浙江省宁波市2024-2025学年高二数学上学期期中试题含解析

Page18浙江省宁波市2024-2025学年高二数学上学期期中试题一、单项选择题：本大题共8题，每题5分，共40分.1.已知直线的斜率为2，且过点，则直线的一般方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出直线的点斜式方程，再化为一般方程可得答案.【详解】因为直线的斜率为2，且过点，由直线的点斜式方程可得，则直线的一般方程是.故选：A.2.在空间直角坐标系中，，，，则，，三点所在平面的其中一个法向量的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据法向量的求解方法求解即可.【详解】解：由题知，设平面的一个法向量为，所以，，即，令，则所以，.故选：B3.直线：在轴，轴上的截距之和是（）A.7 B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】把直线化为截距式，得到在两坐标轴的截距即可求解【详解】直线：化为截距式得，则直线：在轴，轴上的截距分别为：，所以直线：在轴，轴上的截距之和是，故选：D4.若方程：表示圆，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据二元二次方程表示圆的条件，列出不等式，解之即可.【详解】因为方程：表示圆，则有，解得：，故选：B.5.《九章算术》中的“商功”篇主要讲解并描述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】连接，由，即可求出答案.【详解】连接如下图：由于是的中点，.依据题意知..故选：C.6.已知圆：，则直线：被圆截得的弦长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成的直角三角形计算可得答案.【详解】圆的圆心，半径为，圆心到直线的距离为，则直线被圆截得的弦长为.故选：A.7.已知，，，若，，共面，则实数的值等于（）A. B. C. D.0【答案】D【解析】【分析】依据向量共面的性质，得到，列方程求解即可.【详解】，，共面，可得，则，解得故选：D8.已知圆：，则动直线：所截得弦长的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得动直线过定点，再依据时，弦长最短和动直线过圆心时，弦长最长求解.【详解】解：由，解得，则动直线：过定点，当时，弦长最短，此时，所以最短弦长，当动直线过圆心时，弦长最长，即为直径，所以所截得弦长的取值范围是，故选：D二、多项选择题：本大题共4题，每题5分，共20分.9.关于椭圆：，下列叙述正确的是（）A.焦点在轴上 B.长轴长为4 C.离心率为 D.过点【答案】BC【解析】【分析】依据椭圆的标准方程，可推断A项；求出a，b，c的值，可推断B，C项；代入推断D项.【详解】由已知，椭圆的焦点在轴上，a=2，，c=1，则长轴长为2a=4，离心率为.将点代入椭圆方程左边得，不满意，即点不在椭圆上.故选：BC.10.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.，，则 B.，，则C，，则 D.，，则【答案】BD【解析】【分析】依据直线与直线、直线与平面，平面与平面位置关系，逐项进行检验即可求解.【详解】对于选项A，因为，，所以直线，可以相交或或与异面，故选项A错误；对于选项B，因为，，所以，故选项B正确；对于选项C，因为，，所以或相交，故选项C错误；对于选项D，因为，，所以，故选项D正确，故选：BD.11.已知圆：，圆：，下列描述正确的是（）A.，两圆内含 B.两圆相切C.两圆相交 D.两圆公共弦所在的直线过原点【答案】ABCD【解析】【分析】利用两圆的位置关系求解推断.【详解】解：已知圆：，圆：，若两圆内含，则，即或（舍去），解得，故A正确；若两圆相切，则或，解得或，故B正确；若两圆相交，则，解得，故C正确；当时，，两圆方程相减得，所以两圆公共弦所在的直线过原点，故D正确；故选：ABCD12.如图，已知正方体的棱长为2，点，在平面内，若，，则下述结论正确的是（）A.到直线的最大距离为 B.点的轨迹是一个圆C.的最小值为 D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】CD【解析】【分析】选项A：由，得，分析得的轨迹为圆，再求最值即可；选项B：由平面，而点在上，即的轨迹为线段；选项C：由E的轨迹为圆，的轨迹为线段，可分析得；选项D：建立空间直角坐标系，用向量法求最值.【详解】对于A:，即，所以，即点E在面内，以为圆心、半径为1的圆上,所以，当位于中点时，到直线的距离最大，为，故A错误；对于B:正方体中，，又，且，所以平面，所以点F在上，即的轨迹为线段，故B错误；对于C:在平面内，到直线的距离为当点，落在上时，；故C正确；对于D:建立如图示的坐标系，则,由B选项的证明过程可知：的轨迹为线段，所以设，则，则，而设平面的法向量，则有，不妨令，则，设与平面所成角为，则：当时，有最大值，故D正确；故选：CD三、填空题：本大题共4题，每题5分，共20分.13.已知直线：，：，则两直线的距离是______.【答案】【解析】【分析】由平行线间距离公式进行计算.【详解】由平行线间距离公式得：.故答案为：.14.已知，，且，则等于______.【答案】####4.5【解析】【分析】先利用空间向量线性运算法则计算出，，再由向量平行得到方程组，求出的值，求出.【详解】，，因为，所以存在非零实数，使得，故，解得：，故.故答案为：.15.点到两定点，的距离之和为6，则点的轨迹方程是______.【答案】【解析】【分析】由椭圆的定义求解即可【详解】因为，由椭圆的定义可知，动点点的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆，所以，，所以点的轨迹方程是，故答案为：16.若直线：始终平分圆：的周长，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】依据已知条件，直线过圆心，得到a，b的关系式，代入式子可得到二次式，求二次函数的最小值即可.【详解】圆：，圆心为（-2，-1），半径为2，由已知可得，直线：过圆心，即有，即，则代入故答案为：20.四、解答题：本大题共6题，第17题10分，18至22题每题12分，共70分.17.已知点，，直线：.（1）直线过点，，求直线的一般方式；（2）求过中点且与直线垂直的直线方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得斜率，再利用点斜式求解；（2）先求得AB的中点坐标，再依据垂直得到斜率求解.【小问1详解】解：因为点，，所以所以直线方程为：，化为一般式方程为：；【小问2详解】因为点，，由中点公式得AB的中点坐标为，又所求直线斜率为，所以直线方程为：.18.在正方体中，是的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）依据已知条件及三角形的中位线定理，结合线面平行的判定定理即可求解；（2）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面法向量，结合点到面的距离公式即可求解.【小问1详解】连接，交于,连接，在正方体中，平面为正方形，所以是的中点，又因为是的中点，所以为的中位线，所以，又平面，平面，所以平面；【小问2详解】以坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示设不妨设正方体棱长为2，则,所以，,设平面的法向量为，则,即，令，则，所以平面的法向量，所以点到平面的距离为.19.已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，离心率.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线：与椭圆有两个交点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用椭圆的离心率公式及短轴长，结合椭圆中的关系即可求解；（2）利用直线与椭圆的位置关系及一元二次不等式的解法即可求解.【小问1详解】由题意可知，，解得，故椭圆标准方程为.【小问2详解】由，消去，得，因为直线与椭圆有两个交点，所以，即，解得，所以实数的取值范围为.20.如图：在多面体中，四边形是正方形，平面，，，点为棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由三角形中位线的平行性证得MN平面EFC，由平行四边形的平行性证得BD平面EFC，从而证出平面BMD平面EFC.（2）以D为原点建系后，利用线面角公式计算即可.【小问1详解】连接，交于N，则N为的中点.∵M为AE的中点，∴∵MN平面EFC，EC平面EFC，∴MN平面EFC∵∴四边形BDEF为平行四边形，∴∵BD平面EFC，EF平面EFC，∴BD平面EFC又∵，MN、BD平面BDM∴平面BMD平面EFC【小问2详解】∵，BF⊥平面ABCD∴DE⊥平面ABCD又∵四边形ABCD是正方形∴DA、DC、DE两两垂直∴以D为原点，分别以DA、DC、DE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设AB=2，则DE=4，则，，，∴，，设平面BDM的一个法向量由得令x=2，得y=－2，z=－1，∴设AE与平面BDM所成的角为，∴直线AE与平面BDM所成角的正弦值为.21.已知平面，，是正三角形，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点为，通过证明面，即可由线面垂直证明面面垂直；（2）依据（1）中所证，先找到二面角的平面角，再解三角形即可.【小问1详解】取中点分别为，连接，如下所示:因为面面，故；又△为等边三角形，故；又面，故面；又在△中，分别为的中点，故//；因为面面，故//，又；故//，则四边形为平行四边形，则//，故面，又面，故面面.【小问2详解】连接，过作，连接，如下所示：在△中，因为为中点，故，又由（1）可得：平面面，又面面，面，故面，故即为所求二面角的平面角；设，易知，，，，故在△中，由余弦定理可得，则，则在△中，，解得；又在△中，，，故，故二面角的余弦值为.22.平面直角坐标系中，圆M经过点，，．（1）求圆M的方程；（2）设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上，过点D作与直线垂直的直线，交圆M于E、F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值．【答案】（1）（2）7【解析】【分