排队系统运行情况的分析-通信网-教学课件

排队系统运行情况的分析

排队系统运行情况的分析，就是在给定输入与服务条件下，通过求解系统状态为n(有n个顾客)的概率Pn，再进行计算其主要的运行指标：

①系统中顾客数(队长)的期望值；②排队等待的顾客数(排队长)的期望值q；③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值④顾客排队等待时间的期望值。M/M/1

排队系统3.2.21．M/M/1排队系统模型顾客源排队系统排队结构服务机构排队规则服务规则接受服务后离去

M/M/1模型无限输入过程服从参数为的Poisson过程单队队长无限先到先服务服务时间服从参数为的负指数分布

M/M/1排队系统有以下几个特点：

●顾客到达间隔时间T服从参数为

的负指数分布，概率密度函数为

平均到达间隔时间为1/

。

●到达的顾客能全部进入系统排队，然后接受服务。

●一个服务员(m=1)。

●一个顾客的服务时间服从参数为

的负指数分布，概率密度函数为

平均服务时间为1/

。

●排队强度为

=/

M/M/1等待制系统1.队长为k的慨率:pk=(1-ρ)ρk

或pk=(1-λ/μ)(λ/μ)k队长是指系统中的顾客数(排队等待的顾客数与正在接受服务的顾客数之和)；排队长是指系统中正在排队等待服务的顾客数。队长和排队长一般都是随机变量。2．等待时间和系统(逗留)时间从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间称为等待时间。等待时间是个随机变量。从顾客到达时刻起到他接受服务完成止这段时间称为系统时间，也是随机变量。3.

忙期和闲期

忙期是指从顾客到达空闲着的服务机构起，到服务机构再次成为空闲止的这段时间，即服务机构连续忙的时间。这是个随机变量，是服务员最为关心的指标，因为它关系到服务员的服务强度。

闲期,即服务机构连续保持空闲的时间。在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。M/M/1

排队系统等待制系统3.2.22．M/M/1排队系统的指标

(1)平均队长N

即稳态系统任一时刻的所有顾客数的期望值

N=λ/(μ-λ)

或（3-35）

(2)平均系统时间S

即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客逗留时间的期望值

（3-36）

M/M/1

排队系统等待制系统3.2.2

(3)平均等待时间

W

即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客等待时间的期望值

（3-37）

(4)系统效率

系统内有顾客的概率

（3-38）

ρ——服务强度，即每个服务台单位时间内的平均服务时间，—般有ρ=λ／(mμ)，这是衡量排队系统繁忙程度的重要尺度，当ρ趋近于0时，表明对期望服务的数量来说，服务能力相对地说是很大的。这时，等待时间一定很短，服务台有大量的空闲时间；如服务强度ρ趋近于1，那么服务台空闲时间较少而顾客等待时间较多。一般都假定平均服务率μ大于平均到达率λ，即λ/μ<1,否则排队的人数会越来越多。Pn=(1-ρ)ρnη=1-P0=ρ系统效率（设备使用率）3.2.3M/M/m/n排队系统M/M/1/∞无限源系统M/M/l/1损失制系统

M/M/m/m

损失制系统

M/M/m/∞

等待系统1.呼损系统(M/M/m/m)

1）呼损清除平均队长：

mE(ω)=∑kPk=a(1-pm)

k=0当k=m时，表示线束全忙，即交换系统的m条话路全部被占用，此时p(k)为系统全忙的概率。系统效率：

η=a(1-pm)/m3.2.4电话交换网分析爱尔兰呼损公式呼损：话务量的概念话务量又称为话务量强度或电话负载强度，直接影响话务量大小的有:呼叫强度，即单位时间（如一小时）里发生的呼叫数；每个呼叫占用设备的时长。故话务量由三要素构成：时间范围，呼叫强度，呼叫占用时长。1.话务量的定义

流入话务量是单位时间内发生的平均呼叫数乘以呼叫的平均占用时长.反映了一个交换系统的总话务量。完成话务量直观地表达了设备的繁忙程度，即同时工作的设备数目越大，说明话务量越大。A’=

流入话务量流入话务量强度等于在一个平均占用时长内，负载源（用户或上级机键，也称为话源）发生呼叫数的平均值A=λ·SA--流入话务量λ—单位时间内发生的平均呼叫数S—呼叫的平均占用时长爱尔兰，或用“E”（Erl）表示。（λ和S必须使用同样的时间单位）完成话务量一组设备的完成话务量强度等于这组设备中平均同时占用的机键数，也就是同时处于工作状态的机键数目的平均值。A’—完成话务量Pi—有I个机键同时占用的概率话务量的两个重要性质重要性质完成话务量计算公式单位1一组设备的完成话务量强度在数量上等于单位时间内这组设备中各机键占用时间的总和（t）。A’=t=

T—观察总时长τj--第j个呼叫的占用时长m—共发生m次呼叫

“爱尔兰”“E”或“Erl.”2一组设备的完成话务量强度在数值上等于这组设备中，一个平均占用时长内发生的平均占用次数。A’=λ0·Sλ0=单位时间内发生的平均占用数S=平均占用时长（1）

用户线话务a、用户线话务量根据我国用户负荷分布差异较大，用户线话务量A1分为以下三档（包括发话和受话话务量）：高----0.18~0.20Erl/每用户中----0.16~0.18Erl/每用户低----0.12~0.16Erl/每用户b、用户线忙时试呼数（BACH/每用户）见表1。（2）

来话局间中继电路的话务a、局间中继话务量A2A2=0.6~0.7Erlb、来话中继电路忙时试呼次数。流入的话务量=完成话务量+损失的话务量损失的话务量=呼损率x流入的话务量系统效率=完成话务量/设备数

=流入的话务量（1-呼损率）/设备数完成话务量的含义（1）

有一组由100条中继组成的电路群，在它上面通过的话务量（完成话务量）为70Erl.（2）

按定义A’=70Erl，即100条电路中，同时处于工作状态的电路平均有70条，空闲着平均有30条。（3）

按性质1A’=70Erl，说明在一小时内，100条电路的总占用时间（即各电路占用时间之和），平均为70小时。（4）

按性质2A’=70Erl，在平均占用时长内，平均有70次占用发生。（5）

每线话务量a=A’/100=70/100=0.7Erl.即一小时内，每条电路平均有0.7小时工作，0.3小时空闲。例假设在100条线的中继线群上，平均每小时发生2100次占用，平均占用时长为1/30小时。求这群中继线上的完成话务量强度；并根据完成话务量强度的性质说明其意义。解：根据题意λc

=2100呼叫/小时

S=1/30小时/呼叫

Ac=λcS=2100×1/30=70e

根据完成话务量强度性质1，70e可理解为在平均占用时长1/30小时内，平均有70次占用发生；根据性质2，单条中继线的占用概率(利用率)为0.7；根据性质3，70e意味着在100条中继线中，同时处于工作状态的平均有70条，空闲着的平均有30条。完成话务量强度举例系统过负荷特性

B

图过负荷是指系统加入的业务量A,超过给定服务质量所能承担的业务量A过负荷用过载业务量与标准应承担的业务量的比值来表示，即

=(A

A)/A=A/A

En(A)=B,En(A)=B

由图可见，在同样标准的服务质量和同样的过负荷率下，大系统的质量劣化严重；说明效率与可靠性是矛盾的服务台利用率与服务台数量的关系

n

图当给定n

和B

后，系统所能承担的业务量

可以通过爱尔兰公式求出，从而可计算出服务台利用率

；若保持B

不变，不断增加服务台数n，

也会发生变化，就可以得到

n

图如下；通过观察，有几点结论：1、B不变时，

随

n增加；说明大电路群效率高2、n不变时，

随

B增加；说明效率与质量是矛盾的；(高效路由)3、

具有边际递减规律4、

越大，系统抗过负荷能力越差求所需服务台的方法1、查图2、迭代计算无法由En(

)给出n

的逆函数，因此采用逐次试算的方法注意，En(

)有较简单的递推公式3、工程上经常采用查表的方法爱尔兰表最左边一列为服务台数n，最上面一行为服务质量的不同等级，即B爱尔兰表中元素的值为，表示服务台数为n，服务质量为B时，系统最大所能承担的业务量；工程上经常用A表示，A是流入话务量爱尔兰损失表n=3,B=0.01,查表得

=0.455已知n

和

如何求B，线性内插法；例：n=3，

=2.5，由表可知B

落在0.2~0.3之间，若假设在这区间所承担的业务量与B

成线性关系，则有线性内插公式B2.5=0.2+(0.3-0.2)(2.5-1.930)/(2.633-1.930)=0.281例：一部交换机有1000个用户终端，每个用户忙时话务量为0.1Erl，该交换机能提供123条话路同时接受123个呼叫，求该交换机的呼损。解：Y=0.1ErlX1000=100Erlm=123

查表可得：E(m,Y)=E(123,100)=0.3Erl注：实际应用中，只要已知m、Y、E三个量中的任意两个，通过查爱尔兰呼损表，即可查得第三个。例

M/M/n损失制无限源系统，已知n=3，

=5人/小时，平均服务时长30分钟/人，试求：(1)系统中没有顾客的概率；(2)只有一个服务台被占用的概率；(3)系统的损失率解：由题意可知

=60/30=2人/小时，所以

=

/

=2.5Erl(1)p0=(1+2.5+2.52/2+2.53/3!)1=0.108(2)p1=

p0=2.50.108=0.27(3)B=E3(2.5)=p0

3/3!=0.1082.604=0.28例

两市话局间的忙时平均呼叫次数为240，每次通话平均时长为5分钟，规定两局间中继线的服务等级为B

0.01,问：(1)应配备多少条中继线？(2)中继线群的利用率为多少？解：中继线群上的流入话务量为

=2405/60=20Erl，查爱尔兰表可知：n=30，

B=0.01时可承担A=20.337，

B=0.005时可承担A=19.034，因此，E30(20)=0.005+0.005(2019.034)/(20.33719.034)=0.008707

中继线群利用率

=

(1B)/n=20(1-0.008707)/30=0.660862例：某自动交换台有4条外线，打外线的呼叫为泊松流，强度为2次/分钟，通话时长服从负指数分布，平均通话时长为2分钟，当4条外线全忙时，用户呼叫接遇忙音，假设用户遇忙音后立即停止呼叫，问：

1用户拨外线遇忙的概率为多大？

2损失的话务量为多大？

3外线的利用率为多少？

3.5分组交换系统分析

M/M/1/N无限源系统

参数λ，μ

1.时间t内到达的用户数服从泊松分布；2.到达时间间隔的平均值1/λ，服从指数分布；3.数据平均长度：L=1/μ(比特/分组）；4.数据传输速率：C(bit/s);5.数据分组平均传送时间L/C=1/(μC)(秒）；6.分组平均传送时间服从指数分布：

P（服务时间>t)=e-t,t>0;7.系统最多允许（存储）N个分组。信息的平均长度为：1/μ`,输出链路的容量为C，所以信息平均服务时间（传输时间）为：一个分组信息的平均等待时间为：平均等待时间Tw平均服务时间Ts=1/μ=节点时延T=等待时间+服务时间等待时间服务时间(传输时间)Ts=L/ci

ci为链路i的容量或速率L=1/μ’是分组信息的平均长度（bit/