辽宁省鞍山市2024-2025学年高三数学上学期第一次质量监测数学试题含解析

辽宁省鞍山市2024-2025学年高三数学上学期第一次质量监测数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.假如，那么在复平面内，复数所对应的点位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先计算出，然后推断其所在象限，即可求解【详解】由可得，复数所对应的点位于第四象限.故选：D2.已知集合，，则集合子集个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】首先解指数不等式得到，即可得到，再求子集个数即可.【详解】，则，子集的个数为，故选：D．3.“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，则，解得：，当时，，，则，所以函数为奇函数，即充分性成立；“函数为奇函数”，则，即，解得：，故必要性不成立，故选：A．4.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据抛物线的标准方程以及焦点坐标求解即可【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为故选：C5.函数的单调减区间是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.依据正弦函数的单调性即可求出答案.【详解】，要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.令，所以.故选：A.6.如图，某加工厂要在一圆柱体材料中打磨出一个直三棱柱模具，已知该圆柱底面圆面积为，高为6，则能截得直三棱柱体积最大为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据直三棱柱的定义及三角形的面积公式，再利用正弦定理及三元基本不等式，结合棱柱的体积公式即可求解.【详解】由题意可知，设底面圆的半径为，则,解得.因为直三棱柱的定义可知，要使能截得直三棱柱体积最大，只须要圆的内接三角形面积最大即可，当且仅当，即时。等号成立，所以三角形是正三角形时，圆的内接三角形面积最大，.所以能截得直三棱柱体积最大为.故选：B.7.标准对数视力表（如图）采纳的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E”字视标，且从视力5.1的视标所在行起先往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的倍，若视力4.0的视标边长为，则视力4.9的视标边长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等比数列的通项公式计算．【详解】设第行视标边长为，第行视标边长为，由题意可得，则，则数列为首项为，公比为的等比数列，所以，则视力4.9的视标边长为，故选：D.8.权方和不等式作为基本不等式的一个改变，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．依据权方和不等式，函数的最小值为（）A.16 B.25 C.36 D.49【答案】B【解析】【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立，又，即，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以函数的最小值为25.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设函数在处的导数存在，则（）.A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由导数的定义得出，.【详解】因为函数在处的导数存在，所以，故B正确.又∵，所以C正确.故选：BC.10.针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜爱抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜爱抖音的人数占男生人数的，女生喜爱抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜爱抖音和性别有关，则调查人数中男生有可能（）附：A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】先设男生人数为，，列出列联表，利用独立性检验计算观测值，再结合观测值列关系即得答案．【详解】解：由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：，，由题意可列出列联表：男生女生合计喜爱熬炼不喜爱熬炼合计．由于有的把握认为是否喜爱抖音和性别有关，所以；解得：，因为，故的可能取值为：9、10、11、12、13，即男生的人数可以是45，50，55，60，65.则选项中被调查学生中男生的人数可能45或60．故选：BC.11.在平面直角坐标系中，，点满意，设点的轨迹为，则（）A.的周长为B.（不重合时）平分C.面积的最大值为6D.当时，直线与轨迹相切【答案】ABD【解析】【分析】设，依据题意求得曲线的方程为，结合圆的周长公式，可判定A正确；求得，延长到，使，连结，得到，进而求得，可判定B正确；利用三角形的面积公式和圆的性质，可判定C错误；不妨取，求得直线的方程，结合直线与圆的位置关系的判定方法，即可求解.【详解】设，因为，且点满意，可得，整理得，即曲线的方程为．对于A中，曲线为半径为的圆，所以周长为，所以A正确；对于B中，因为，所以，所以，延长到，使，连结，如图所示，因为，所以，所以，所以，，因为，所以，所以，即平分，所以B正确．对于C中，由的面积为，要使得的面积最大，只需最大，由由点的轨迹为，可得，所以面积的最大值为，所以C错误；对于D中，当时，或，不妨取，则直线，即，因为圆心到直线的距离为，所以，即直线与圆相切，所以D正确．故选：ABD．12.已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是()A.当时，在单调递增B.当时，在处的切线方程为C.当时，在上至少有一个零点D.当时，在上不单调【答案】ABD【解析】【分析】A．代入m＝1，求，依据指数函数和正弦函数在上的值域即可推断的正负，由此可推断f(x)在上的单调性；B﹒代入m＝1，求f(0)和，依据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求切线方程；C﹒代入m＝－1，求，令，求，依据在上的正负推断的单调性，依据单调性可推断其在上是否有零点；D﹒推断在，上的正负，由此推断的单调性，由此可推断在，上有零点，故可推断f(x)在，上不单调．【详解】①当时，，，当x＞0时，＞1，－1≤sinx≤1，∴＞0，∴f(x)在上单调递增，故A正确；∵f(0)＝0，，∴在处的切线方程为y＝x，故B正确；②当m＝－1时，，，令，则，当x＞0时，＞1，－1≤cosx≤1，∴＞0，∴在上单调递增，∴当x≥0时，≥＝1，∴在上无零点，∴C错误；当，时，cosx＜0，＞0，∴＞0，∴在，单调递增，又，而，∴由零点存在定理可知，存在唯一，，使得，当，时，，单调递减，当，时，，单调递增，∴在，上不单调，故D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的绽开式中的系数为__________.【答案】【解析】【分析】依据二项式绽开式的通项特点即可求解.【详解】的绽开式中第四项为，故的系数为：，故答案为：14.的值为_________.【答案】1【解析】【分析】把拆成，然后利用公式进行化简.【详解】因为，所以；故答案为：1.15.依据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以表示事务“试验反应为阳性”，以表示事务“被诊断者患有癌症”，则有，.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则__________.【答案】【解析】【分析】先求，，依据条件概率和全概率公式可得，代入计算即可.【详解】因为，所以，因为，所以，所以由全概率公式可得，因为所以.故答案为：.16.若实数，，，满意，则的最小值为__________.【答案】2【解析】【分析】把问题转化为曲线上的点与上点的距离的平方，进一步转化为点到直线的距离公式求解．【详解】解：因为，所以，，即，，令，，设直线与曲线相切于点，由，得，则，由，解得或（舍去），所以．，则到直线距离．而的几何意义为曲线上的点与直线上点的距离的平方，则的最小值为．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列满意首项为的值，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用对数的运算法则求得的首项，再利用等差数列的通项公式代入即可求解；（2）将（1）中代入，利用裂项求和法即可求得.【小问1详解】依据题意得，，因为数列是等差数列，设公差为，则由，得，解得，所以.【小问2详解】由（1）可得，所以.18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求角B；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据两角和的正弦公式化简，结合正弦定理边化角即可得，进而可求解，（2）依据三角形面积公式以及可得，由余弦定理可求，进而可得周长.【小问1详解】∵，∴，∴.由正弦定理得，，∴，∵，∴.【小问2详解】∵的面积为，即，得，∵，∴，∵，∴，∴，由余弦定理可得，∵，∴，∴三角形的周长为.19.如图，已知正三棱柱中，全部棱长均为2，点E，F分别为棱，的中点.（1）求与平面AEF所成角的正弦值；（2）过A、E、F三点作一个平面，则平面AEF与平面有且只有一条公共直线：①这一结论可以通过空间中关于平面的一条基本领实（也称为公理）得出，请写出该基本领实的内容；②求这条公共直线在正三棱柱底面内部的线段长度.【答案】（1）（2）①假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；②【解析】【分析】（1）取AC中点O连接OB，OF，以O为原点，OA，OB，OF为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角的正弦值；（2）①由基本领实3可得，②延长交延长线于点M，连接FM且.则FP即为所求，确定点位置，由余弦定理求得的长．小问1详解】取AC中点O连接OB，OF，因为正三棱柱，F为的中点，与三棱柱的侧棱平行，所以OA，OB，OF两两垂直，以O为原点，OA，OB，OF为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，所以，，，，所以，，，设平面AEF的法向量，则，即，令，则，，所以，设与平面AEF所成角为，则，所以与平面AEF所成角的正弦值为.【小问2详解】①基本领实3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.②如下图，延长交延长线于点M，连接FM且.则FP即为所求.是中点，且，所以是的一条中位线，所以是中点，又是中点，所以是的重心，∴.由余弦定理可得：，∴.20.北京时间2024年7月25日3时13分，问天试验舱胜利对接于天和核心舱前向端口，2024年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组胜利开启问天试验舱舱门，顺当进入问天试验舱.8月，中国空间站第2个试验舱段——梦天试验舱已运抵文昌航天放射场，安排10月放射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建立任务，成为长期有人照料的国家级太空试验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学试验.为普及空间站相关学问，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空放射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关胜利.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关胜利的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并推断甲和乙谁闯关胜利的可能性更大.【答案】（1）（2）分布列见解析，，甲【解析】【分析】（1）依据独立重复事务概率公式即可求解，（2）依据超几何分布的概率公式计算概率，即可得分布列，通过比较甲乙两人闯关胜利的概率大小，即可推断谁的胜利的可能性更大.【小问1详解】乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关胜利，记乙闯关胜利为事务A，则.【小问2详解】由题意知随机变量X全部可能取值为0，1，2，3，，，，，故X的分布列为X0123P所以.所以甲闯关胜利的概率为，因为，所以甲比乙闯关胜利的可能性大.21.在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.（1）求动点P的轨迹方程，并注明x的范围；（2）设直线AP与BP分别与直线交于M，N，问是否存在点P使得与面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）依据两点间斜率公式以及题中条件斜率之积即可列方程求解，（2）由面积相等可得长度的比例关系，由相像转化为长度关系，即可列式子求解.【小问1详解】因为点B与点关于原点O对称，所以点B的坐标为设点P的