统考版2025届高考数学全程一轮复习课时作业62古典概型几何概型理

课时作业62古典概型、几何概型[基础落实练]一、选择题1．[2024·湖南长沙一中大联考]某探讨学习小组为探讨学校学生一个月课余运用手机的总时间，收集了500名学生2024年12月课余运用手机的总时间(单位：小时)的数据．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50人中，恰有2名女生的课余运用手机总时间在区间[18，20]内，现在从课余运用手机总时间在[18，20]内的学生中随机抽取2人，则至少抽到1名女生的概率为()A．eq\f(2,5)B．eq\f(7,10)C．eq\f(8,15)D．eq\f(7,15)2．[2024·广东汕头一模]在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成果是依据3(语文、数学、英语)＋2(物理、历史)选1＋4(化学、生物、地理、政治)选2的模式设置的，则在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,12)D．eq\f(1,2)3．德国心理学家艾宾浩斯探讨发觉，遗忘在学习之后马上起先，而且遗忘的进程并不是匀称的．最初遗忘速度很快，以后渐渐减慢．他认为“保持和遗忘是时间的函数”．他用无意义音节(由若干音节字母组成、能够读出、但无内容意义即不是词的音节)作为记忆材料，用节约法计算保持和遗忘的数量，并依据试验结果绘成描述遗忘进程的曲线．即闻名的艾宾浩斯遗忘曲线(如图所示).若一名学生背了100个英语单词，一天后，该学生在这100个英语单词中随机听写2个英语单词，以频率代替概率，不考虑其他因素．则该学生恰有1个单词不会的概率大约为()A．0.43B．0.39C．0.26D．0.154．[2024·安徽安庆一模]蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同肯定的概率模型相联系．用匀称投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计试验法，现设计一个试验计算圆周率的近似值，向两直角边长分别为6和8的直角三角形中匀称投点40个．落入其内切圆中的点有21个，则圆周率π≈()A．eq\f(63,20)B．eq\f(51,16)C．eq\f(78,25)D．eq\f(94,29)5．[2024·辽宁辽南协作体联考]1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教化日志》上发表了勾股定理的一种证明方法．即在如图的直角梯形ABCD中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形的面积”，可以简洁明白地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国其次十任总统．后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”．如图，设∠ECB＝60°，在梯形ABCD中随机取一点．则此点取自等腰直角△CDE中(阴影部分)的概率是()A．2(2－eq\r(3))B．2－eq\r(3)C．eq\r(3)－1D．2(eq\r(3)－1)二、填空题6．[2024·重庆模拟]已知某信号传送网络由信号源甲和三个基站乙、丙、丁共同构成，每次信号源甲等可能地向三个基站中的一个发送信号．乙基站接收到的每条信号等可能地传送给丙基站和丁基站中的一个，丙基站接收到的每条信号只会传送给丁基站，丁基站只接收信号．对于信号源甲发出的一条信号．丙基站能接收到的概率为________．7．[2024·辽宁百校联盟调研]某中学为了解学生学习物理的状况，抽取了100名物理成果在60～90分(满分为100分)之间的学生进行调查，将这100名学生的物理成果分成了六段：[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]，绘成频率分布直方图，如图所示．从成果在[70，80)的学生中随意抽取2人．则成果在[75，80)的学生恰好有一人的概率为________．8．[2024·广东东莞调研]已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)，当x，y∈R时，点P满意(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率为________．三、解答题9．已知关于x的一次函数y＝kx＋b(x∈R).(1)设集合P＝{－1，1，2，3}，从集合P中随机取一个数作为k，求函数y＝kx＋b是减函数的概率；(2)实数对(k，b)满意条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b－1≤0，,0<k<1，,－1≤b≤1.))求函数y＝kx＋b的图象不经过第四象限的概率．10.某商场实行有奖促销活动，顾客购买肯定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出全部可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．[素养提升练]11．[2024·湖南岳阳一模]“华东五市游”作为中国一条精品旅游路途，始终受到广阔旅游爱好者的欢迎．现有4名高三学生打算2024年高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游．假设每名同学均从这四个地方中随意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为()A．eq\f(7,16)B．eq\f(9,16)C．eq\f(27,64)D．eq\f(81,256)12．[2024·河北邯郸模拟]公元前5世纪下半叶，希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以O为圆心的大圆直径为4，以AB为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形区域的面积与△AOB的面积相等．现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自阴影部分的概率是()A．eq\f(π＋3,8π＋4)B．eq\f(π＋6,8π＋4)C．eq\f(π＋3,4π＋2)D．eq\f(π＋6,4π＋2)13．[2024·辽宁丹东模拟]一口袋中装有大小完全相同的红色、黄色、蓝色小球各一个，从中随机摸出一个球，登记颜色后放回袋中接着摸球，当三种颜色都被记到就停止摸球，则恰好摸球五次就停止摸球的概率为________．14．[2024·东北三省四市教研联合体模拟]在一个文艺竞赛中，5名专业人士和5名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分．下面是两组评委对同一名选手的打分：小组A9295939590小组B9880908597(1)请推断小组A与小组B哪一个更像是由专业人士组成的；(不必说明理由)(2)若从A组的5位评委中任选2位评委，求其中恰有一位评委打分为95分的概率．15．[2024·辽宁“决胜新高考·名校沟通”3月联考]当前，全国上下正处在新冠肺炎疫情“外防输入，内防反弹”的关键时期，为深化实行习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，学校始终把师生生命平安和身体健康放在第一位．结合全国第32个爱国卫生月要求，某班组织开展了“战疫有我，爱卫同行”防控疫情学问竞赛，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有1道是送分题(即每位同学至少答对1题).若每次每组答对的题数之和为3的倍数，则原答题组的人接着答题；若答对的题数之和不是3的倍数，则由对方组接着答题．假设每位同学每次答题之间相互独立，无论答对几道题概率都一样，且每次答题依次不作考虑，第1次由甲组起先答题．(1)若第n次由甲组答题的概率为Pn，求Pn；(2)前4次答题中甲组恰好答题2次的概率为多少？课时作业62古典概型、几何概型1．解析：50×0.05×2＝5，则在区间[18，20]内的学生有5人，即2名女生，3名男生，从中抽取2人有10种等可能的结果，至少抽到一名女生有7种等可能的结果，则所求概率为eq\f(7,10).答案：B2．解析：由题意得出甲、乙两位同学选考科目的总数为Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝144种，若相同的科目为4选2的科目，则有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))＝12种；若相同的科目分别为2选1和4选2中的1个，则有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＝48种．所以所求概率为eq\f(12＋48,144)＝eq\f(5,12).答案：C3．解析：依据艾宾浩斯遗忘曲线得，100个英语单词一天后遗忘了74个，还记得26个，则该学生恰有1个单词不会的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(74))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(26)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(100)))≈0.39.答案：B4．解析：由勾股定理可得斜边长为eq\r(62＋82)＝10，设三角形内切圆的半径为r，由等面积法可得eq\f(1,2)×（8＋6＋10）r＝eq\f(1,2)×8×6，解得r＝2，所以S△＝eq\f(1,2)×8×6＝24，S圆＝π×22＝4π，由题意知eq\f(S圆,S△)＝eq\f(4π,24)≈eq\f(21,40)，解得π≈eq\f(63,20).答案：A5．解析：在Rt△EBC中，tan∠ECB＝eq\f(EB,BC)＝eq\f(b,a)，所以tan60°＝eq\f(b,a)，所以b＝eq\r(3)a，所以S梯形ABCD＝eq\f(1,2)（b＋a）（b＋a）＝eq\f(1,2)（1＋eq\r(3)）2a2＝（2＋eq\r(3)）a2，所以S△ECD＝S梯形ABCD－2S△EBC＝（2＋eq\r(3)）a2－ba＝（2＋eq\r(3)）a2－eq\r(3)a2＝2a2，所以此点取自等腰直角△CDE中（阴影部分）的概率是eq\f(S△EDC,S梯形ABCD)＝eq\f(2a2,（2＋\r(3)）a2)＝2（2－eq\r(3)）.答案：A6．解析：丙基站能接收到信号有两种状况，信号源甲干脆发送给丙基站，概率为eq\f(1,3)，或信号源甲发送给乙基站，乙基站再传送给丙基站，概率为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，故丙基站能接收到的概率为eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．解析：从频率分布直方图中可知，成果在[70，75）的人数为0.04×5×100＝20，成果在[75，80）的人数为0.06×5×100＝30，所以成果在[75，80）的学生恰好有一人的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(20))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(30)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(50)))＝eq\f(24,49).答案：eq\f(24,49)8．解析：如图，点P所在的区域为正方形ABCD上及其内部，（x－2）2＋（y－2）2≤4表示的是以C（2，2）为圆心，2为半径的圆上的点及其内部的点，故所求概率为eq\f(\f(1,4)×π×22,4×4)＝eq\f(π,16).答案：eq\f(π,16)9．解析：（1）从集合P中随机取一个数作为k的全部可能结果有4种，满意函数y＝kx＋b是减函数的情形是k＝－1，则所求概率P＝eq\f(1,4).（2）因为k>0，函数y＝kx＋b的图象不经过第四象限的条件是b≥0.作出（k，b）对应的平面区域如图中的梯形ABCD（不含b轴），其面积是S1＝eq\f(（1＋2）·1,2)＝eq\f(3,2)，符合限制条件的（k，b）对应的平面区域如图中的三角形BOC，其面积是S2＝eq\f(1,2)，故所求概率P＝eq\f(S2,S1)＝eq\f(1,3).10．解析：（1）全部可能的摸出结果是{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．（2）不正确．理由如下：由（1）知，全部可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，所以中奖的概率为eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，不中奖的概率为1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)>eq\f(1,3)，故这种说法不正确．11．解析：假设每名同学均从这四个地方中随意选取一个去旅游，基本领件总数n＝44＝256，恰有一个地方未被选中包含的基本领件个数m＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＝144，则恰有一个地方未被选中的概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(144,256)＝eq\f(9,16).答案：B12．解析：上方阴影部分的面积等于△AOB的面积，S△AOB＝eq\f(1,2)×2×2＝2，下方阴影部分的面积等于eq\f(1,4)×π×22－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×π×（\r(2)）2－\f(1,2)×\r(2)×\r(2)))＝eq\f(π,2)＋1，所以依据几何概型概率公式得所求概率P＝eq\f(2＋\f(π,2)＋1,4π＋2)＝eq\f(π＋6,8π＋4).答案：B13．解析：依据题意，一口袋中有3个球，有放回地摸5次，有35种状况，若恰好摸球五次就停止摸球，即恰好到第五次三种颜色都被摸到．即前4次摸到两种颜色．第五次摸到第三种颜色，前四次共有两种状况：①三次颜色一样，一次颜色不一样，即Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＝24种；②两种颜色都是两个球，即Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝18种，共有24＋18＝42种状况．故恰好摸球五次就停止摸球的概率P＝eq\f(42,35)＝eq\f(14,81).答案：eq\f(14,81)14．解析：（1）A打分更稳定．由表格数据，知：eq\x\to(x)A＝eq\f(92＋95＋93＋95＋90,5)＝93，eq\x\to(x)B＝eq\f(98＋80＋90＋85＋97,5)＝90，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(A))＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,)（xAi－eq\x\to(x)A）＝3.6，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(B))＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,)（xBi－eq\x\to(x)B）2＝47.6，其中i＝1，2，…，5.因为seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(A))＜seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(B))，故小组A打分稳定，更像是由专业人士组成的．（2）从A组的5位评委中任选2位评委的选法有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))种，其中恰有一位评委打分为95分的选法有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))种，所以所求概率P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))＝eq\f(3,5).15．解析：（1）答对的题数之和为3的倍数分别为1＋2，2＋4，1＋5，4＋5，3＋3，6＋6，3＋6，其概率为eq\f(5×2＋2,36)＝eq\f(1,3)，则答对的题数之和不是3的倍数的概率为eq\f(2,3).第（n＋1）次由甲组答题，是第n次由甲组答题，第（n＋1）次接着由甲组答题的事务与第n次由乙组答题，