中学2023-2024学年高三上学期1月期末考试数学试题

甘肃省酒泉市瓜州县重点中学2023-2024学年高三上学期1月期末考试数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．设全集U={x∣x=2k，k∈Z}，集合M={x∣x=4k，A．{x∣x=4k−1，k∈Z} C．{x∣x=4k−3，k∈Z} 2．已知复数z=1−i，则1zA．1+12i B．1−12i3．已知双曲线C：x2a2−y2bA．x2−yC．3x2204．下列可能是函数y=xA． B．C． D．5．已知圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是（）A．73π24 B．3π6 6．记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T，若2π3A．32 B．52 C．17．甲､乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是35和1A．415‘ B．1115 C．2118．已知直线y=k1x与y=k2A．4e B．2a C．4 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知向量a=(xA．若a∥bB．若a⊥bC．当x<2时，a与b的夹角为锐角D．若x=1，则a与b的夹角的余弦值为1010．若一组不完全相同的数据x1，x2，⋯，xn的平均数为x，极差为a，中位数为b，方差为s2，在这组数据中加入一个数x后得到一组新数据A．x'=x B．a'=a 11．设O为坐标原点，直线y=−3(x−1)过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且与CA．p=2 B．|MN|=C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形12．同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线，悬链线的相关理论在工程､航海､光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为f(x)=aex+be−x（其中a，bA．a=b是函数f(x)为偶函数的充分不必要条件B．a+b=0是函数f(x)为奇函数的充要条件C．如果ab<0，那么f(x)为单调函数D．如果ab>0，那么函数f(x)存在极值点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布N(80，σ2)，且成绩在14．与两坐标轴都相切，且圆心在直线2x−y+6=0上的圆的标准方程是.15．“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有个.（用数字作答）16．正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，点E，F分别在线段DD1和线段AA1上，且D1四、解答题：本大题共6小题､共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17．已知数列{an}（1）求数列{a（2）设数列{bn}满足bn=an18．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a=42，b=5，c=7（1）求cosA（2）若点D在边BC上，且BD=3CD，求AD．19．某中学对50名学生的“学习兴趣”和“主动预习”情况进行长期调查，得到统计数据如下表所示：主动预习不太主动预习合计学习兴趣高18725学习兴趣一般61925合计242650（1）现从“学习兴趣一般”的25名学生中，任取2人，用X表示其中“会主动预习”的学生的人数，求X的分布列与数学期望；（2）依据小概率值α=0.参考数据､附表及公式：χ2α0.100.050.0250.0100.0050.001x2.7063.8415.0246.6357.87910.82820．如图，在五面体ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，AC∥DE，且（1）求证：平面ABE⊥平面ABC；（2）求直线AE与平面BDE所成角的余弦值.21．已知椭圆C：x2a2（1）求椭圆C的方程；（2）M，N是椭圆C上的两个动点（M，N与点A不重合），直线AM，AN的斜率之和为4，作AH⊥MN于H.是否存在定点P，使得22．已知函数f(x)=e（1）讨论f(x)的单调性；（2）证明：当x∈(0，2)时，

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】设全集U={x∣x=2k，k∈Z}，集合M={x∣x=4k，k∈Z}={x∣x=2×2k，k∈Z}，

2．【答案】D【解析】【解答】已知复数z=1−i，则1=故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合复数与共轭复数的关系，从而由复数的混合运算法则得出所求复数。3．【答案】B【解析】【解答】已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的焦距为25，所以2c=25，所以c=5，(1)，

又因为点P(2，1)在双曲线C的渐近线上，所以点P在双曲线C的渐近线y=4．【答案】D【解析】【解答】解：函数定义域为R，排除选项A、B，当x=2时，y=x故答案为：D.

【分析】根据函数定义域和特殊值逐项判断即可.5．【答案】A【解析】【解答】设圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为l，

已知圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆，所以πrl=2πlπ=2πr，则r=1l=2，

所以该圆锥的高为h=l2-r2=4-1=3，所以该圆锥的体积为6．【答案】C【解析】【解答】记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T，所以T=2πω，所以ω=2πT，

若2π3<T<π，则1π<1T<32π，所以2<2πT<3，则2<ω<3，

因为y=f(x)的图象关于点(3π2，2)中心对称，

所以7．【答案】D【解析】【解答】设事件A表示“甲能回答该问题”，事件B表示“乙能回答该问题”，事件C表示“这个问题被解答”，又因为甲､乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是35和13，则P(A)=35，P(B)=13，

故P8．【答案】A【解析】【解答】已知直线y=k1x与y=k2x(k1>k2)是曲线y=ax+2ln|x|(a∈R)的两条切线，

所以曲线的切线过原点O(0，0)，

当x>0时，曲线为y=ax+2lnx(a∈R)，

设x1>0，直线y=k1x在曲线上的切点为(x1，ax1+2lnx1)，y'=a+2x1，

所以切线为：y-(ax1+2lnx19．【答案】A,B,D【解析】【解答】已知向量a=(x，1)，b=(−1，2)，

对于A，若a∥b，则2x=-1，所以x=−12，所以A对；

对于B，若a⊥b，则a→·b→=0，所以-x+2=0，则x=2，所以B对；

对于C，当x=-12时，则a→=(-12，1)，所以10．【答案】A,B【解析】【解答】若一组不完全相同的数据x1，x2，⋯，xn的平均数为x，极差为a，中位数为b，方差为s2，在这组数据中加入一个数x后得到一组新数据x，x1，x2，⋯，xn，其平均数为x'=x-+x11．【答案】A,C【解析】【解答】由题意作图如下：

对于A，直线y=−3(x−1)过点(1，0)，所以抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F为(1，0)，

所以p2=1，p=2，所以A对；

对于B，由选项A知p=2得出2p=4，所以抛物线C的标准方程为：y2=4x，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由y12．【答案】B,C,D【解析】【解答】对于A，当a=b时，函数f(x)定义域为R关于原点对称，

f(-x)=ae-x+bex=f(x)，所以函数f(x)为偶函数；

当函数f(x)为偶函数时，f(x)-f(-x)=0，故(a-b)ex-(a-b)e-x=0，

所以a-b=0，所以a=b，所以a=b是函数f(x)为偶函数的充要条件，所以A错‘

对于B，当a+b=0时，函数f(x)的定义域为R关于原点对称，

f(x)+f(-x)=(a+b)ex+(a+b)e-x=0，故函数f(x)为奇函数，

当函数f(x)为奇函数时，f(x)+f(-x)=(a+b)ex+(a+b)e-x=0，所以a+b=0，

所以a+b=0是函数f(x)为奇函数的充要条件，所以B对；

对于C，f'(x)=aex-be−x，因为ab<0，

当a>0，b<0时，则f'(x)=aex-be−x>013．【答案】8【解析】【解答】由X服从正态分布N(80，σ2)，由正态密度曲线的对称性为x=80，成绩在[80，14．【答案】(x+2)【解析】【解答】设圆心C(a，b)，因为圆与两坐标轴都相切，则半径为r=a=b，

且圆心到两坐标轴的距离相等，所以a=b，(1)，

又因为圆心在直线2x−y+6=0上，所以2a-b+6=0，(2)，(1)(2)联立得出a=-6b=-6或a=-2b=2，

所以r=2或r=6，所以圆的标准方程是(x+215．【答案】225【解析】【解答】根据题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同且不能为0，千位与十位数字相同，求在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类方法：

最多一个0：取奇数字有A51种，取能重复的偶数字有A41种，它们排入数位有A22种，取偶数字占百位有A51种，所以满足要求的不同的“回文数”的个数是A51A41A216．【答案】10​​​​​​​【解析】【解答】依题意，在BB1上取点H，使得B1H=13BB1，在CC1上取点G，使得CG=13CC1，连接FH，EG，HG，D1H，D1G，作出以下图形，

根据正方体的性质可知，AA1∥BB1，AA1=BB1，

由已知可得，A1F=12AF=13AA1，又B1H=13BB1，所以B1H=1317．【答案】（1）解：设等比数列{an}的公比为q(q>0∵{an}是由正数组成的等比数列，则a1>0，q>0，则q2+q−20=0，解得q=4或（2）解：bn所以T=(1+4+16+⋯+=1×(1−【解析】【分析】（1）利用数列{an}是由正数组成的等比数列，所以得出公比为正，再利用a5=256，a3+a4=20a2结合等比数列的通项公式，进而解方程组得出等比数列的首项和公比的值，再结合等比数列的通项公式，进而得出数列{a18．【答案】（1）解：在△ABC中，因为a=42，b=5，c=7由余弦定理可得cos（2）解：因为点D在边BC上，且BD=3CD，所以BD=32，CD=又因为cosB=在△ABD中，由余弦定理得AD2=【解析】【分析】(1)由已知利用余弦定理即可求解cosA的值；

(2)由已知可求BD的值，进而利用余弦定理可求cosB的值，在△ABD中，由余弦定理可求AD的值.19．【答案】（1）解：依题意，随机变量X∼H(2，6，X012P57191所以X的数学期望是E(X)=0×（2）解：提出零假设H0χ2因此在犯错率小于0.001的条件下，认为“学习兴趣”与“主动预习”有关.【解析】【分析】（1）利用已知条件得出随机变量满足超几何分布，进而得出随机变量的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望.

（2）利用已知条件结合独立性检验的方法，所以在犯错率小于0.001的条件下，认为“学习兴趣”与“主动预习”有关.20．【答案】（1）证明：分别取BC､BA的中点M､N，连接DM､MN､EN，∵M､N分别是BC､BA的中点，∴MN∥AC，且AC=2MN，又∵AC∥DE，且AC=2DE，∴MN∥DE且MN=DE，可得四边形MNED是平行四边形，可知EN∥DM，∵DB=DC､BM=CM，∵AC⊥平面BCD，DM⊂平面∵AC∩BC=C，AC，∴DM⊥平面ABC，结合EN∥DM，得EN⊥平面ABC，又∵EN⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面（2）解：由（1）知DM⊥平面ABC，AC⊥BC即以MN､MB､MD所在直线为x轴､y轴､z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(所以AE=(−1，1，3)，BD=(0，−1，3)，∵cos∴若AE与平面BDE的所成角为α，则sinα=155，可得∴直线AE与平面BDE的余弦值为105【解析】【分析】（1）利用中位线的性质，进而得出线段平行和线段相等，再结合平行四边形得出线线平行，再利用等腰三角形三线合一证出线线垂直，得到证出线面垂直，最后由线面垂直证出面面垂直.（2）由（1）结合线面垂直的性质定理证出线线垂直，从而建立空间直角坐标系，利用坐标法求得直线AE与平面BDE的余弦值.21．【答案】（1）解：由题意可得b=1，ca=63（2）解：设直线MN为x=my+n，联立椭圆C：(m2+3)y2则y1+y2=−∴=2m⋅∴m=n+12，∴直线MN可化为∴直线MN过定点Q(−1又A(0