江西省校级联考2024年高考适应性考试数学试卷含解析

江西省校级联考2024年高考适应性考试数学试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，在底面边长为1,高为2的正四棱柱中，点P是平面内一点，则三棱锥夕一8co

的正视隆与侧视图的面积之和为（）

C.4D.5

2.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学

②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间-内;

③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；

④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步.

其中正确的个数为（）

3.“方=2”是“函数/'（"=（厉-3〃-1卜。（。为常数）为基函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

4.设。={-1,0,1,2},集合A={x|f<],xwU},则CuA=()

A.{0J2}B.{-1,1,2}C.{-1,0,2}D.{-1,0,1)

5.己知向量4=(i,G),b是单位向量，若卜一4二百，贝()

7171，、式-2乃

A.-B.-C.—D.—

6433

6.已知集合“=卜|/-3x+2«0},N={x|y=JE}若McN=M,则实数。的取值范围为()

A.(YO、UB.(-co,l)C.(1,十8)D.[I,+00)

7.如图，在平行四边形A8CO中，。为对角线的交点，点。为平行四边形外一点，且AP08,“「〃’。〃，则02二

()

3——

A.0A+2OCB.-DA+DC

2

31

C.2DX+DCD.-DA+-DC

22

8.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国地区的叫法）

控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中,在台球桌上，画出如图正

方形A5CO,在点E,尸处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球,使其依次撞击点E,尸处

的目标球，最后停在点C处，若AE=50ckEF=4（）cm.FC=30c/n,ZAEF=ZCFE=60°,则该正方形的边长为（）

A.505/?cmB.40叵cmC.50cmD.20瓜cm

9.已知实数Ova＜人，则下列说法正确的是（）

ac2<bc2

C.lna<lnh

10.执行下面的程序框图，如果输入m=1995,〃=228,则计算机输出的数是()

//瓦、/

|求E除以:A余茄一

A.58B.57D.55

11.下列结论中正确的个数是()

①已知函数/")是一次函数，若数列｛%｝通项公式为。”二/(〃)，则该数列是等差数列；

②若直线/上有两个不同的点到平面a的距离相等，则///a；

③在MBC中，"cosA>cos"'是“5>A”的必要不充分条件；

④若。>0,/?>0,2。+〃=4,则的最大值为2.

A.1B.2C.3D.0

12.双曲线C：—-^=1(/«>()),左焦点到渐近线的距离为2,则双曲线。的渐近线方程为()

A.2,v±5y=OB.2x±y/5y=0C.y/5x±2y=0D.氐±y=0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(2一i)的展开式中x的系数为.

*

14.已知函数/*)=<;满足f(x)>0的x的取值范围为

15.在正方体八8。。一446。中，£为棱A4的中点，尸是棱上的点，且=g尸耳，则异面直线.与8G

所成角的余弦值为.

16.电影《厉害了，我的国》于2018年3月正式登陆全国院线，网友纷纷表示，看完电影热血沸腾“我为我的国家骄

傲，我为我是中国人骄傲！”《厉害了，我的国》正在召唤我们每一个人，不忘初心，用奋斗书写无悔人生，小明想约

甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了，我的国》，并把标识为的四张电影票放在编号分别为1,2,

3,4的四个不同的盒子里，让四位好朋友进行猜测：

甲说：第1个盒子里放的是区，第3个盒子里放的是C

乙说：第2个盒子里放的是8,第3个盒子里放的是。

丙说：第4个盒子里放的是。，第2个盒子里放的是。

丁说：第4个盒子里放的是A,第3个盒子里放的是。

小明说：“四位朋友你们都只说对了一半”

可以预测，第4个盒子里放的电影票为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x=cos6、

17.(12分)在直角坐标系工。)，中，曲线G的参数方程为.八以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,

y=sin0.

设点A在曲线C2：夕sin<9=l上，点8在曲线。3：9=一］(夕>0)上，且&AQB为正三角形.

6

(1)求点A,5的极坐标；

(2)若点?为曲线G上的动点，M为线段4P的中点，求18Ml的最大值.

18.(12分)在三棱柱ABC-A4G中，四边形AB/4是菱形，A4=4,=60°,B£=3,BC上AB,

点M、N分别是4出、AC；的中点，且MN_LAM.

(1)求证：平面8CG四_L平面4乌区4；

(2)求四棱锥A—8CG4的体积.

19.(12分)已知｛a"是一个公差大于。的等差数列,且满足a3a5=45,a2+a6=I.

(I)求｛an｝的通项公式;

(U)若数列｛bn｝满足：叁+…+冬=q+1(〃，),求｛bn｝的前n项和.

20.(12分)在AA8C,角A、B、C所对的边分别为。、b、已知cosB+(cosA-2sin4)cosC=0.

(1)求cosC的值;

AC边上的中线3W一姮，求AA3C的面积.

（2）若a=5/5，

2

21.(12分)如图，在正四棱锥P—A8CO中，AB=2,N4PC=£,M为性上的四等分点，即BM=；BP.

34

(1)证明：平面AMC_L平面尸8C；

(2)求平面POC与平面4MC所成锐二面角的余弦值.

22.（10分）如图，在AA3C中，AB>BC,ZABC=120°,AB=3,NA8C的角平分线与4C交于点。，BD=1.

(I)求sin求;

(II)求凶8的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

根据几何体分析正视图和侧视图的形状，结合题干中的数据可计算出结果.

【详解】

由三视图的性质和定义知，三棱锥P-BCD的正视图与侧视图都是底边长为2高为1的三角形，其面积都是

^xlx2=l,正视图与侧视图的面积之和为1+1=2,

2

故选：A.

【点睛】

本题考食几何体正视图和侧视图的面积和，解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状，考查空间想象能力与计算

能力，属于基础题.

2、C

【解析】

利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可.

【详解】

①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高w：分，平均成绩为低于二分，①错误；

②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间了北二匚)内，②正确;

③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；

④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查折线图的应用.线性相关以及平均分的求解,考查转化思想以及计算能力.属干基础题.

3、A

【解析】

根据事函数定义，求得b的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.

【详解】

2

•・•当函数/(力=(%2-3"—1卜"为器函数时，2b-3b-\=\f

解得8=2或一:，

2

・・・“〃=2”是“函数/(x)=(2/-3。-1卜“为寡函数”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题考查了充分必要条件的概念和判断，基函数定义的应用，属于基础题.

4、B

【解析】

先化简集合A,再求C^A.

【详解】

由得：-1<x<l,所以A={0},因此二{-1,1,2},故答案为B

【点睛】

本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.

5、C

【解析】

设〃=（£），），根据题意求出尤）'的值，代入向量夹角公式，即可得答案;

【详解】

设/?=（工,y）,。一〃=（1-x,6—y）,

6是单位向量，/+卜2=],

a-b=y[it（i—x）2+（6—»=3,

1

户-5或卜=i，

联立方程解得：

1

x--13一

2----------―1."£冗

当时,-,221；••<a,b>=一

cos<a,b>=--=—3

2x12

y-

当

y=0,2x123

71

综上所述：<a,b>=—.

3

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时

注意力的两种情况.

6、A

【解析】

解一元二次不等式化简集合M的表示，求解函数y=的定义域化简集合N的表示，根据McN=M可以得

到集合M、N之间的关系，结合数轴进行求解即可.

【详解】

M=1x|x2-3x+2<（）|={^|1<x<2},N={x|y=Vx-tzJ={x|x>«）.

因为McN=M,所以有MuN,因此有〃<1.

故选：A

【点睛】

本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题，考查了解一元二次不等式，考查了函数的定义域，考查了数学

运算能力.

7、D

【解析】

连接。P,根据题目，证明出四边形为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案

【详解】

连接。P,由3尸。4知，四边形AP8。为平行四边形，可得四边形AP。。为平行四边形，所以

1131

DP=DA-^DO=DA-^-DA+-DC=-DA+-DC.

2222

【点睛】

本题考杳向量的线性运算问题，属于基础题

8、D

【解析】

过点瓦尸做正方形边的垂线，如图，设乙4项/=。，利用直线三角形中的边角关系，将AR8C用a表示出来，根

据A8=3C,列方程求出夕，进而可得正方形的边长.

【详解】

过点E尸做正方形边的垂线，如图，

设，则/MEF=NQFE=60—仪，

NB

则AB=AM+MN+NB=AEsina十EFsin(60—a)+FCsina

3.G

=50sina+40sin(60-。)+30sina=40—sin«+——cosa

22

CB=BP+PC=AEcosa+FCcosa-EFcos(6()一a)

3V3

=50cosa+30cosa-40cos(60-a)=40一cosa------sina

22

(3G、(3百、

因为A8=C8,则40：sina+=cosa=40—cosa——-sina

22/\22/

整理化简得si"a=2-,又sin?a+cos2a=1,

cosa

得sinQ=3]V3+1

cosa=——

2V22V2

3.>/3(3V3-1G

...AB=40—sin6z+——cosa=40x—x=+——x=20日

221225/22

即该正方形的边长为20V6cw.

故选：D.

【点睛】

本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题.

9、C

【解析】

43利用不等式性质可判断，C、。利用对数函数和指数函数的单调性判断.

【详解】

1]cc

解：对于A实数0<a<〃，,cWO不成立

abab

对于B.c=0不成立.

对于C.利用对数函数>=Inx单调递增性质，即可得出.

对于D指数函数)，=(g)'单调递减性质，因此不成立.

故选：C.

【点睛】

利用不等式性质比较大小.要注意不等式性质成立的前提条件.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采

用特殊值验证的方法.

【解析】

先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可.

【详解】

本程序框图的功能是计算〃〃中的最大公约数，所以1995=228x8+171,

228=171x1+57,171=3x57+0,故当输入m=1995,〃=228,则计算机输出的数

是57.

故选：B.

【点睛】

本题考杳程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题.

11、B

【解析】

根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可；

【详解】

解：①已知函数、f（x）是一次函数，若数列｛%｝的通项公式为4=/（〃），

可得，〃+「%=上伏为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确；

②若直线/上有两个不同的点到平面。的距离相等，贝！1/与a可以相交或平行，故②错误；

③在AABC中，反A£（O,4）,而余弦函数在区间（0,万）上单调递减，故“cosA>cos8”可得38>A"，由"BAA”

可得“cosA>cos8”,故"cosA>cos3”是“8>4”的充要条件，故③错误；

④若々>0,〃>0,2。+力=4,则4=24+822届工，所以《必工2,当且仅当2。=〃=2时取等号，故④正确；

综上可得正确的有①④共2个；

故选：B

【点睛】

本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运

算能力和推理能力，属于中档题.

12、B

【解析】

首先求得双曲线的一条渐近线方程向汇-石〉二0,再利用左焦点到渐近线的距离为2,列方程即可求出〃?，进而求

出渐近线的方程.

【详解】

设左焦点为一条渐近线的方程为石汆-&)，=0,由左焦点到渐近线的距离为2,可得J^L=J^=2,

7,1+5

2xi-

所以渐近线方程为)=±;方，即为2工土石)，=0,

故选：B

【点睛】

本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、80.

【解析】

只需找到(2-X2)5展开式中的X4项的系数即可.

【详解】

(2-3，展开式的通项为却=玛25r(-/),=(_1)’玛25-32"令r=2,

则T\=(-1)2C/23X4=80f,故(2一步)的展开式中x的系数为80.

X

故答案为：80.

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，涉及到展开式中的特殊项系数，考查学生的计算能力，是一道容易题.

14、—(-8,4)

4

【解析】

首先由分段函数的解析式代入求值即可得到/(-2),分x>0和xW0两种情况讨论可得;

【详解】

2'(x<0)

解:因为f(x)=«

12-3x(x>0)

所以《2)=2一2j

Vf(x)>0,

工当x<0时，0</*)=2'41满足题意，・・・工工0；

当x>0时，由/(x)=12—3x>。,

解得x<4.综合可知：满足/。)>0的x的取值范围为(-8,4).

故答案为：—；(—8,4).

4

【点睛】

本题考查分段函数的性质的应用，分类讨论思想，属于基础题.

15、巫

5

【解析】

根据题意画出几何题，建立空间直角坐标系，写个各个点的坐标，并求得E£3G•由空间向量的夹角求法即可求得异

面直线EF与8cl所成角的余弦值.

【详解】

根据题意画出几何图形，以A为原点建立空间直角坐标系:

设正方体的棱长为1,则40,(),0,0),G

所以匹二(；,O,£|,BG=(0,1,1).

闭邛也G卜&.

所以c。-埠卜萼,

固网I互及°'25

4

所以异面直线EF与所成角的余弦值为巫，

5

故答案为，叵.

5

【点睛】

本题考查了异面直线夹角的求法，利用空间向量求异面直线夹角，属于中档题.

16>A或D

【解析】

分别假设每一个人一半是对的，然后分别进行验证即可.

【详解】

解：假设甲说：第1个盒子里面放的是3是对的，

则乙说：第3个盒子里面放的是。是定的，

丙说：第2个盒子里面放的是。是对的，

丁说：第4个盒子里面放的是A是对的，

由此可知第4个盒子里面放的是A;

假设甲说：第3个盒子里面放的是。是对的，

则丙说：第4个盒子里面放的是。是龙的，

乙说：第2个盒子里面放的是3是对的，

丁说：第3个盒子里面放的是。是对的，

由此可知第4个盒子里面放的是D.

故第4个盒子里面放的电影票为。或4.

故答案为：A或D

【点睛】

本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)A|^~\»B2,-£；(2),+省.

I6；16；2

【解析】

(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得解;

(2)设点M的直角坐标为",)，)，则点P的直角坐标为将此代入曲线G的方程，可得点M在以

。导为圆心，；为半径的圆上，所以|BM|的最大值为|8Q|+g,即得解.

【详解】

(1)因为点A在曲线G：e=-£(o>°)上，.AO3为正三角形,

所以点4在曲线。=工(0>0)上.

6

又因为点4在曲线G:psin6=l上,

所以点村的极坐标是口高，

从而，点"的极坐标是(2,一堂.

(2)由(D可知，点A的直角坐标为(6,1),B的直角坐标为(6,-1)

设点M的直角坐标为Cry),则点p的直角坐标为(2x—J5,2)，—1).

G1八

x=——十—cos。,

22

将此代入曲线G的方程，有

11.„

>，=2+2Sin<9,

i

即点M在以。—为圆心，3为半径的圆上•

"Q’T母一后吗2=5

所以I8MI的最大值为|3Q|+g=；+G.

【点睛】

本题考查了极坐标和参数方程综合，考查了极坐标和直角坐标互化，参数方程的应用，考查了学生综合分析，转化划

归，数学运算的能力，属于中档题.

18、(1)证明见解析；(2)85/3.

【解析】

(1)要证面面垂直需要先证明线面垂直，即证明出8CJ_平面46/A即可；

(2)求出点4到平面的距离，然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥A-8CG4的体积.

【详解】

(1)连接A。，由ACGA是平行四边形及N是AG的中点，

得N也是的中点，因为点M是AB的中点，所以MN//BC,

因为MN_LA4,所以BC_LAg,

又ABCAg=A，所以AC_L平面AqBA,

又3Cu平面3。。蜴，所以平面BCCg平面4片氏4；

(2)过4作AO18/交于点。

因为平面8CGgJ■平面448人，平面BCG4「平面4禺8八=8/，

所以AO_L平面BCC闰,

由4战B4是菱形及N4Bg=60。，得AABB1为三角形,则人。=2百，

由BCJ_平面A^BA,得从而侧面BCCg为矩形，

所以V.R“R=-xOAxBCxB,B=-x2V3x3x4=8x/3.

/»-"«•V-v-13Iq

【点睛】

本题主要考查了面面垂直的证明，求四棱锥的体积，属于一般题.

M+2

19、(I)an=2/7-1；(II)2-4

【解析】

(I)设等差数列的公差为4,则依题设〃=2.

由一多=14,可得c”=2.

由生生=45,得i--dX——d)=45,可得d•1.

所以q==1.

可得a-1.

(II)设？=刍，则小%电彳…:：〜二线/::1.

・

即年;

可得g=2,且C：+C：+•••-，,4C＞；=)；：+I).

所以c＞：=2,可知C=，〃€、*).

所以A:

所以数列a)是首项为4,公比为2的等比数列.

所以前〃项和1=坦二22=21T.

1-2

考点：等差数列通项公式、用数列前〃项和求数列通项公式.

20、(1)cosC=—(2)答案不唯一，见解析

5

【解析】

(1)由题意根据和差角的三角函数公式可得tanC=2,再根据同角三角函数基本关系可得cosC的值;

(2)在AABC中，由余弦定理可得〃2一4力+3=0,解方程分别由三角形面积公式可得答案.

【详解】

解：(1)在AABC中，因为cos3=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC,

又已知cosB+(cosA-2sin4)cosC=0,

所以sinAsinC-2sinAcosC=0,

因为sinA工0,所以sinC—2cosc=0,于是tanC=2.

所以cosC二正.

5

(2)在AA3C中，由余弦定理得3”=3C2+CM2_23CCM8SC,

得Z?2—4b+3=0解得6=1或b=3,

当Z?二l时，&钻。的面积S=‘G〃sinC=l,

2

当人=3时，A4BC的面积S=La〃sinC=3.

2

【点睛】

本题考杳正余弦定理理解三角形，涉及三角形的面积公式和分类讨论思想，属于中档题.

21、（1）答案见解析.（2）土」

7

【解析】

（D根据题意可得P8=PO=P4=PC=2逐，在中，利用余弦定理可得AM_LP3,然后同理可得

CM1PB,利用面面垂直的判定定理即可求解.

ULIU

（2）以D为原点建立直角坐标系，求出面POC的法向量为〃AMC的法向量为人,利用空间向量的数量积即可

求解.

【详解】

（1）由A8=2nAC=2&

由NAPC=X=>PA=PC=AC=2及

3

因为是正