统考版2025届高考数学全程一轮复习第十二章复数推理与证明算法第三节直接证明和间接证明学生用书

第三节干脆证明和间接证明·最新考纲·1．了解干脆证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思索过程、特点．2．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思索过程、特点．·考向预料·考情分析：干脆证明与间接证明是中学数学的重要推理方法，它们仍是高考的考点，题型将是选择或填空题．学科素养：通过干脆证明和间接证明的应用考查逻辑推理的核心素养．积累必备学问——基础落实赢得良好开端一、必记3个学问点1．干脆证明内容综合法分析法定义从已知条件动身，经过逐步的推理，最终达到待证结论的方法，是一种从____推导到____的思维方法从待证结论动身，一步一步寻求结论成立的充分条件，最终达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从____追溯到产生这一结果的____的思维方法特点从“____”看“____”，逐步推向“未知”，其逐步推理，事实上是要找寻它的____条件从“____”看“____”，逐步靠拢“____”，其逐步推理，事实上是要找寻它的____条件2.间接证明——反证法要证明某一结论Q是正确的，但不干脆证明，而是先去____________(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推理，最终得出________，因此说明非Q是________的，从而断定结论Q是________的，这种证明方法叫做反证法．3．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取________(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对____________________都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．二、必明2个常用结论1．分析法与综合法的应用特点：对较困难的问题，经常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉运用．2．利用反证法证明的特点：要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，假如没有用假设命题推理而推出冲突结果，其推理过程是错误的．三、必练2类基础题(一)推断正误1．推断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)综合法是干脆证明，分析法是间接证明．()(2)分析法是从要证明的结论动身，逐步找寻使结论成立的充要条件．()(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出冲突．()(二)教材改编2．[选修1－2·P42练习T2改编]若P＝a+6+a+7，Q＝a+8+a+5(a≥0)，则A．P＞QB．P＝QC.P＜QD．不能确定3．[选修1－2·P52T2改编]6－22与5-提升关键实力——考点突破驾驭类题通法考点一综合法的应用[综合性][例1]设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ca≤13(2)a2听课笔记：一题多变(变问题)若例1条件不变，证明：a2＋b2＋c2≥13反思感悟综合法证题的思路与方法【对点训练】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C＝2π3，求证：5a＝3b考点二分析法的应用[综合性][例2]已知a＞0，证明：a2+1a2听课笔记：反思感悟分析法的证题思路分析法的证题思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等．通常采纳“欲证—只需证—已知”的格式，在表达中要留意叙述形式的规范．【对点训练】设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋1xy≤1考点三反证法的应用[综合性][例3]已知非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列，求证：1a，听课笔记：反思感悟反证法证明问题的一般步骤(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；(2)归谬——把“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出冲突；(3)存真——由冲突结坚决定反设错误，从而确定原结论成立．应用反证法时，当原命题的结论的反面有多种状况时，要对结论的反面的每一种状况都进行探讨，从而达到否定结论的目的．【对点训练】设a＞0，b＞0，且a＋b＝1a(1)a＋b≥2；(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不行能同时成立．考点四数学归纳法的应用[综合性]角度1用数学归纳法证明不等式[例4]用数学归纳法证明：1＋n2≤1＋12+13＋…＋12n≤听课笔记：反思感悟数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他方法不易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设运用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.角度2归纳——猜想——证明[例5]设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围．听课笔记：反思感悟归纳—猜想—证明问题的一般步骤第一步：计算数列前几项或特别状况，视察规律揣测数列的通项或一般结论；其次步：验证一般结论对第一个值n0(n0∈N*)成立；第三步：假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时结论成立，证明当n＝k＋1时结论也成立；第四步：下结论，由上可知结论对随意n≥n0，n∈N*成立．【对点训练】1．数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12n-12．已知正项数列{an}中，对于一切的n∈N*均有an2≤an－an(1)证明：数列{an}中的随意一项都小于1；(2)探究an与1n第三节干脆证明和间接证明积累必备学问一、1．缘由结果结果缘由已知可知必要未知需知已知充分2．假设Q不成立冲突错误正确3．(1)第一个值n0(2)n＝k＋1从n0起先的全部正整数n三、1．答案：(1)×(2)×(3)×2．解析：假设P＞Q，只需P2＞Q2，即2a＋13＋2a+6a+7＞2a＋13＋2a+8a+5，只需a2＋13a＋42＞a2＋13a＋40.因为42＞40成立，所以P＞答案：A3．解析：假设6－22＞5-要证6－22＞5-7，只需证6+7＞即证13＋242＞13＋410，即42＞210.因为42＞40，所以6－22＞5-答案：6－22＞5提升关键实力考点一例1证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13当且仅当“a＝b＝c”时等号成立．(2)因为a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2当且仅当“a2＝b2＝c2”时等号成立，故a2b+b2c+c2a＋(a＋即a2b+b2c+c2一题多变证明：因为a＋b＋c＝1，所以1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac.因为2ab≤a2＋b2，2bc≤b2＋c2，2ac≤a2＋c2，当且仅当“a＝b＝c”时等号成立，所以2ab＋2bc＋2ac≤2(a2＋b2＋c2)，所以1≤a2＋b2＋c2＋2(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥13对点训练证明：(1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．(2)由C＝2π3，c＝2b－a(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以ab＝35，即5a＝3考点二例2证明：要证a2+1a2只需证a2+1a2因为a＞0，故只需证(a2+1a2＋2)2≥(a＋1a+2)2，即a2＋1a2＋4a2+1a2＋4≥a2＋2＋1a2＋22(a＋1a)＋2，从而只需证2a2+1a对点训练证明：由于x≥1，y≥1，所以要证明x＋y＋1xy≤1只要证明xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2，只要证明(xy)2－1＋(x＋y)－xy(x＋y)≥0，只要证明(xy－1)(xy＋1－x－y)≥0，只要证明(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.由于x≥1，y≥1，上式明显成立，所以原命题成立．考点三例3证明：假设1a则2b＝1所以2ac＝bc＋ab，①又a，b，c成等差数列且公差d≠0，所以2b＝a＋c，②所以把②代入①，得2ac＝b(a＋c)＝b·2b，所以b2＝ac，③由②平方，得4b2＝(a＋c)2，④把③代入④，得4ac＝(a＋c)2，所以(a－c)2＝0，所以a＝c.代入②，得b＝a，故a＝b＝c，所以数列a，b，c的公差为0，这与已知冲突，所以1a，对点训练证明：由a＋b＝1a+1b＝a+bab，a(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，则由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1；同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab＝1冲突．故a2＋a＜2与b2＋b＜2不行能同时成立．考点四例4证明：①当n＝1时，左边＝1＋12，右边＝1所以32≤1＋1②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，即1＋k2≤1＋12+13则当n＝k＋1时，1＋12+13＋…＋12k+12k+1又1＋12+13＋…＋12k+12k+1+12k即n＝k＋1时，命题成立．由①②可知，命题对全部n∈N*都成立．例5解析：由题设得g(x)＝x1+x(x(1)由已知，g1(x)＝x1+xg2(x)＝g(g1(x))＝x1+x1+xg3(x)＝x1+3x，…，可猜想gn(x)＝x下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，g1(x)＝x1+x②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即gk(x)＝x1+kx则当n＝k＋1时，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝gkx1+gk即n＝k＋1时结论成立．由①②可知，结论对n∈N*都成立．(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥ax1+x设φ(x)＝ln(1＋x)－ax1+x(x则φ′(x)＝11+x-a当a≤1时，φ′(x)≥0(当且仅当x＝0，a＝1时等号成立)，所以φ(x)在[0，＋∞)上单调递增．又φ(0)＝0，所以φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以当a≤1时，ln(1＋x)≥ax1+x恒成立(当且仅当x当a＞1时，对x∈[0，a－1]，有φ′(x)≤0，所以φ(x)在[0，a－1]上单调递减，所以φ(a－1)＜φ(0)＝0.即当a＞1时，存在x＞0，使φ(x)＜0，所以ln(1＋x)≥ax1+x综上可知，a的取值范围是(－∞，1].对点训练1．证明：①当n＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝因为左边＞右边，所以不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12k-1则当n＝k＋1时，(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12k-1)·1+12k+1-1＞2k+12＝2k+32k+122k+1所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由①②知对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．2