专题26 多边形与平行四边形【二十个题型】（举一反三）（原卷版）

专题26多边形与平行四边形【二十个题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1计算多边形对角线条数】 1【题型2对角线分三角形个数问题】 4【题型3多边形内角和问题】 5【题型4多边形的外角问题】 5【题型5多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合运用】 6【题型6利用平行四边形的性质求解】 7【题型7利用平行四边形的性质证明】 8【题型8构成平行四边形的条件】 10【题型9证明四边形是平行四边形】 11【题型10与平行四边形有关的新定义问题】 12【题型11利用平行四边形的性质与判定求解】 14【题型12利用平行四边形的性质与判定证明】 15【题型13平行四边形性质与判定的实际应用】 16【题型14与三角形中位线有关的计算】 18【题型15与三角形中位线有关的证明】 19【题型16与三角形中位线有关的规律探究】 21【题型17与三角形中位线有关的格点作图】 22【题型18三角形中位线的实际应用】 24【题型19连接两点构造三角形中位线】 26【题型20已知中点，取另一条线段的中点构造中位线】 27【知识点多边形与平行四边形】1.多边形的相关概念多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.

多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形，n边形的对角线条数为n(多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）.【解题技巧】1）n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°.2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍.3）利用多边形内角和定理可解决三类问题：①已知多边形的边数求内角和；②已知多边形的内角和求边数；③已知足够的角度条件下求某一个内角的度数．多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关.正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形.【解题技巧】1）正n边形的每个内角为（n-22）正n边形有n条对称轴．3）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．【易错混淆】多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误：①n边形内角和＝（n－2）×180°（n≥3）.②从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，n个顶点可以引出n（n-3）条对角线，但是每条对角线计算了两次，因此n边形共有n(n-③n边形的边数＝（内角和÷180°）＋2.④n边形的外角和是360°.⑤n边形的外角和加内角和＝n×180°.⑥在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取一点O，连接O点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n－1）个三角形；连接n边形的任一顶点A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n－2）个三角形．2.平行四边形的性质与判定平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.平行四边形的性质：1)对边平行且相等；2)对角相等、邻角互补；3)对角线互相平分；4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心.【解题技巧】1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．4）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．5）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE．6）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．平行四边形的判定定理：①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．③两组对边分别相等的四边形是平行四边形．④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．【解题技巧】一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路：1）当已知条件中有关于所证四边形的角时，可用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明；2）当已知条件中有关于所证四边形的边时，可选择“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”或“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”或“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明；3）当已知条件中有关于所证四边形的对角线时，可选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．3.三角形的中位线三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行.数量关系：可以证明线段的倍分关系.常用结论：任意一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半.结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形.结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形.结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分.结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等.【题型1计算多边形对角线条数】【例1】（2023·河北·模拟预测）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，那么这个多边形从一个顶点引对角线的条数是（）条．A．3 B．4 C．5 D．6【变式1-1】（2023·吉林长春·统考二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-2】（2023·上海·统考中考真题）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是度．【变式1-3】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）一个正多边形的中心角是72°，则过它的一个顶点有条对角线．【题型2对角线分三角形个数问题】【例2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）一个多边形的内角和为1080°，从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成个三角形．【变式2-1】（2023·陕西咸阳·统考三模）过某多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角形，这个多边形的边数是．【变式2-2】（2023·陕西榆林·统考一模）从七边形的一个顶点出发的所有对角线，可以把这个七边形分割成个三角形．【变式2-3】（2023·广东深圳·校联考一模）如图，从多边形一个顶点出发作多边形的对角线，试根据下面几种多边形的顶点数、线段数及三角形个数统计结果，推断f,e,v三个量之间的数量关系是:多边形：

顶点个数f1:

4

5

6

…线段条数e:

5

7

9

…三角形个数v1:

2

3

4

…【题型3多边形内角和问题】【例3】（2023·山东·中考真题）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（

）A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7【变式3-1】（2023·山东·统考中考真题）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是边形．【变式3-2】（2023·浙江·统考中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是．【变式3-3】（2023·湖南·统考中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为．【题型4多边形的外角问题】【例4】（2023·四川自贡·统考中考真题）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°，算出这个正多边形的边数是（

A．9 B．10 C．11 D．12【变式4-1】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1=（

）

A．45° B．60° C．110° D．135°【变式4-2】（2023·河北·统考二模）如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮廓的周长为；若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长为1，则该图形外轮廓的周长是．【变式4-3】（2023·山东烟台·统考二模）如图，CG平分正五边形ABCDE的外角∠DCF，并与∠EAB的平分线交于点O，则∠AOGA．144° B．126° C．120° D．108°【题型5多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合运用】【例5】（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，一束太阳光平行照射在正n边形A1A2A3……A

【变式5-1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠【变式5-2】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，AB∥CD，AD平分∠BDC，CE∥AD，∠(1)求∠BAD(2)若∠F=40°，求∠【变式5-3】（2023·浙江·三模）如图，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B1折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿（1）若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（设（2）若一个三角形的最小角是4°，且该三角形的三个角均是此三角形的好角．请写出符合要求三角形的另两个角的度数．（写出一种即可）【题型6利用平行四边形的性质求解】【例6】（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱A'B'C'D'的位置，使点B'落在BC上，B'C'与CD交于点E

【变式6-1】（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD(AB<AD)中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E

【变式6-2】（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=3+1,BC=2,AH⊥CD，垂足为H,AH=3．以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB,

【变式6-3】（2023·江西·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°<α<360°）得到AP，连接PC

【题型7利用平行四边形的性质证明】【例7】（2023·辽宁营口·统考中考真题）在▱ABCD中，∠ADB=90°，点E在CD上，点G在AB上，点F在BD的延长线上，连接EF，DG

(1)如图1，当k=1时，请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系______(2)如图2，当k=3时，写出线段AD，(3)在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求tan∠【变式7-1】（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，连接AE，CF，且AE

(1)∠1=∠2；(2)△ABE【变式7-2】（2023·山东青岛·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠DCB的平分线交AD于点F，点G，H分别是AE

(1)求证：△ABE(2)连接EF．若EF=AF，请判断四边形【变式7-3】（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF

(1)当点E在线段BC上，∠ABC=45°时，如图①(2)当点E在线段BC延长线上，∠ABC=45°时，如图②：当点E在线段CB延长线上，∠ABC=135°时，如图③，请猜想并直接写出线段AE(3)在（1）、（2）的条件下，若BE=3，DE=5，则CE【题型8构成平行四边形的条件】【例8】（2023·湖南衡阳·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（

）

A．AB∥CD，AB=CD BC．AB∥CD，AD=CB D【变式8-1】（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是________；（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．【变式8-2】（2023·河北保定·统考模拟预测）图中每个四边形上所做的标记中，线段上的划记数量相同的表示线段相等，角的标记弧线数量相同的表示角相等，则下列一定为平行四边形的有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式8-3】（2023·河南洛阳·校联考一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F是对角线AC上的两个不同点，当E、F两点满足下列条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（

）．A．AE＝CF B．DE＝BFC．∠ADE=∠CBF D．∠AED=∠CFB【题型9证明四边形是平行四边形】【例9】（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F

(1)求证：四边形DEFG为平行四边形(2)DG⊥BH，【变式9-1】（2023·青海·统考中考真题）如图，∠CAE是△ABC的一个外角，AB=

(1)尺规作图：作∠CAE的平分线，交CF于点D(2)求证：四边形ABCD是平行四边形.【变式9-2】（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E,F在对角线BD上，且BE=

(1)求证：四边形AECF是平行四边形．(2)若△ABE的面积等于2，求△【变式9-3】（2023·上海·统考中考真题）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB=AC，O在边AB上，点F为边OB中点，为以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，联结EF交OD

(1)如果OG=DG，求证：四边形(2)如图（2）所示，联结OE，如果∠BAC=90°,∠OFE(3)联结BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO=OF【题型10与平行四边形有关的新定义问题】【例10】（2023·江苏南京·统考二模）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：①∠BCD②若AB=AD,③若∠BCD=2∠A④存在凹四边形ABCD，有AB=其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④【变式10-1】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为（

）A．6个 B．7个 C．9个 D．11个【变式10-2】（2023·浙江宁波·统考中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．

(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE∥AC交DA【变式10-3】（2023·广东梅州·统考一模）【定义】对角线相等且所夹锐角为60°的四边形叫“60°等角线四边形”．如图1，四边形ABCD为“60°等角线四边形”，即AC=BD，【定义探究】(1)判断下列四边形是否为“60°等角线四边形”，如果是在括号内打“√”，如果不是打“×”．①对角线所夹锐角为60°的平行四边形．

（

）②对角线所夹锐角为60°的矩形．

（

）③对角线所夹锐角为60°，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形．

（

）【性质探究】(2)如图2，以AC为边，向下构造等边△ACE，连接BE，请直接写出AB+CD(3)请判断AD+BC与【应用提升】(4)若“60°等角线四边形”的对角线长为2，则该四边形周长的最小值为________．【题型11利用平行四边形的性质与判定求解】【例11】（2023·辽宁·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DA的延长线于点B，连接OE，交AB于点F，则四边形BCOF的面积与△AEF

【变式11-1】（2023·西藏·统考中考真题）如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知∠ABC=60°，则阴影部分的面积是（

A．92 B．33 C．93【变式11-2】（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，点C，D在线段AB上（点C在点A，D之间），分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b．CF与DE交于点H，延长

（1）若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b（2）若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为【变式11-3】（2023·安徽·统考中考真题）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙

(1)如图1，连接OA,CA，若OA⊥BD，求证；(2)如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC,CE⊥AB【题型12利用平行四边形的性质与判定证明】【例12】（2023·辽宁大连·统考二模）如图1，△ABC中，点D，E，F分别在BC，AC，AB上，AB=AD，DE∥AB，BE，EF分别与AD相交于点G

(1)求证：∠DEG(2)求证：BG=(3)如图2，若H是AD中点，AB=kDE，求【变式12-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，点D、E、F分别是三角形ABC的边BC、CA、AB上的点，DE∥BA

(1)求证：∠FDE(2)若BD:DC=1:4【变式12-2】（2023·江苏徐州·统考中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，点P在边AD上，则PB2+【变式12-3】（2023·安徽·模拟预测）如图1，AD是△ABC的中线，过CD上一点F作EG∥AB，分别与AD的延长线和AC相交于点E，G(1)若DFCF=2(2)如图2，在AD上取一点P，使得DP=DE，连接FP并延长交AB于点①求证：HF∥②连接GH．求证：GH=【题型13平行四边形性质与判定的实际应用】【例13】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）问题提出：（1）如图①，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝3，AC=22，求问题解决：（2）如图②，某幼儿园有一块平行四边形ABCD的空地，其中AB＝6米，BC＝10米，∠B＝60°，为了丰富孩子们的课业生活，将该平行四边形空地改造成多功能区域，已知点E、G在边BC上，点F在边AD上，连接AE、EF、DG．现要求将其中的阴影三角形ABE区域设置成木工区，阴影四边形EFDG区域设置成益智区，其余区域为角色游戏区，若AB∥EF，∠1＋∠2＝【变式13-1】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图所示，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？

【变式13-2】（2023·陕西·统考中考真题）问题提出（1）如图1，在▱ABCD中，∠A=45°，AB=8，AD=6，E是AD的中点，点F在DC问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园ABCDE按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO=2AN=2CP，AM=OC．已知五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AB=800m，【变式13-3】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形的下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②图中的四边形MPEB是菱形；③四边形EFNB的面积占正方形ABCD面积的58．正确的有（

A．①③ B．①② C．只有① D．②③【题型14与三角形中位线有关的计算】【例14】（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=60°，AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若EF=2A．163 B．83+4 C．4【变式14-1】（2023·山东东营·统考一模）如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，点D是BC边上的中点，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→D的路径以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D．线段DP的长度y随时间x变化的关系图象如图A．4 B．43 C．8 D．【变式14-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=4，D是线段AB上靠近点B的一个三等分点，延长CB到点E，使得BE=12BC，连接DE．若P，

A．4 B．352 C．13 D【变式14-3】（2023·浙江宁波·校联考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AC=4，D，F分别是ABA．2 B．3 C．22 D．【题型15与三角形中位线有关的证明】【例15】（2023·福建泉州·南安市实验中学校考模拟预测）设AX，BY，CZ是△ABC的三条中线，求证：AX，BY，CZ

【变式15-1】（2023·浙江温州·校联考二模）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，E分别为AB，AC的中点，延长DE至F，使EF=2

(1)求证：四边形BCFE是平行四边形．(2)已知BE=3，EG【变式15-2】（2023·安徽合肥·统考二模）问题背景：如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，在△AEF中，∠AEF=90°，∠EAF观察发现：(1)为了探究线段EM和DM之间的数量关系，可先将图形位置特殊化，将△AEF绕点A旋转，使AE与AB重合，如图2，易知EM和DM操作证明：(2)继续将△AEF绕点A旋转，使AE与AD重合时，如图3，（1）中线段EM问题解决：(3)根据上述探究的经验，我们回到一般情况，如图1，在其他条件不变的情况下，上述的结论还成立吗？请说明你的理由．【变式15-3】（2023·安徽宿州·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，交CA的延长线于点

(1)求作⊙O的切线PQ，PQ交AC于点Q(2)在（1）的条件下，求证：PQ=【题型16与三角形中位线有关的规律探究】【例16】（2023·黑龙江·校联考三模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=4，分别连接AB，AC，BC的中点，得到第1个等腰直角三角形A1B1C1；分别连接A1B，A1C1，【变式16-1】（2023·重庆·统考中考模拟）如图，在图1中，A1、B1、C1分别是等边ΔABC的边BC、CA、AB的中点，在图2中，A2，B2，C2分别是ΔA1B1C1A．n2 B．2n C．3n【变式16-2】（2023·山东青岛·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，点D、点E、点F分别是AC，AB，BC边的中点，连接DE、EF，得到△AED，它的面积记作S；点D1、点E1、点F1分别是EF，EB，FB边的中点，连接【变式16-3】（2023·云南·统考中考真题）如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为（n为正整数）．【题型17与三角形中位线有关的格点作图】【例17】（2023·吉林长春·统考一模）图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中，画线段AB的中点F．(2)在图②中，画△CDE的中位线GH，点G、H分别在线段CD、CE上，并直接写出△CGH与四边形(3)在图③中，画△PQR，点R在格点上，且△PQR被线段MN分成的两部分图形的面积比为1：【变式17-1】（2023·吉林长春·统考二模）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，△ABC

(1)在网格①中的AC边上找点D，在BC边上找点E，连接ED，使AB=2(2)在网格②中的AC边上找点D，连接BD，使∠CAB(3)在网格③中的AC边上找点E，连接BE，使△ABE的面积是△BCE面积的【变式17-2】（2023·吉林长春·校考模拟预测）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按要求画图，保留作图痕迹．(1)在图①中的AC边上找一点D，连结BD，使得△ABD的面积等于△ABC面积的12(2)在图②中的△ABC的内部找一点E，连结AE、BE，使得△ABE的面积等于△ABC面积的12(3)在图③中的△ABC的内部找一点F，连结AF、BF、CF，使得△ABF、△ACF和△BCF的面积相等．【变式17-3】（2023·湖北武汉·武汉市第一初级中学校考模拟预测）如图是由小正方形组成的9×9网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A、B、C三点是格点，F，T分别是BC，AC与网格线的交点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．

(1)在图1中，取AB的中点D，AC的中点E，连接ED；再作平行四边形BDEK；(2)在图2中，在AB上画出一点G，使S△(3)在图2中，在△ABT的边AT上画一点M，使得M是正方形MNHP的一个顶点，且正方形的顶点N在AB上，顶点H、P在BT上．（只需画出点M【题型18三角形中位线的实际应用】【例18】（2023·河南省直辖县级单位·校联考一模）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动地球．”（如图1）这句话形容杠杆的作用之大：只要有合适的工具和一个合适的支点（或像地球一样重的物体）轻松撬动．小亮看到广场上有一块球形的大石头，他想知道这块球形石头的半径为多少，他找来一块棱长为20cm的正方体和长度为200cm的木棒，模仿阿基米德撬动地球的方法，如图2，木棒和石头相切于点N，正方体横截面上的点E，点M，A，E，

(1)求证：∠MON(2)若木棒与水平面的夹角∠BAF=45°，切点N恰好为【变式18-1】（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，要测量被池塘隔开的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE=40m，则AB的长是

【变式18-2】（2023·山东青岛·校考一模）如图一只羊在山坡BD中点E