统考版2025届高考数学全程一轮复习课时作业12函数模型及其应用理

课时作业12函数模型及其应用[基础落实练]一、选择题1．物价上涨是当前的主要话题，特殊是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预料，这四种方案均能在规定的时间T内完成预料的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()2.某厂有很多形态为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y应分别为()A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝143．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满意函数关系p＝at2＋bt＋c(a、b、c是常数)，下图记录了三次试验的数据，依据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为()A．3.50分钟 B．3.75分钟C．4.00分钟 D．4.25分钟4．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票实惠方案如表：购票人数1～5051～100100以上门票价格13元/人11元/人9元/人两个旅游团队支配巡游该景点，若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成一个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为()A．20B．30C．35D．405．[2024·武汉检测]人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满意d(x)＝9lgeq\f(x,1×10－13).一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的()A．1倍 B．10倍C．100倍 D．1000倍二、填空题6．“好酒也怕巷子深”，很多闻名品牌是通过广告宣扬进入消费者视线的．已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满意关系R＝aeq\r(A)(a为常数)，广告效应为D＝aeq\r(A)－A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________(用常数a表示).7．2024年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标记着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而削减”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满意N＝N0·2-t5730(N0表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的eq\f(1,2)至eq\f(3,5)，据此推想良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．(参考数据：log23≈1.6，log25≈2.3)8.[2024·陕西咸阳二模]为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司探讨出一种消毒剂，据试验表明，该药物释放量y(mg/m3)与时间t(h)的函数关系为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kt，0<t<\f(1,2)，,\f(1,kt)，t≥\f(1,2)))，(如图所示)试验表明，当药物释放量y<0.75(mg/m3)时对人体无害．(1)k＝________；(2)为了不使人身体受到药物损害，若运用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间．三、解答题9．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．探讨表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在肯定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等缘由，v的值为0千克/年．(1)当0<x≤20时，求v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．10．某地下车库在排气扇发生故障的状况下测得空气中一氧化碳含量达到了危急状态，经抢修排气扇复原正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm，接着排气4分钟后又测得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c(eq\f(1,2))mt(c，m为常数).(1)求c，m的值；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？[素养提升练]11．[2024·威海调研改编]小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的状况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(7,20)x＋1，0<x≤1，,\f(1,5)＋\f(9,20)x－\f(1,2)，1<x≤30.))则下列说法不正确的是()A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低B．第一天小菲的单词记忆保持量下降的最多C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%12．天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，它就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满意m1－m2＝2.5(lgE2－lgE1).其中星等为mi的天体的亮度为Ei(i＝1，2).已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是(当|x|较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2)()A．1.24 B．1.25C．1.26 D．1.2713．[2024·河南安阳模拟]5G技术的数学原理之一便是闻名的香农公式：C＝Wlog2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(S,N))).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中eq\f(S,N)叫做信噪比．依据香农公式，若不变更带宽W，而将信噪比eq\f(S,N)从1000提升至2000，则C大约增加了()A．10%B．30%C．50%D．100%14.某公司支配投资开发一种新能源产品，预料能获得10～1000万元的收益．现打算制定一个对开发科研小组的嘉奖方案：资金y(单位：万元)随收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金总数不超过9万元，同时奖金总数不超过收益的20%.(1)若建立嘉奖方案函数模型y＝f(x)，试确定这个函数的定义域、值域和eq\f(y,x)的范围；(2)现有两个嘉奖函数模型：①y＝eq\f(x,150)＋2；②y＝4lgx－3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求？请说明理由．15．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”供应了极大的便利，某共享单车公司支配在甲、乙两座城市共投资240万元．依据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满意P＝4eq\r(2a)－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满意Q＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a＋2，80≤a≤120，,32，120<a≤160，))设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；(2)试问：如何支配甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？课时作业12函数模型及其应用1．解析：由运输效率（单位时间的运输量）逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应渐渐增大，故函数的图象应始终是下凹的．答案：B2．解析：由三角形相像得eq\f(24－y,24－8)＝eq\f(x,20)，得x＝eq\f(5,4)（24－y），0<x≤20，8≤y<24，所以S＝xy＝－eq\f(5,4)（y－12）2＋180，所以当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.检验符合题意．答案：A3．解析：由题意可知p＝at2＋bt＋c过点（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），代入p＝at2＋bt＋c中可解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2，∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2（t－3.75）2＋0.8125∴当t＝3.75分钟时，可食用率最大．答案：B4．解析：设两个旅游团队的人数分别为a，b，且a，b∈N*，不妨令a≥b.因为1290不能被13整除，所以a＋b≥51.若51≤a＋b≤100，则11（a＋b）＝990，得a＋b＝90，①由共需支付门票费为1290元可知，11a＋13b＝1290，②联立①②解得b＝150，a＝－60，不符合题意；若a＋b>100，则9（a＋b）＝990，得a＋b＝110，③由共需支付门票费为1290元可知，1≤b≤50，51≤a≤100，得11a＋13b＝1290，④联立③④解得a＝70，b＝40.所以这两个旅游团队的人数之差为70－40＝30.答案：B5．解析：设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为x1W/m2，x2W/m2，依据题意得d（x1）＝9lgeq\f(x1,1×10－13)＝63，解得x1＝10－6，d（x2）＝9lgeq\f(x2,1×10－13)＝54，解得x2＝10－7，所以eq\f(x1,x2)＝10，因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍．答案：B6．解析：令t＝eq\r(A)（t≥0），则A＝t2，∴D＝at－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)a))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)a2，∴当t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2时，D取得最大值．答案：eq\f(1,4)a27．解析：当t＝5730时，N＝N0·2－1＝eq\f(1,2)N0，∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的eq\f(1,2).令N＝eq\f(3,5)N0，则2－eq\f(t,5730)＝eq\f(3,5)，∴－eq\f(t,5730)＝log2eq\f(3,5)＝log23－log25≈－0.7，∴t＝0.7×5730＝4011，∴良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间．答案：eq\f(1,2)40118．解析：（1）由题图可知，当t＝eq\f(1,2)时，y＝1，所以eq\f(2,k)＝1，所以k＝2.（2）由（1）可知，y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2t，0<t<\f(1,2)，,\f(1,2t)，t≥\f(1,2)，))当t≥eq\f(1,2)时，y＝eq\f(1,2t)，令y<0.75，得t>eq\f(2,3)，所以在消毒后至少经过eq\f(2,3)小时，即40分钟人方可进入房间．答案：（1）2（2）409．解析：（1）由题意得当0<x≤4时，v＝2；当4≤x≤20时，设v＝ax＋b，a≠0，明显v＝ax＋b在[4，20]内是减函数，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20a＋b＝0，,4a＋b＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,8)，,b＝\f(5,2)，))所以v＝－eq\f(1,8)x＋eq\f(5,2)，故函数v＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤4，x∈N＋,－\f(1,8)x＋\f(5,2)，4<x≤20，x∈N＋.))（2）设年生长量为f（x）千克/立方米，依题意并由（1）可得f（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，0<x≤4，,－\f(1,8)x2＋\f(5,2)x，4<x≤20.))当0<x≤4时，f（x）为增函数，故f（x）max＝f（4）＝4×2＝8；当4<x≤20时，f（x）＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(5,2)x＝－eq\f(1,8)（x2－20x）＝－eq\f(1,8)（x－10）2＋eq\f(25,2)，f（x）max＝f（10）＝12.5.所以当0<x≤20时，f（x）的最大值为12.5.因为8<12.5，所以当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．10．解析：（1）由题意可列方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64＝c（\f(1,2)）4m，,32＝c（\f(1,2)）8m，))两式相除，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝128，,m＝\f(1,4)．))（2）由题意可列不等式128(12)所以(12)14t≤（eq\f(1,2)）8，即14t≥故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．11．解析：由函数解析式可知f（x）随着x的增加而削减，故A正确；由图象可得B正确；当1＜x≤30时，f（x）＝eq\f(1,5)＋eq\f(9,20)x－eq\f(1,2)，则f（9）＝eq\f(1,5)＋eq\f(9,20)×9－eq\f(1,2)＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C正确；f（26）＝eq\f(1,5)＋eq\f(9,20)×26－eq\f(1,2)>eq\f(1,5)，故D错误．答案：D12．解析：由题意，得1－1.25＝2.5（lgE2－lgE1），∴lgeq\f(E1,E2)＝eq\f(1,10)，解得r＝eq\f(E1,E2)＝10eq\s\up6(\f(1,10)).∵10x≈1＋2.3x＋2.7x2（|x|较小），∴r≈1＋2.3×eq\f(1,10)＋2.7×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(2)＝1.257.故与r最接近的是1.26.答案：C13．解析：将信噪比eq\f(S,N)从1000提升至2000，C大约增加了eq\f(Wlog2（1＋2000）－Wlog2（1＋1000）,Wlog2（1＋1000）)×100%＝eq\f(log22001－log21001,log21001)×100%≈eq\f(10.967－9.967,9.967)×100%≈10%.答案：A14．解析：（1）y＝f（x）的定义域是[10，1000]，值域是（0，9]，eq\f(y,x)∈（0，0.2].（2）①不符合，②符合．理由如下：当y＝eq\f(x,150)＋2时，eq\f(y,x)＝eq\f(1,150)＋eq\f(2,x)的最大值是eq\f(31,150)>0.2，不符合公司的要求．当y＝4lgx－3时，函数在定义域上为增函数，最大值为9.由eq\f(y,x)≤0.2可知y－0.2x≤0.令g（x）＝4lgx－3－0.2x，x∈[10，1000]，则