《材料力学 第2版》课件 第10章 能量法

第10章

能量法1第10章能量法§10.1

概述§10.2

杆件变形能的计算§10.7虚功原理§10.3

单位载荷法

莫尔积分§10.4计算莫尔积分的图乘法§10.5

卡氏定理§10.6

互等定理2一.问题的提出FBCFA10.1概述

3BDqmAmF10.1概述

4任意结构任意截面任意方向的位移任意载荷基本方法—平衡、几何、物理能量法10.1概述

5二.能量法的依据UFW略其他能量损失,

由能量守恒而且也可导出适用于非线弹性和塑性问题的计算方法.本教材以线弹性材料为主.U=W（功能原理）能量法10.1概述

610.2杆件变形能计算一.杆件基本变形的变形能U=W线弹性FF7基本变形能量计算FFMeMeMM广义表达式10.2杆件变形能计算8注意：当内力或刚度发生变化时要用积分或分段计算UF10.2杆件变形能计算9二.U的特点3.U的大小与加载的次序无关仅取决于载荷或位移的最终值U不能用叠加法计算2.U>0恒为正4.10.2杆件变形能计算10A三.变形能的普遍表达式—克拉贝依隆原理线弹性范围内...F3F1F2F10.2杆件变形能计算11其内力对微段可看作外力四.组合变形杆件变形能的计算取组合变形杆件的微段dx有FN(x)Mx(x)M(x)设材料在线弹性范围内dU=dWdxFN(x)Mx(x)M(x)10.2杆件变形能计算12dxFN(x)Mx(x)M(x)在小变形下FN(x)与d

,d

Mx(x)与d(

l),d

M(x)与d(

l),d

正交而10.2杆件变形能计算13必须强调只适用于线弹性结构对非线性材料U=W=曲线下的面积未作特殊说明,均假定材料在线弹性范围内FF10.2杆件变形能计算14例1已知d,F,E,G求fc=?解:BCF2aaA10.2杆件变形能计算15BCFAx1x210.2杆件变形能计算16任意结构任意截面任意方向的位移任意载荷U=W（功能原理）10.2杆件变形能计算17AFMeA'10.3单位载荷法•莫尔积分

以平面刚架为例，求任意截面任意方向的位移

（A点沿a-a方向）aa

设刚架在F、Me作用下任意截面x的弯矩为M(x)，变形能18设单位力1作用下任意截面x的弯矩为,变形能欲求

，在A沿a-a加一单位力1，①AFMeaa1②AFMeA'aa

10.3单位载荷法•莫尔积分19U的大小与加载的次序无关故采用不同的加载次序计算变形能一.先加单位力1，在此变形基础上再加F、Me，此时变形能为变形能增加了10.3单位载荷法•莫尔积分①AFMeaa1②AFMeA'aa

20结构的总变形能为AFMe①aa1②AFMeA'aa

注意，此时单位力1在

上作功1·

，10.3单位载荷法•莫尔积分21二.结构在F，Me及单位力1共同作用下，结构任意截面x的弯矩为结构的总变形能为两种方法计算的变形能相等，即10.3单位载荷法•莫尔积分22

为线位移或角位移；M(x)为载荷引起的弯矩；M(x)为单位载荷引起的弯矩；称为单位载荷法也称莫尔积分求某处线位移，就在该处加单位力1↓；求相对线位移，就加一对单位力1；求相对角位移，就加一对单位力偶1；求某处角位移，就在该处加单位力偶1；整理得10.3单位载荷法•莫尔积分23对拉压杆，单位载荷法可写成：对受扭杆件，莫尔积分可写成：对组合变形杆件，莫尔积分可写成：10.3单位载荷法•莫尔积分24注意3.GIP仅对圆轴而言,对非圆IP对应It；4.对小曲率的曲杆,直杆公式仍可用；1.载荷引起的内力FN,M,Mx，单位力引起的内力FN

,M,Mx在每一段中必须具有同一坐标原点；2.相同段内,相同面的相同种类的内力才能相乘，以弯曲梁为例，只有同一平面内的M(x)和M(x)才能相乘；5.莫尔积分只适用于线性结构。10.3单位载荷法•莫尔积分25例2.已知q，EI为常数,C为中点,解：1.求fC求:fC,

AqlABCxl/2ABCx110.3单位载荷法•莫尔积分26ABCx2.求

A110.3单位载荷法•莫尔积分2728Dlll

EB2qlqAC

llql2Glll

EB1AC

GDll

已知梁的EI，求fG10.3单位载荷法•莫尔积分10.4计算莫尔积分的图形互乘法一.积分计算的简化在数学中:

若函数F(x).f(x)中只要有一个是线性函数,可把积分运算化成代数运算。

而在莫尔积分中,若刚度为常数(在一段内),则只需计算积分

或29

而为单位力产生的内力,其方程(图形)总是线性的,故莫尔积分式总可简化为代数运算。二.图形互乘法(维力沙金法)以最复杂的弯矩图为例:10.4计算莫尔积分的图形互乘法30dxc.xclAABByxox10.4计算莫尔积分的图形互乘法

31若需要分段,则:载荷引起内力图的面积。对等直杆轴的拉压：对桁架（多杆）：M(x)图的形心c对应的纵坐标。M

(x)Bdxc.xclAAByxox

10.4计算莫尔积分的图形互乘法32对圆轴扭转:对圆截面杆的组合变形:注意才能互乘。

相同种类的内力图在相应段内才能互乘，对于两向弯曲梁，只有同一平面内的M

(x)M(x)，10.4计算莫尔积分的图形互乘法33三.几点说明

同侧互乘为正,异侧互乘为负。有正负2.分段原则有折点不等3.位移是载荷的线性函数,可采取叠加法计算。4.若均为线性,可互换,即:10.4计算莫尔积分的图形互乘法34特殊图形的面积和形心位置:直角三角形矩形10.4计算莫尔积分的图形互乘法35顶点二次抛物线顶点二次抛物线10.4计算莫尔积分的图形互乘法36lhl/2c1l/4c1lh3l/8c2c2l/310.4计算莫尔积分的图形互乘法37在C点加单位力1,例3.用图乘法求fC,

AEI=C解:作M图作图。1.求fCc1c2

210.4计算莫尔积分的图形互乘法l/2l/2qABC1ABC38在A点加单位力偶,作图12.求

A10.4计算莫尔积分的图形互乘法l/2l/2qABCABC1

c39作M图。解:例4.如图，EI=C，求

A1MM/2M/2MC1MC1C2MC2在A点加单位力偶，作图。10.4计算莫尔积分的图形互乘法Ml/2l/2ABCl/2l/2ABC140例5.如图，EI=C，求

A解:应用叠加法,作M图aABCaa10.4计算莫尔积分的图形互乘法ABCABC41为求

A,在A点加单位力偶1,作图。10.4计算莫尔积分的图形互乘法aABCaaABC142例6.已知:

EI=C求:fD.M1M210.4计算莫尔积分的图形互乘法DaABCaaDABCDABC解:应用叠加法,作M图433.求fDc3

3Mc3c2

2Mc210.4计算莫尔积分的图形互乘法DaABCaaMc1

1Mc1在D点加单位力1,作图。MDABC14445FaM例7已知EI，求fcFaaaABCD1aaaABCDa/2M10.4计算莫尔积分的图形互乘法例8.两段梁的抗弯刚度均为EI，求fDBa/2a/2aACDqqaqa/2qqa/2qa/2DqaB解：作M、图10.4计算莫尔积分的图形互乘法1/21/21/2D1B46由图乘法：Mc1c1

1Mc2c2

2Mc3c3

310.4计算莫尔积分的图形互乘法Ba/2a/2aACDqqa47例9.已知刚架(不计FN，FQ影响),解:作弯矩图M在A点加单位力,求

Ay

B1.求

Ay

10.4计算莫尔积分的图形互乘法BAClFEI1aEI2作图aaFaFaMBAC1482.求

B在B点加单位力偶,作图1BAC110.4计算莫尔积分的图形互乘法BAClFEI1aEI24950讨论:考虑轴力时,给出具体数据可知,在同一杆上有M,FQ,FN时,轴力引起的弯曲变形是非常小的,故一般情况下(不特别指出时)均略去不计。10.4计算莫尔积分的图形互乘法例10.计算相对转角解:求约束力，作M图.M2M3aABC2aaCB10.4计算莫尔积分的图形互乘法ABM1CBCB51()M3212M10.4计算莫尔积分的图形互乘法M1M252

10.5卡氏定理一.卡氏第二定理设弹性体无刚体位移设F1F2Fi53根据U的特性:先加再加略高阶微量有卡氏第二定理

10.5卡氏定理54Fi广义力

i广义位移卡氏定理只适用于线弹性结构变形能U对任意载荷Fi的偏导数,等于Fi作用点沿Fi方向的位移

i卡氏第二定理

10.5卡氏定理55二.线弹性体各类变形下的卡氏定理的应用1.横力弯曲卡氏定理的实质是莫尔积分即单位力法

10.5卡氏定理562.小曲率曲杆3.桁架

10.5卡氏定理574.圆轴受扭5.圆杆组合变形

10.5卡氏定理58三.注意问题1.若要求位移处无载荷作用,要加虚力,求偏导后令其为零.例11求fA=?FA

10.5卡氏定理xAxlq059令FA=0则

10.5卡氏定理FAxAxlq0602.若结构作用有相同的力,而要求的是某一个力作用上沿其力方向的位移时要先把力编号,求解后还原.例12

EI为常量,求fCBC段

10.5卡氏定理FFaaCABFBx1FCCAB61CA段

10.5卡氏定理FBFCx2CAB62

10.6互等定理一.影响系数

影响系数(柔度系数)F112F2121

1点加1121

2点加163线弹性结构F112F212

10.6互等定理64二.互等定理第一力系第二力系U的大小与加载的次序无关故采用不同的加载次序计算结构变形能

10.6互等定理F112F21265方法二：先加F2后加F1;显然有

10.6互等定理方法一：先加F1

后加F2;F112F212第一力系第二力系功的互等定理66若F1=F2

则位移互等定理

10.6互等定理67三.

几点说明1.互等定理仅适用于线弹性结构2.以刚架为例推出,不失一般性3.对多个力作用,组合变形,静定或静不定结构均适用

10.6互等定理若

F=

M

F

12=M

21，则

12

=

21

数值上

68例13

已知:M1=6kN·m,y21=0.45mm,

12=0.015rad求:F2=