辽宁省鞍山市2024-2025学年高三数学上学期第一次质量监测数学试题含解析_第1页
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文档简介

辽宁省鞍山市2024-2025学年高三数学上学期第一次质量监测数学试题考试时间:120分钟满分:150分一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.假如,那么在复平面内,复数所对应的点位于()A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先计算出,然后推断其所在象限,即可求解【详解】由可得,复数所对应的点位于第四象限.故选:D2.已知集合,,则集合子集个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】首先解指数不等式得到,即可得到,再求子集个数即可.【详解】,则,子集的个数为,故选:D.3.“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的()条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】要使函数是幂函数,且在上为增函数,求出,可得函数为奇函数,即充分性成立;函数为奇函数,求出,故必要性不成立,可得答案.【详解】要使函数是幂函数,且在上为增函数,则,解得:,当时,,,则,所以函数为奇函数,即充分性成立;“函数为奇函数”,则,即,解得:,故必要性不成立,故选:A.4.抛物线的焦点坐标为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据抛物线的标准方程以及焦点坐标求解即可【详解】由题意,抛物线的焦点坐标为故选:C5.函数的单调减区间是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】要求函数的单调减区间,即求函数的单调增区间.依据正弦函数的单调性即可求出答案.【详解】,要求函数的单调减区间,即求函数的单调增区间.令,所以.故选:A.6.如图,某加工厂要在一圆柱体材料中打磨出一个直三棱柱模具,已知该圆柱底面圆面积为,高为6,则能截得直三棱柱体积最大为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据直三棱柱的定义及三角形的面积公式,再利用正弦定理及三元基本不等式,结合棱柱的体积公式即可求解.【详解】由题意可知,设底面圆的半径为,则,解得.因为直三棱柱的定义可知,要使能截得直三棱柱体积最大,只须要圆的内接三角形面积最大即可,当且仅当,即时。等号成立,所以三角形是正三角形时,圆的内接三角形面积最大,.所以能截得直三棱柱体积最大为.故选:B.7.标准对数视力表(如图)采纳的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E”字视标,且从视力5.1的视标所在行起先往上,每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的倍,若视力4.0的视标边长为,则视力4.9的视标边长为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等比数列的通项公式计算.【详解】设第行视标边长为,第行视标边长为,由题意可得,则,则数列为首项为,公比为的等比数列,所以,则视力4.9的视标边长为,故选:D.8.权方和不等式作为基本不等式的一个改变,在求二元变量最值时有很广泛的应用,其表述如下:设a,b,x,y>0,则,当且仅当时等号成立.依据权方和不等式,函数的最小值为()A.16 B.25 C.36 D.49【答案】B【解析】【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式,再利用该不等式求解作答.【详解】因a,b,x,y>0,则,当且仅当时等号成立,又,即,于是得,当且仅当,即时取“=”,所以函数的最小值为25.故选:B二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.设函数在处的导数存在,则().A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由导数的定义得出,.【详解】因为函数在处的导数存在,所以,故B正确.又∵,所以C正确.故选:BC.10.针对当下的“抖音热”,某校团委对“学生性别和喜爱抖音是否有关”做了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜爱抖音的人数占男生人数的,女生喜爱抖音的人数占女生人数的,若有的把握认为是否喜爱抖音和性别有关,则调查人数中男生有可能()附:A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】先设男生人数为,,列出列联表,利用独立性检验计算观测值,再结合观测值列关系即得答案.【详解】解:由题意被调查的男女生人数相同,设男生的人数为:,,由题意可列出列联表:男生女生合计喜爱熬炼不喜爱熬炼合计.由于有的把握认为是否喜爱抖音和性别有关,所以;解得:,因为,故的可能取值为:9、10、11、12、13,即男生的人数可以是45,50,55,60,65.则选项中被调查学生中男生的人数可能45或60.故选:BC.11.在平面直角坐标系中,,点满意,设点的轨迹为,则()A.的周长为B.(不重合时)平分C.面积的最大值为6D.当时,直线与轨迹相切【答案】ABD【解析】【分析】设,依据题意求得曲线的方程为,结合圆的周长公式,可判定A正确;求得,延长到,使,连结,得到,进而求得,可判定B正确;利用三角形的面积公式和圆的性质,可判定C错误;不妨取,求得直线的方程,结合直线与圆的位置关系的判定方法,即可求解.【详解】设,因为,且点满意,可得,整理得,即曲线的方程为.对于A中,曲线为半径为的圆,所以周长为,所以A正确;对于B中,因为,所以,所以,延长到,使,连结,如图所示,因为,所以,所以,所以,,因为,所以,所以,即平分,所以B正确.对于C中,由的面积为,要使得的面积最大,只需最大,由由点的轨迹为,可得,所以面积的最大值为,所以C错误;对于D中,当时,或,不妨取,则直线,即,因为圆心到直线的距离为,所以,即直线与圆相切,所以D正确.故选:ABD.12.已知函数,为的导函数,则下列说法正确的是()A.当时,在单调递增B.当时,在处的切线方程为C.当时,在上至少有一个零点D.当时,在上不单调【答案】ABD【解析】【分析】A.代入m=1,求,依据指数函数和正弦函数在上的值域即可推断的正负,由此可推断f(x)在上的单调性;B﹒代入m=1,求f(0)和,依据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求切线方程;C﹒代入m=-1,求,令,求,依据在上的正负推断的单调性,依据单调性可推断其在上是否有零点;D﹒推断在,上的正负,由此推断的单调性,由此可推断在,上有零点,故可推断f(x)在,上不单调.【详解】①当时,,,当x>0时,>1,-1≤sinx≤1,∴>0,∴f(x)在上单调递增,故A正确;∵f(0)=0,,∴在处的切线方程为y=x,故B正确;②当m=-1时,,,令,则,当x>0时,>1,-1≤cosx≤1,∴>0,∴在上单调递增,∴当x≥0时,≥=1,∴在上无零点,∴C错误;当,时,cosx<0,>0,∴>0,∴在,单调递增,又,而,∴由零点存在定理可知,存在唯一,,使得,当,时,,单调递减,当,时,,单调递增,∴在,上不单调,故D正确.故选:ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.的绽开式中的系数为__________.【答案】【解析】【分析】依据二项式绽开式的通项特点即可求解.【详解】的绽开式中第四项为,故的系数为:,故答案为:14.的值为_________.【答案】1【解析】【分析】把拆成,然后利用公式进行化简.【详解】因为,所以;故答案为:1.15.依据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具有如下的效果:若以表示事务“试验反应为阳性”,以表示事务“被诊断者患有癌症”,则有,.现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为,即,则__________.【答案】【解析】【分析】先求,,依据条件概率和全概率公式可得,代入计算即可.【详解】因为,所以,因为,所以,所以由全概率公式可得,因为所以.故答案为:.16.若实数,,,满意,则的最小值为__________.【答案】2【解析】【分析】把问题转化为曲线上的点与上点的距离的平方,进一步转化为点到直线的距离公式求解.【详解】解:因为,所以,,即,,令,,设直线与曲线相切于点,由,得,则,由,解得或(舍去),所以.,则到直线距离.而的几何意义为曲线上的点与直线上点的距离的平方,则的最小值为.故答案为:.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列满意首项为的值,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用对数的运算法则求得的首项,再利用等差数列的通项公式代入即可求解;(2)将(1)中代入,利用裂项求和法即可求得.【小问1详解】依据题意得,,因为数列是等差数列,设公差为,则由,得,解得,所以.【小问2详解】由(1)可得,所以.18.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,.(1)求角B;(2)若,的面积为,求的周长.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)依据两角和的正弦公式化简,结合正弦定理边化角即可得,进而可求解,(2)依据三角形面积公式以及可得,由余弦定理可求,进而可得周长.【小问1详解】∵,∴,∴.由正弦定理得,,∴,∵,∴.【小问2详解】∵的面积为,即,得,∵,∴,∵,∴,∴,由余弦定理可得,∵,∴,∴三角形的周长为.19.如图,已知正三棱柱中,全部棱长均为2,点E,F分别为棱,的中点.(1)求与平面AEF所成角的正弦值;(2)过A、E、F三点作一个平面,则平面AEF与平面有且只有一条公共直线:①这一结论可以通过空间中关于平面的一条基本领实(也称为公理)得出,请写出该基本领实的内容;②求这条公共直线在正三棱柱底面内部的线段长度.【答案】(1)(2)①假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线;②【解析】【分析】(1)取AC中点O连接OB,OF,以O为原点,OA,OB,OF为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,用空间向量法求线面角的正弦值;(2)①由基本领实3可得,②延长交延长线于点M,连接FM且.则FP即为所求,确定点位置,由余弦定理求得的长.小问1详解】取AC中点O连接OB,OF,因为正三棱柱,F为的中点,与三棱柱的侧棱平行,所以OA,OB,OF两两垂直,以O为原点,OA,OB,OF为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示,所以,,,,所以,,,设平面AEF的法向量,则,即,令,则,,所以,设与平面AEF所成角为,则,所以与平面AEF所成角的正弦值为.【小问2详解】①基本领实3:假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.②如下图,延长交延长线于点M,连接FM且.则FP即为所求.是中点,且,所以是的一条中位线,所以是中点,又是中点,所以是的重心,∴.由余弦定理可得:,∴.20.北京时间2024年7月25日3时13分,问天试验舱胜利对接于天和核心舱前向端口,2024年7月25日10时03分,神舟十四号航天员乘组胜利开启问天试验舱舱门,顺当进入问天试验舱.8月,中国空间站第2个试验舱段——梦天试验舱已运抵文昌航天放射场,安排10月放射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建立任务,成为长期有人照料的国家级太空试验室,支持开展大规模、多学科交叉的空间科学试验.为普及空间站相关学问,某部门组织了空间站模拟编程闯关活动,它是由太空放射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是:编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程,全部结束后提交评委测试,若其中2个及以上程序正确即为闯关胜利.现已知10个程序中,甲只能正确完成其中6个,乙正确完成每个程序的概率为0.6,每位选手每次编程都互不影响.(1)求乙闯关胜利的概率;(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望,并推断甲和乙谁闯关胜利的可能性更大.【答案】(1)(2)分布列见解析,,甲【解析】【分析】(1)依据独立重复事务概率公式即可求解,(2)依据超几何分布的概率公式计算概率,即可得分布列,通过比较甲乙两人闯关胜利的概率大小,即可推断谁的胜利的可能性更大.【小问1详解】乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关胜利,记乙闯关胜利为事务A,则.【小问2详解】由题意知随机变量X全部可能取值为0,1,2,3,,,,,故X的分布列为X0123P所以.所以甲闯关胜利的概率为,因为,所以甲比乙闯关胜利的可能性大.21.在平面直角坐标系xOy中,点B与点关于原点对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于.(1)求动点P的轨迹方程,并注明x的范围;(2)设直线AP与BP分别与直线交于M,N,问是否存在点P使得与面积相等?若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由.【答案】(1)(2)存在,【解析】【分析】(1)依据两点间斜率公式以及题中条件斜率之积即可列方程求解,(2)由面积相等可得长度的比例关系,由相像转化为长度关系,即可列式子求解.【小问1详解】因为点B与点关于原点O对称,所以点B的坐标为设点P的

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