新高考数学二轮复习 模块六 立体几何（测试）（解析版）

模块六立体几何（测试）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则四面体SKIPIF1<0外接球的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0到四面体SKIPIF1<0四个顶点的距离均为2，即四面体SKIPIF1<0外接球的半径为2，则四而体SKIPIF1<0外接球的体积为SKIPIF1<0.故选：D.2．如图所示，在正方体SKIPIF1<0中，E为线段SKIPIF1<0上的动点，则下列直线中与直线CE夹角为定值的直线为（

）A．直线SKIPIF1<0 B．直线SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0 D．直线SKIPIF1<0【答案】C【解析】设正方体的棱长为1，如图，以SKIPIF1<0为原点，分别以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不是定值，故A错；SKIPIF1<0，不是定值，故B错；SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，故C正确；SKIPIF1<0，不是定值，故D错.故选：C.3．若平面SKIPIF1<0截球SKIPIF1<0所得截面圆的面积为SKIPIF1<0，且球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由平面SKIPIF1<0截球SKIPIF1<0所得截面圆的面积为SKIPIF1<0，得此截面小圆半径SKIPIF1<0，而球心到此小圆距离SKIPIF1<0，因此球SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的表面积SKIPIF1<0.故选：C4．在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】取AB中点SKIPIF1<0,连接DF，EF,因为D是BC的中点，所以SKIPIF1<0，即异面直线AC与DE所成角就是平面SKIPIF1<0或补角，假设SKIPIF1<0，因为△ABC是等边三角形，所以SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0平面ABC，则SKIPIF1<0为直三棱柱，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,在△DEF中，SKIPIF1<0,故异面直线AC与DE所成角余弦值为SKIPIF1<0.故选：B.5．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若直角圆锥底面圆的半径为1，则其内接正方体的棱长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】沿正方体上底面的对角线作圆锥的轴截面，如图所示，由题知SKIPIF1<0为等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设正方体的棱长SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相似可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以正方体棱长为SKIPIF1<0.故选：C.6．阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如图所示.则该多面体所在正方体的外接球表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，截面三角形边长为SKIPIF1<0，则原正方体棱长的一半为1，即多面体所在正方体的棱长为2，可得正方体体对角线长SKIPIF1<0，外接球半径为SKIPIF1<0，所以外接球表面积为SKIPIF1<0.故选：D.7．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为SKIPIF1<0，两圆锥的表面积分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，内切球半径分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】两圆锥的母线长为SKIPIF1<0，甲圆锥底面半径为SKIPIF1<0，乙圆锥底面半径为SKIPIF1<0，由圆心角之和为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由圆锥内切球半径公式得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.8．半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体SKIPIF1<0就是一个半正多面体，其中四边形SKIPIF1<0和四边形SKIPIF1<0均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0之间的距离为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】分别取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，根据半正多面体的性质可知，四边形SKIPIF1<0为等腰梯形；根据题意可知SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，垂足为S，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则梯形SKIPIF1<0的高即为平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0之间的距离；SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0之间的距离为SKIPIF1<0，故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．如图，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的动点，下列结论正确的是（

）

A．若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】BD【解析】如图建立空间直角坐标系，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0的法向量可以为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故A错误，B正确；若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故C错误，D正确.故选：BD10．关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．已知任意非零向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若对空间中任意一点SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0四点共面C．设SKIPIF1<0是空间中的一组基底，则SKIPIF1<0也是空间的一组基底D．若空间四个点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0三点共线【答案】BD【解析】对于SKIPIF1<0：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0错误；对于SKIPIF1<0，若对空间中任意一点SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面，故B正确；对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是空间中的一组基底，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0共面，不可以构成空间的一组基底，故C错误；对于SKIPIF1<0，若空间四个点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0三点共线，故D正确.故选：BD11．在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，以SKIPIF1<0所在直线为旋转轴，将梯形旋转SKIPIF1<0得到一旋转体，则（

）A．该旋转体的侧面积为SKIPIF1<0B．该旋转体的体积为SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0与旋转体的上底面所成角的正切值为SKIPIF1<0D．该旋转体的外接球的表面积为SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】由题意可知，所得到的旋转体是圆台，如图．因为SKIPIF1<0，所以圆台的上、下底面的半径分别满足SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以该圆台的侧面积SKIPIF1<0，所以A正确．过点SKIPIF1<0分别作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故该圆台的体积SKIPIF1<0，所以B错误．易知圆台的上、下底面平行，所以直线SKIPIF1<0与圆台的上底面所成的角等于其与圆台的下底面所成的角．过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．易知SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0与下底面所成的角．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0正确．设该圆台的外接球的半径为SKIPIF1<0，球心为SKIPIF1<0．当点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．当点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0的延长线上时，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．化简，得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0无解．所以SKIPIF1<0，则该旋转体的外接球的表面积SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0正确．故选：ACD12．如图1，矩形SKIPIF1<0由正方形SKIPIF1<0与SKIPIF1<0拼接而成．现将图形沿SKIPIF1<0对折成直二面角，如图2．点SKIPIF1<0（不与SKIPIF1<0重合）是线段SKIPIF1<0上的一个动点，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）

图1

图2A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0 D．多面体SKIPIF1<0的体积为定值【答案】AC【解析】设正方形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的边长为1因为SKIPIF1<0两两垂直，以SKIPIF1<0为坐标原点，分别以SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴,建立空间直角坐标系，如图所示，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对于A中，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以A正确；对于B中，由SKIPIF1<0，所以当且仅当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以B错误；对于C中，因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，由SKIPIF1<0为钝角，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，所以C正确；对于D中，多面体SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0，非定值，所以D错误.故选：AC．第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16，且其侧面梯形的高为SKIPIF1<0，则该正四棱台的高为.【答案】SKIPIF1<0【解析】如图：在正四棱台SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分别为侧面上的高以及棱台的高，设棱台的上下底面的边长分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故棱台的高为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<014．如图，四边形SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外一点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．

【答案】SKIPIF1<0【解析】连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为四边形SKIPIF1<0是平行四边形，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.15．在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0.若四棱锥SKIPIF1<0的体积为9，且其顶点均在球SKIPIF1<0上，则当球SKIPIF1<0的体积取得最小值时，SKIPIF1<0.【答案】3【解析】如下图所示，设四棱锥SKIPIF1<0底面边长为SKIPIF1<0，则该四棱锥的体积SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；设四棱锥SKIPIF1<0的外接球半径为SKIPIF1<0，通过构造长方体可知满足SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增；即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取最小值，此时外接球的半径最小，体积最小；所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：316．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于SKIPIF1<0与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是SKIPIF1<0，所以正四面体在每个顶点的曲率为SKIPIF1<0，故其总曲率为SKIPIF1<0.根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为，四棱锥的总曲率为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为SKIPIF1<0；由定义可得多面体的总曲率SKIPIF1<0顶点数SKIPIF1<0各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点．

(1)求异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值；(2)求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离；(3)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值．【解析】（1）由题意可知SKIPIF1<0两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0；（2）由上易知SKIPIF1<0，设面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0；（3）由上可知SKIPIF1<0，设面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值SKIPIF1<0.18．（12分）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0.

(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正切值.【解析】（1）证明：如图，在SKIPIF1<0上取一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为底面SKIPIF1<0是平行四边形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0两两垂直，则以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，如（1）图，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故二面角SKIPIF1<0的正弦值为SKIPIF1<0，所以正切值为SKIPIF1<0.故二面角SKIPIF1<0的正切值为SKIPIF1<0.19．（12分）如图，在五面体SKIPIF1<0中，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0面SKIPIF1<0；(2)点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的平面角的余弦值.【解析】（1）∵SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面SKIPIF1<0；（2）取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∵面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，交线为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角.即SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是梯形.∴SKIPIF1<0是梯形SKIPIF1<0的中位线.∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，∴SKIPIF1<0.以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为轴如图建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.设面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0∴二面角SKIPIF1<0的平面角的余弦值为SKIPIF1<0.20．（12分）如图，SKIPIF1<0是半球SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0是底面半圆弧SKIPIF1<0上的两个三等分点，SKIPIF1<0是半球面上一点，且SKIPIF1<0．

(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0：(2)若点SKIPIF1<0在底面圆内的射影恰在SKIPIF1<0上，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【解析】（1）连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是底面半圆弧SKIPIF1<0上的两个三等分点，所以有SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0都为正三角形，所以SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是菱形，记SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点，因为SKIPIF1<0，所以三角形SKIPIF1<0为正三角形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是半球面上一点，SKIPIF1<0是半球SKIPIF1<0的直径，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）因为点SKIPIF1<0在底面圆内的射影恰在SKIPIF1<0上，由（1）知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为正三角形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，因为四边形SKIPIF1<0是菱形，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0两两互相垂直，以点SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，如图所示，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的所成角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0．21．（12分）如图，四棱锥SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是正方形，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点的平面与棱SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．

(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求多面体SKIPIF1<0的体积．【解析】（1）连接SKIPIF1<0，由题意，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点即为点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为底面SKIPIF1<0是正方形，所以SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，