经济学之需求13

第一章经济学之需求

本章概要

需求函数*****

正常商品与低档商品★★★★

收入提供曲线和恩格尔曲线★★★

普通商品与吉芬商品★★★★★

价格提供曲线和需求（Hl线★★★

替代和互补

反需求函数

一、需求函数

需求函数：刻画的是每种商品的作为消费者面临的价格和收入的函数的最优消费

数量。记作：

xi=xi（pbp2/m）

X2=X2（Pi,P2,m）

二、正常商品与低档商品（收入变动对需求的影响）

1.正常商品：收入增加时对这种商品的需求就会增加，而收入减少时对这种商

品的需求就会减少。需求数量的变动总是与收入的变动方向保持一致:">0

2.低档商品：收入的增加将导致对这种商品的需求减少。

三、收入提供曲线和恩格尔曲线

收入提供曲线(收入扩展线)：商品1和商品2价格不变，收入变动时将最优点

联结在一起构成的曲线。代表了不同收入水平上的需求束。如果两种商品都是正

常商品，那么收入扩展线的斜率就一定为正值。

恩格尔曲线：在所有的价格保持不变时，需求如何随收入变动而变动的情况。

1.完全替代

当替代比例为1:1时，如果P1〈P2,消费者专门消费商品L那么收入增加就意

味着他将增加商品1的消费。收入提供曲线就是横轴。

R恩格尔曲线

由于对商品1的需求是Xi=m/P1,所以恩格尔曲线一定是一条斜率为pi的直线。

2.完全互补

当固定比例为1:1时，既然消费者对每种商品总是消费相同的数量，所以不管怎

样，收入提供曲线总是一条经过原点的对角线，商品1的需求是xi二m/(pi+p2),

恩格尔曲线是一条斜率为P1+P2的直线。

3.柯布-道格拉斯偏好U(X1,X2)=XiaX21'a

商品1的柯布-道格拉斯需求函数为x产am/pi。在pi保持不变的情况下，它是m

的线性函数，m加倍需求也加倍。

对商品2的需求是X2=(l-a)m/pz，显然，也是线性函数。因此收入扩展线一定

是经过原点的直线.商品1的恩格尔曲线一定是斜率为pi/a的一条直线c

4.相似偏好

奢侈品：同收入相比，商品的需求增加的比例较大。

必需品：商品的需求增加的比例较小。

相似偏好：当收入按任意的比例t>0递增或递减时，需求束也会按相同的比例

递增或递减。

完全替代、完全互补和柯布道格拉斯偏好都是相似偏好。

相似偏好的收入提供曲线都是经由原点的直线。

5.拟线性偏好U(X1,X2)=v(xi)+X2

如果一条无差异曲线在（X1ZX2）点与预算线相切，那么对于任意的常数k,另一

条无差异曲线一定也会在（Xi,X2+k）点与预算线相切。收入增加完全不会改变对

商品1的需求，所有新增加的收入将全部用在商品2的消费上。拟线性偏好下商

品1具有“零收入效应”。

商品1的恩格尔曲线是一条垂直线，当收入变动时，商品1的需求保持不变。

四、普通商品与吉芬商品（价格变动对需求的影响）

普通商品：价格下降，需求数量增加。

吉芬商品：价格下降，需求数量减少。（即使货币收入保持不变，商品价格的变

动也会使购买力发生变化，从而引起需求的变化）

五、价格提供曲线和需求曲线

价格提供曲线：商品1的价格发生变动而P2和收入保持不变时，最优点联结在

一起构成的曲线。代表了在商品1的不同价格水平上的需求束。

需求曲线：商品2的价格和货币收入保持不变，然后针对每个不同的P1标绘出

商品1的最优消费水平C

对于普通商品来说，当一种商品的价格上升时，对这种商品的需求就会减少。因

此，这种商品的价格和需求数量的变动方向是相反的，需求曲线斜率为负。用变

化率来表示，则急<0

1.完全替代

当替代比例为1：1时，当pi>P2r'h商品1的需求为0；当P户口2时，商品1的

需求是预算线上的任一数量；当Pi〈P2时，商品1的需求等于m/p】。

2.完全互补

消费者的价格提供曲线总是一条对角线。

当固定比例为时，商品的需求可以表示为刈=正3

3.离散商品

假设商品1是离散商品c如果团非常高，消费者就会严格偏好消费零单位的商

品L如果pi足够低，消费者就会严格偏好消费1单位的商品1。在某个价格n

处，消费者在消费和不消费商品1之间无差异。

保留价格：使消费者消费或不消费某种商品刚好无差异的价格。

在价格门处，消费者刚好在消费零单位或1单位商品1之间无差异，因此

u(Ozm)=u(l,m-ri)①

同样，r2满足方程

u(lzm-r2)=u(2,m-2r2)②

方程的左边是按价格「2消费1单位商品的效用，方程的右边是按价格「2消费2

单位商品的效用。

如果效用函数是拟线性的，U(X1/X2)=v(Xi)+X2并且v(0)=0,则①变为

v(0)+m=m=v(1)+m-ri

求解"得至iJri=v(1)

同样，②写成

v(1)=m-r2=v(2)+m-2r2

整理后变为

r2=v(2)-v(1)

第3个消费单位的保留价格由下式给出

f3=v(3)-v(2)

依此类推。

在每种情况下，保留价格都是对导致消费者增加1单位商品消费所必需的效用增

量的测度。

保留价格序列一定是递减的:rl>r2>r3…

思考：柯布-道格拉斯偏好的价格提供曲线是什么样子呢？

答：是水平线。具有柯布道格拉斯偏好的消费者在每种商品上的花费总是占他收

入的一个固定的份额。消费者在商品1上的花费占他收入的比重为c/(c+d),在

商品2上的花费占他收入的比重为d/(c+d)。消费商品2的数量并不受商品1

价格影响。

六、替代和互补

替代品：如果当商品2的价格上升时，商品1的需求增加，我们就称商品1是商

品2的替代品。^-^>0

△p2

互补品：如果当商品2的价格上升时，商品1需求下降，我们就称商品1是商品

2的互补品。^-^<0

Ap2

七、反需求函数

反需求函数把价格视作数量的函数。即对于商品1的任一需求水平，反需求曲线

度量的是，为了使消费者选择这个消费水平，商品1所必须具有的价格。

补充：

证明拟线性偏好零收入效应

U(X1,X2)=v(X1)+X2

maxv(xi)+X2

s.t.P1X1+P2X2;m

代入得maxv(xi)+m/p2-pixi/p2

求导vz(xf)瑞

P2

vz(Xi)是Xi的边际效用，可知消费者对商品1的需求一定独立于收入(零收入

效应)。

反需求曲线可表示为P1(X1)=V/(XI)P2

完u（xiX2）=min{axi,bx2}*

*L.z

公1'

1一,・

/_____

互__、__:

0*,

补

最优选择必然总是出

现在对角线上。

求解［X1=X2

PlXl+p2X2=m

m

X1=X2=---------

pl+p2

«»•

拟U（X1,X2）=k=v（Xi）

、

线+X2

性全部无差异曲线都是

O

一条无差异曲线垂直

“移动”的结果。

当V（X1）满足V,（XI）

>0,vz，（xi）VO时，

拟线性偏好为良性偏

好。

Cdcm

柯U（X1,X2）=XlX2Xi=-

c+dpl

布两种单调变换：

dm

X2-c+dp2

©U（X1,X2）=ln（XlcX2d）

消费者在商品1上的花

道=lnxic+lnx2d

费占他收入的比重为

格=clnxi+dlnx2

cd——»在商品2上的花费

拉c+d

@U（X1ZX2）=X1c+?X2^

斯占他收入的比重为上

=XiaX21-a

中*>•

性

——

商

<一

品

表2

就是横轴。当P1〈P2时，商

品1的需求等于

m/pio

完1

牧人HOI

全一

互/夕车一夕,♦〃

慢im乙W

乙_、--、一”•11

补(,0ii00B««««

AW•尔・代A价格提供一段

m

收入提供曲线总xi=m/(pi+p2)消费者的价格提Xi=---------

pl+p2

是一条经过原点供曲线总是一条

的对角线。对角线。

拟

J1***r巴格尔

线

性

Oa

Aa人■供

o*1

商品1具有“零收B9UI尔・«(

)(效应二

柯\枚人||供水平线

恩格尔/

布曲愫/

率=M/0

C*，

道A，A・fUBA

OX)

格需求:函数为是mB恩幡尔西线

拉的线，件函数，m加

xi=am/pi

斯倍需；求也加倍。

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