一轮复习-直线平面平行的判定及其性质

《直线与平面平行的判定》2021/6/271复习提问直线与平面有什么样的位置关系？1.直线在平面内——有无数个公共点；2.直线与平面相交——有且只有一个公共点；3.直线与平面平行——没有公共点。aaa2021/6/272直线与平面平行的判定定理：

符号表示：

b归纳结论(线线平行线面平行)

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.2021/6/273感受校园生活中线面平行的例子:天花板平面2021/6/274定理的应用

例1.如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB，AD的中点.

求证：EF∥平面BCD.ABCDEF

分析：要证明线面平行只需证明线线平行，即在平面BCD内找一条直线平行于EF，由已知的条件怎样找这条直线？2021/6/275证明：连结BD.∵AE=EB,AF=FD∴EF∥BD（三角形中位线性质）

例1.如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB，AD的中点.

求证：EF∥平面BCD.ABDEF定理的应用2021/6/2761.如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，若，则EF与平面BCD的位置关系是_____________.

EF//平面BCD变式1:ABCDEF2021/6/277变式2:ABCDFOE2.如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面正方形DBCE对角线的交点,F为AE的中点.求证:AB//平面DCF.(天津高考)分析:连结OF,可知OF为△ABE的中位线,所以得到AB//OF.2021/6/278∵O为正方形DBCE对角线的交点,∴BO=OE,又AF=FE,∴AB//OF,BDFO2.如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面正方形DBCE对角线的交点,F为AE的中点.求证:AB//平面DCF.证明:连结OF,ACE变式2:2021/6/2791.线面平行,通常可以转化为线线平行来处理.反思~领悟：2.寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的判定等来完成。3、证明的书写三个条件“内”、“外”、“平行”，缺一不可。2021/6/2710D1C1B1A1DCBA1.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1平行的平面是___________________.巩固练习:平面ＢＣ1、平面CD12021/6/2711

分析：要证BD1//平面AEC即要在平面AEC内找一条直线与BD1平行.根据已知条件应该怎样考虑辅助线?巩固练习:2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证:BD1//平面AEC.ED1C1B1A1DCBAO2021/6/2712

证明:连结BD交AC于O,连结EO.∵O为矩形ABCD对角线的交点,∴DO=OB,

又∵DE=ED1,∴BD1//EO.ED1C1B1A1DCBAO巩固练习:

如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证:BD1//平面AEC.2021/6/2713归纳小结，理清知识体系1.判定直线与平面平行的方法：（1）定义法：直线与平面没有公共点则线面平行；（2）判定定理：（线线平行线面平行）；2.用定理证明线面平行时,在寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的判定等来完成。2021/6/2714《平面与平面平行的判定》2021/6/2715复习回顾：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．（2）直线与平面平行的判定定理：（1）定义法；线线平行线面平行1.

到现在为止,我们一共学习过几种判断直线与平面平行的方法呢?2021/6/2716（1）平行（2）相交α∥β复习回顾：怎样判定平面与平面平行呢？问题：2.

平面与平面有几种位置关系？分别是什么？2021/6/2717生活中有没有平面与平面平行的例子呢?(1)三角板或课本的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板或课本所在平面与桌面平行吗？(2)三角板或课本的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？观察：思考：教室的天花板与地面给人平行的感觉，前后两块黑板也是平行的。2021/6/2718探究：当三角板的两条边所在直线分别与地面平行时,这个三角板所在平面与地面平行。结论：（１）平面内有一条直线与平面平行，，平行吗？（２）平面内有两条直线与平面平行，，平行吗？2021/6/2719结论：（1）中的平面α，β不一定平行。如图，借助长方体模型，平面ABCD中直线AD平行平面BCC'B'，但平面ABCD与平面BCC'B'不平行。2021/6/2720结论：（2）分两种情况讨论：如果平面β内的两条直线是平行直线，平面α与平面β不一定平行。如图，AD∥PQ，AD∥平面BCC’B’，PQ∥BCC’B’，但平面ABCD与平面BCC’B’不平行。PQ如果平面β内的两条直线是相交的直线，两个平面会不会一定平行？2021/6/2721直线的条数不是关键直线相交才是关键2021/6/2722

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

两个平面平行的判定定理：线不在多，重在相交符号表示：ａ，ｂ，ａｂ＝Ｐ，ａ，ｂ图形表示：结论：abP2021/6/2723判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）若平面内的两条直线分别与平面平行，则与平行；（2）若平面内有无数条直线分别与平面平行，则与平行；（3）平行于同一直线的两个平面平行；（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行；（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面．练习×××××2021/6/2724例1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面AB1D1//平面C1BD证明：因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1又AB∥A1B1，AB＝A1B1，∴D1C1∥AB，D1C1＝AB，∴D1C1BA是平行四边形，∴D1A∥C1B，又D1A

平面C1BD,CB平面C1BD.由直线与平面平行的判定,可知同理

D1B1∥平面C1BD,又D1A∩D1B1=D1,所以，平面AB1D1∥平面C1BD。D1A∥平面C1BD，2021/6/2725变式:在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN//平面EFDB。ABCA1B1C1D1DMNEF线面平行面面平行线线平行2021/6/2726第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平面。第三步：利用判定定理得出结论。证明两个平面平行的一般步骤：方法总结：2021/6/27271、如图：三棱锥P-ABC,D,E,F分别是棱PA，PB，PC中点， 求证：平面DEF∥平面ABC。PDEFABC例2、2021/6/2728小结：1、面面平行的定义；2、面面平行的判定定理；3、面面平行判定定理的应用：要证面面平行，只要证线面平行，而要证线面平行，只要证线线平行。在立体几何中，往往通过线线、线面、面面间的位置关系的转化使问题得到解决。2021/6/2729《直线与平面平行的性质》2021/6/2730复习旧知线面平行、面面平行判定定理的内容是什么?判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件?答:直线和平面平行的判定定理是:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.定理中的线与线、线与面应具备的条件是:一线在平面外,一线在平面内;两直线互相平行。平面和平面平行的判定定理是：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。定理中的线与线、线与面应具备的条件是:两条直线必须相交,且两条直线都平行于另一个平面。2021/6/2731提出问题:如果已知直线与平面平行，会有什么结论？提出问题、引入新课直线与平面平行的性质2021/6/2732探研新知探究1.如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这个平面内的所有直线都平行？这条直线与这个平面内有多少条直线平行？结合实例(教室内的有关例子)得出结论:如果一条直线与平面平行，这条直线不会与这个平面内的所有直线都平行,但在这个平面内却有无数条直线与这条直线平行。2021/6/2733探究2.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？探研新知答:由直线与平面平行的定义，如果一条直线a与平面α平行，那么a与平面α无公共点，即a上的点都不在平面α内，平面α内的任何直线与a都无公共点，这样，平面α内的直线与平面α外的直线a只能是异面直线或平行直线。abα

aαb2021/6/2734探研新知探究3.如果一条直线a与平面α平行,在什么条件下直线a与平面α内的直线平行呢？答:由于a与平面α内的任何直线无公共点，所以过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线。下面我们来证明这一结论.2021/6/2735探研新知已知：如图，a∥α，a

Ìβ，α∩β＝b。求证：a∥b。证明：∵α∩β＝b，∴bÌα∵

a∥α，∴a与b无公共点，∵aÌβ，bÌβ，∴a∥b。我们可以把这个结论作定理来用.2021/6/2736直线与平面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与这个平面的交线与该直线平行。abαβ符号表示：作用：可证明两直线平行。欲证“线线平行”，可先证明“线面平行”。2021/6/2737直线和平面平行的判定定理:直线与直线平行直线与平面平行直线和平面平行的性质定理:注意:

平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行；但是若一条直线与一个平面平行，则这条直线并不是和平面内的任一条直线平行，它只与该平面内与它共面的直线平行．2021/6/2738探研新知探究4.教室内的日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？答:只需由灯管两端向地面引两条平行线,过两条平行线与地面的交点的连线就是与灯管平行的直线。

2021/6/2739例题示范例1：已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。第一步:将原题改写成数学符号语言如图,已知直线a,b,平面α,且a//b,a//α,a,b都在平面α外.求证:b//α.第二步:分析：怎样进行平行的转化？→如何作辅助平面？第三步:书写证明过程2021/6/2740例题示范如图,已知直线a,b,平面α,且a//b,a//α,a,b都在平面α外.求证:b//α.证明:过a作平面β,使它与平面α相交,交线为c.因为a//α,a

Ìβ,α

Çβ=c,所以

a//

c.

因为a//b,所以,b//c.又因为c

Ìα,

b

α,所以

b//

α。2021/6/2741练习反馈：一条直线和两个相交平面平行，求证：它和这两个平面的交线平行。已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，平面αÇ平面β=b，求证a//b.2021/6/2742例题示范例2：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′

内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线和面AC有什么关系？解：（1）过点P作EF∥B’C’，分别交棱A’B’，C’D’于点E，F。连接BE，CF，则EF，BE，CF就是应画的线。PA1DABB1D1C1CEF2021/6/2743例题示范例2：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′

内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线和面AC有什么关系？（2）因为棱BC平行于平面A'C'，平面BC'与平面A'C'交于B'C'，所以BC∥B'C'，由（1）知，EF∥B'C'，所以，EF∥BC，因此，EF//BC,EF

平面AC,BCÌ平面AC.所以,EF//平面AC.BE、CF显然都与平面AC相交。

2021/6/2744

变式：如果AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD和面BC′、面BF、面A′C′都有怎样的位置关系．为什么？探究:练一练:

设平面α、β、γ，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a//b.

求证：a∥b∥c.2021/6/2745小结

如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。线线平行

线面平行线面平行线线平行线面平行的判定定理线面平行的性质定理

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。2021/6/2746《平面与平面平行的性质》2021/6/2747复习提问、引入新课复习：如何判断平面和平面平行?答:有两种方法,一是用定义法,须判断两个平面没有公共点;二是用平面和平面平行的判定定理,须判断一个平面内有两条相交直线都和另一个平面平行.思考:如果两个平面平行，会有哪些结论呢?2021/6/2748探究新知探究1.

如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？a答:如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.2021/6/2749借助长方体模型探究结论:如果两个平面平行，那么两个平面内的直线要么是异面直线,要么是平行直线.探究新知探究2.如果两个平面平行，两个平面内的直线有什么位置关系？2021/6/2750探究3:当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线有什么关系？为什么？