江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷

2016-2017学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1.（5分）命题勺xWR,x?>9"的否定是.

2.（5分）抛物线y2=2x的焦点坐标为.

3.（5分）过点P（0,1）,且与直线2x+3y-4=0垂直的直线方程为.

4.（5分）直线3x-4y-12=0与两条坐标轴分别交于点A,B,0为坐标原点，

则△ABO的面积等于.

5.（5分）函数y=x3-2x?+x的单调递减区间为.

6.（5分）"m=-1"是"直线li：mx-2y-1=0和直线I?：x-（m-l）y+2=0相互

平行”的条件.（用“充分不必要"，"必要不充分条件"，"充要"，"既不充

分也不必要"填空）

7.（5分）函数y=x2-x-lnx在区间［1,3］上的最小值等于.

8.（5分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA_L底面ABCD,底面ABCD为正方形，

则下列结论：

①AD〃平面PBC；

②平面PAC_L平面PBD；

③平面PAB_L平面PAC；

④平面PAD_L平面PDC.

其中正确的结论序号是.

9.（5分）已知圆C：x2+y2-4x-2y+l=0上存在两个不同的点关于直线x+ay-1=0

对称，过点A（-4,a）作圆C的切线，切点为B,则|AB|=.

10.（5分）已知圆柱甲的底面半径R等于圆锥乙的底面直径，若圆柱甲的高为R,

圆锥乙的侧面积为立冗R2,则圆柱甲和圆锥乙的体积之比为

4

11.(5分)已知函数f(x)=三叁在区间(m，m+2)上单调递减，则实数m的

ex

取值范围为.

12.(5分)在平面直角坐标系xoy中，已知直线I：ax+y+2=0和点A(-3,0),

若直线I上存在点M满足MA=2M0,则实数a的取值范围为.

13.(5分)在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，则

当a>0时，实数b的最小值是.

22

14.(5分)已知F是椭圆以三+3fl(a〉b>0)的左焦点，A,B为椭圆C的

a2b2

左、右顶点，点P在椭圆C上，且PF±x轴，过点A的直线与线段PF交与点M,

与y轴交与点E,直线BM与y轴交于点N,若NE=2ON,则椭圆C的离心率

为.

二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验

算过程.

15.(14分)已知圆M的圆心在直线y=-x上，且经过点A(-3,0),B(1,2).

(1)求圆M的方程；

(2)直线I与圆M相切，且I在y轴上的截距是在x轴上截距的两倍，求直线I

的方程.

16.(14分)如图，四棱柱ABCD-ABC。的底面ABCD为矩形，平面CDD©

，平面ABCD,E,F分别是CD,AB的中点，求证：

(1)AD1CD；

(2)EF〃平面ADDiAi.

li

17.(14分)从旅游景点A到B有一条100km的水路，某轮船公司开设一个游

轮观光项目.已知游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为

每小时3240元，游轮最大时速为50km/h,当游轮的速度为10km/h时，燃料费

用为每小时60元，设游轮的航速为vkm/h,游轮从A到B一个单程航行的总费

用为S元.

(1)将游轮从A到B一个单程航行的总费用S表示为游轮的航速v的函数S=f

(v)；

(2)该游轮从A到B一个单程航行的总费用最少时，游轮的航速为多少，并求

出最小总费用.

22

18.(16分)已知椭圆C：三一+工=1(a>b>0)上的左、右顶点分别为A,B,

2,2

ab

%为左焦点,且|AF1|=2,又椭圆C过点(0,26).

(I)求椭圆C的方程；

(II)点P和Q分别在椭圆C和圆x2+y2=16上(点A,B除外)，设直线PB,QB

的斜率分别为kI，k2,若心表2,证明：A,P,Q三点共线.

19.(16分)已知函数f(x)=a(x-l)-Inx(a为实数)，g(x)=x-1,h(x)

_fg(x),f(xXg(x)

f(x),f(x)>g(x)

(1)当a=l时，求函数f(x)=a(x-1)-Inx在点(1,f(D)处的切线方程；

(2)讨论函数f(x)的单调性；

(3)若h(x)=f(x),求实数a的值.

20.(16分)在平面直角坐标系xOy中，圆0：x2+y2=l,P为直线I：x=t(l<t

<2)上一点.

(1)已知t=a.

3

①若点P在第一象限，且。P=互，求过点P的圆。的切线方程；

3

②若存在过点P的直线交圆。于点A,B,且B恰为线段AP的中点，求点P纵

坐标的取值范围；

(2)设直线I与x轴交于点M,线段0M的中点为Q,R为圆。上一点，且RM=1,

直线RM与圆。交于另一点N,求线段NQ长的最小值.

第二卷(附加题.每题10分。)

21.求曲线f(x)=工■在x=2处的切线与x轴交点A的坐标.

2x

e

22.已知点P是圆x?+y2=i上的一个动点，定点M(-l,2),Q是线段PM延长

线上的一点，且而=2而，求点Q的轨迹方程.

23.如图，在四棱锥P-ABCD中，PAJ_底面ABCD,AD_LAB,AB〃DC,AD=DC=AP=2,

AB=1,点E为棱PC的中点.

(I)证明：BE±DC；

(II)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

(III)若F为棱PC上一点，满足BF_LAC,求二面角F-AB-P的余弦值.

24.如图，已知抛物线y2=4x,过点P(2,0)作斜率分别为k】，k2的两条直线,

与抛物线相交于点A、B和C、D,且M、N分别是AB、CD的中点

(1)若ki+k2=0,AP=2PB，求线段MN的长；

(2)若%・1<2=-1,求△PMN面积的最小值.

2016-2017学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1.（5分）命题叼xGR,x2>9"的否定是VxGR,x?W9.

【解答】解：命题省xWR,x2>9"的否定是命题"VxGR,X2<9",

故答案为：VxCR,X2^9.

2.（5分）抛物线y2=2x的焦点坐标为_e，Q）_.

【解答】解：抛物线y2=2x的焦点在x轴的正半轴上，且p=l,，匹［，故焦点

22

坐标为上,0）,

2

故答案为：（［，0）.

2

3.（5分）过点P（0,1）,且与直线2x+3y-4=0垂直的直线方程为3x-与+2=0.

【解答】解：•.•直线2x+3y-4=0的斜率k=-2,

3

与直线2x+3y-4=0垂直的直线的斜率为3.

2

则点P（0,1）,且与直线2x+3y-4=0垂直的直线方程为y-l=3x（x-0）,

2

整理得:3x-2y+2=0.

故答案为：3x-2y+2=0.

4.（5分）直线3x-4y-12=0与两条坐标轴分别交于点A,B,。为坐标原点，

则△ABO的面积等于6.

【解答】解：直线3x-4y-12=0与两条坐标轴分别交于点A（4,0）,B（0,-

3）,

SAABO=yX4X3=6.

故答案为：6.

5.（5分）函数y=x3-2x?+x的单调递减区间为（工，1）.

【解答】解:y,=3x2-4x+l=（3x-1）（x-1）>

令y'VO，解得：1<X<1,

3

故函数在（上，1）递减，

3

故答案为：（2,1）.

3

6.（5分）"m=-1"是"直线li：mx-2y-1=0和直线I?：x-（m-l）y+2=0相互

平行”的充分不必要条件.（用“充分不必要"，"必要不充分条件"，"充要"，"既

不充分也不必要"填空）

【解答】解：若直线li：mx-2y-1=0和直线12：x-（m-1）y+2=0相互平行，

贝ijm（m-1）=2,解得：m=2或m=-1,

故m=-1是直线平行的充分不必要条件，

故答案为：充分不必要.

7.（5分）函数y=x2-x-Inx在区间［1,3］上的最小值等于0.

［解答］解：y=2x-1-

XX

由xw［l,3］,

故『20在［1,3］恒成立，

故函数在［1,3］递增,

x=l时，函数取最小值，

函数的最小值是0，

故答案为：0.

8.（5分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA_L底面ABCD,底面ABCD为正方形，

则下列结论：

①AD〃平面PBC；

②平面PAC_L平面PBD；

③平面PAB，平面PAC；

④平面PADJ_平面PDC.

其中正确的结论序号是①②④

【解答】解：①由底面为正方形，可得AD〃BC,

ADQ平面PBC,BCu平面PBC,

可得AD〃平面PBC；

②在正方形ABCD中，AC±BD,

PA,底面ABCD,可得PALBD,

PAAAC=A,可得BD_L平面PAC,

BDc平面PBD,即有平面PAC_L平面PBD；

③PA,底面ABCD,可得PA_LAB,PA±AC,

可得NBAC为二面角B-PA-C的平面角，

显然NBAC=45。，故平面PABJ_平面PAC不成立;

④在正方形ABCD中，可得CDJ_AD,

PAL底面ABCD,可得PALCD,

PAAAD=A,可得CD,平面PAD,

CDc平面PCD,即有平面PADJ_平面PDC.

综上可得，①②④正确.

故答案为：①②④.

9.(5分)已知圆C：x2+y2-4x-2y+l=0上存在两个不同的点关于直线x+ay-1=0

对称，过点A(-4,a)作圆C的切线，切点为B,则IABI=6.

【解答】解:.••圆C：x2+y2-4x-2y+l=0,即(x-2)2+(y-1)2=4,

表示以C(2,1)为圆心、半径等于2的圆.

由题意可得，直线I：x+ay-1=0经过圆C的圆心(2,1),

故有2+a-1=0,.\a=-1,点A(-4,-1).

AC](一4一2)2+(-IT)2=2^/Y5,CB=R=2,

・••切线的长IAB=A/40-4=6.

故答案为6.

10.(5分)已知圆柱甲的底面半径R等于圆锥乙的底面直径，若圆柱甲的高为R,

圆锥乙的侧面积为&冗Ri则圆柱甲和圆锥乙的体积之比为24

4

【解答】解：•••圆柱甲的底面半径R等于圆锥乙的底面直径，

圆柱甲的高为R,圆锥乙的侧面积为返巴欧，

4

•,皮兀RI=&；R，解得|=亨尺，

二圆锥乙的高h=J(半R)2_(QR)吟,

二圆柱甲和圆锥乙的体积之比为：

江下R2・R_24

府白尹亨•

故答案为:24.

11.(5分)已知函数£6)=生/在区间(m，m+2)上单调递减，则实数m的

ex

取值范围为[-1,1].

【解答】解：f'(x)=区2必皿，

ex

令r(x)<0,解得：-l<x<3,

故f(x)在(-1,3)递减，

故(m,m+2)c(-1,3),

故，,解得：-iWmWl,

[m+243

故答案为：[-1，1].

12.(5分)在平面直角坐标系xoy中，已知直线I：ax+y+2=0和点A(-3,0),

若直线I上存在点M满足MA=2M0,则实数a的取值范围为aWO,或.

--------------------

【解答】解：取M(x,-2-ax),

•.•直线I上存在点M满足MA=2MO,

.,Y(X+3)2+(-2-ax)'[{x'+QZ-ax)乙

化为:(a2+l)x2+(4a-2)x+l=0,此方程有实数根，

/.△=(4a-2)2-4(a2+l)20,

化为3a2-4a，0,

解得aWO,或a》a.

3

故答案为：aWO,或

3

13.(5分)在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，则

当a>0时，实数b的最小值是-2.

【解答】解：y=2alnx的导数为『=互，

X

由于直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，

则设切点为(m,n),

贝ij2=区>,n=2m+b,n=2alnm,

in

即有b=2alna-2a(a>0),

b'=2(lna+1)-2=2lna,

当a>l时，b，>0,函数b递增，

当OVaVl时，b，VO,函数b递减，即有a=l为极小值点,

也为最小值点，且最小值为:2lnl-2=-2.

故答案为：-2.

22

14.(5分)已知F是椭圆C：与+0i(a〉b〉O)的左焦点，A,B为椭圆C的

a2b2

左、右顶点，点P在椭圆C上，且PF，x轴，过点A的直线与线段PF交与点M,

与y轴交与点E,直线BM与y轴交于点N,若NE=2ON,则椭圆C的离心率为

1

【解答】解：由题意可设F(-c,0),A(-a,0),B(a,0),

I22

令x=-c,代入椭圆方程可得y=±b.1+

Va2a

2

可得P(-c,士k"),

a

设直线AE的方程为y=k(x+a),

令x=-c,可得M(-c,k(a-c)),令x=0,可得E(0,ka),

•・•直线BM与y轴交于点N,NE=20N,

AN(0,包)，

3

由B,N,M二点共线，可得l<BN二kBM,

ka

即为—k(a-c),

-a_c-a

化简可得总三L,即为a=2c,

a+c3

可得e=-^l.

a2

二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验

算过程.

15.(14分)已知圆M的圆心在直线y=-x上，且经过点A(-3,0),B(1,2).

(1)求圆M的方程；

(2)直线I与圆M相切，且I在y轴上的截距是在x轴上截距的两倍，求直线I

的方程.

【解答】解:(1)设圆心坐标为(a,-a),则(a+3)2+a=(a-1)2+(a-2)2,

解得a=-l,r=Vg,

...圆的方程为

M(x+1)2+(y-1)2=5,

(2)由题意，直线I不过原点，设方程为三七1,即2x+y-2a=0,

•.•直线I与圆M相切，

.•12+产1=收,

a=2或-3,

二直线I的方程为2x+y-4=0或2x+y+6=0.

16.(14分)如图，四棱柱ABCD-AiBiJDi的底面ABCD为矩形，平面CDD©

_L平面ABCD,E,F分别是CD,AB的中点，求证：

(1)AD±CD；

(2)EF〃平面ADDiAi.

/hJ

f/;二/th/

A/'//

//)/zI4

JL”

【解答】证明：(1)由底面ABCD为矩形可得ADLCD

又•.・平面GD1DC，平面ABCD,

平面CiDiDCC平面ABCD平面=CD,

.•.AD_L平面CiDiDC.

面

XVCDxcCiDiDC,

/.AD±CDi.

(2)设DDi中点为G,连结EG,AG.

VE,G分别为CD】，DDi的中点，

AEGCD,EG=1JCD.

2

在矩形ABCD中，

是AB的中点，

.•.AF=1JCD且AF〃CD,

2

，EG〃AF,且EG=AF.

•••四边形AFEG是平行四边形，

，EF〃AG.

又,.，AGu平面ADDiAi，EF。平面ADDiAi，

；.EF〃平面ADDiAi.

珥

17.(14分)从旅游景点A到B有一条100km的水路，某轮船公司开设一个游

轮观光项目.已知游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为

每小时3240元，游轮最大时速为50km/h,当游轮的速度为10km/h时，燃料费

用为每小时60元，设游轮的航速为vkm/h,游轮从A到B一个单程航行的总费

用为S元.

(1)将游轮从A到B一个单程航行的总费用S表示为游轮的航速v的函数S=f

(v)；

(2)该游轮从A到B一个单程航行的总费用最少时，游轮的航速为多少，并求

出最小总费用.

【解答】解：(1)设游轮以每小时vkm/h的速度航行，游轮单程航行的总费用

为f(v)元，

•.•游轮的燃料费用每小时k・v3元，依题意k・103=60,则k=0.06,

323240QQ

.•.S=f(v)=o.06vX100.+3240X1Q^6V+(0<V^50)；

'VVV

(2)f(v)=12(」一27000),

v2

f(v)=0得,v=30,

当0VvV30时，f(v)<0,此时f(v)单调递减；

当30<vV50时，f，(v)>0,此时f(v)单调递增；

故当v=30时，f(v)有极小值，也是最小值，f(30)=16200,

所以，轮船公司要获得最大利润，游轮的航速应为30km/h.

22

18.(16分)已知椭圆C：三一+口1(a>b>0)上的左、右顶点分别为A,B,

2,2

ab

%为左焦点，且|AF1|=2,又椭圆C过点S,26).

(1)求椭圆C的方程；

(II)点P和Q分别在椭圆C和圆x2+y2=16上(点A,B除外),设直线PB,QB

的斜率分别为％,k2,若％=表2,证明：A，P，Q三点共线.

【解答】解：(I)由已知可得a-c=2,b=2对，又b2=a2-c2=12,

解得a=4.

22

故所求椭圆C的方程为三+'1.

1612

(II)由(I)知A(-4,0),B(4,0).设P(xi，yi),Q(x2,y2),

2

巧yi

••kp-k-+4-4-2

A1X[4X]-16

VP(xi，yi)在椭圆C上，

22

•X1Pl

=1,即V/EZ-"I'X」

1612

i2-^-2

.,,l*Xix3

又「酊争2，

.*.kPAk2=-1.①

由已知点Q(x2,y2)在圆x2+y2=16上，AB为圆的直径,

，QA1QB.

••kQA・k2=-1.(§)

由①②可得kpA二I<QA.

♦・•直线PA,QA有共同点A,

AA,P,Q三点共线.

19.(16分)已知函数f(x)=a(x-l)-Inx(a为实数)，g(x)=x-1,h(x)

_fg(x),f(x)<g(x)

f(x),f(x)>晨x)

(1)当a=l时，求函数f(x)=a(x-1)-Inx在点(1,f(D)处的切线方程;

(2)讨论函数f(x)的单调性；

(3)若h(x)=f(x),求实数a的值.

z

【解答】解:(1)当a=l时，f(x)=x-1-Inx,f(1)=0,f(x)=1-1,Af

x

(1)=0,

二函数f(x)=a(x-1)-Inx在点(1,f(1))处的切线方程为y=0；

(2)f(x)=a-A.(x>0),

x

aWO,f(x)<0,函数在(0,+°°)上单调递减；

a>0,由f，(x)>0,解得x>L,函数的单调递增区间是(!，+8),

aa

f(x)VO,0<x<l,函数的单调递减区间是(0,1)；

aa

(3)令G(x)=f(x)-g(x)=(a-1)(x-1)-Inx,定义域(0,+°°),G

(1)=0.

Vh(x)=f(x),/.x>0,G(x)20成立;

aWl,G'(x)=a-1-L<0,G(x)在(0,+°0)单调递减，

X

AG(2)<G(1)=0,此时题设不成立；

a>l时，G(x)在(0,J_)上单调递减，(」_,+8)上单调递增，

a-1a-1

AG(x)min=2-a+ln(a-1),

：.2-a+ln(a-1)NO恒成立，

☆t>0,则1-t+lnteO恒成立，

令H(t)=1-t+lnt(t>0),则H(1)=0,H,(t)=上1,

t

/.H(t)在(0,1)上单调递增，(1,+8)上单调递减，

AH(t)max=H(1)=0,

AH(t)WO(t=l时取等号)，

t>0时,1-t+lnt=O的解为t=l,即a=2.

20.(16分)在平面直角坐标系xOy中，圆0：x2+y2=l-P为直线I：x=t(l<t

<2)上一点.

(1)已知t=&.

3

①若点P在第一象限，且0P=§,求过点P的圆0的切线方程；

3

②若存在过点P的直线交圆。于点A,B,且B恰为线段AP的中点，求点P纵

坐标的取值范围；

(2)设直线I与x轴交于点M,线段0M的中点为Q,R为圆。上一点，且RM=1,

直线RM与圆0交于另一点N,求线段NQ长的最小值.

【解答】解：(1)①设点P的坐标为(&,y。)，因为0P=$,所以(&)2+yo2=

333

(1)2,解得y0=±L

3

又点P在第一象限，所以y0=l,即点P的坐标为(9，1),易知过点P的圆。

3

的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k,

11-^k|

则切线为y-l=k(x-&),即kx-y+1-刍k=0,于是有一^2=-=1,解得k=0或

33VmJ

k=21.

7

因此过点P的圆0的切线方程为：y=l或24x-7y-25=0.

,4

②设A(x,y),则B(」，二区)，因为点A、B均在圆。上，所以有

22

2

该方程组有解，即圆x2+y2=i与圆(x+1)+(y+y0)2=4有公共点.

_3_

于是2W3,解得-运WyoW运，即点P纵坐标的取值范围是［-

V9y033

V65痘］

-------，-------」.

33

22

工2+y2=12

(2)设R(X2，丫2)，则＜解得X2=X,y.X-L.

222y24

(x2-t)+y2=l

直线RM的方程为：-21(x-t).

t

A~y—i2s

由2y9可得N点横坐标为-t兀

y=—=(x-t)2

所以NQ=J丫)2t4Tt2+4,所以当节，即t哼时，

NQ最小为且.

8

第二卷(附加题.每题10分。)

21.求曲线f(x)=」■在x=2处的切线与x轴交点A的坐标.

e2x~2xe2x_l-2x

【解答】解：f(x)=标的导数为f'3=

(e2x)2~~

可得曲线f(x)=二_在x=2处的切线斜率为f，(2)=二乏，

e2x4e

切点为(2,乌)，

4

e

则曲线f(x)=」_在x=2处的切线方程为(X-2),

2x44

eee

可令y=0,则x=&.

3

即有切线与x轴交点A的坐标为(&，0).

3

22.已知点P是圆x2+y2=i上的一个动点，定点M(-l,2),Q是线段PM延长

线上的一点，且而=2而，求点Q的轨迹方程.

【解答】解：设P的坐标为(x,y),Q(a,b),则

;而=2而，定点M(-1,2),

.f-l-x=2(a+1)

'12-7=2(b-2)

/.x=-2a-3,y=-2b+6

•••Q是圆x2+y2=l上的动点

/.x2+y2=l

:.(-2a-3)2+(-2b+6)2=1

即动点Q的轨迹方程是(x+3)2+(y-3)2=1.

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23.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA,底面ABCD,AD_LAB,AB〃DC,AD=DC=AP=2,

AB=1,点E为棱PC的中点.

(I)证明：BE1DC；

(ID求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

(HI)若F为棱PC上一点，满足BFLAC,求二面角F-AB-P的余弦值.

【解答】证明：⑴•..PA，底面ABCD,AD1AB,

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

VAD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.

AB(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1)

BE=(0,1,1),DC=(2,0,0)

VBE«DC=0,

ABE±DC；

(II)VBD=(-1，2,0),PB=(1,0,-2),

设平面PBD的法向量能(x,y,z