专题09 函数与方程-2025年高考数学二轮复习考点突破(原卷)

高中数学精编资源2/2专题09函数与方程4题型分类一、函数的零点对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.二、方程的根与函数零点的关系方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.三、零点存在性定理如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.四、二分法对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.五、用二分法求函数零点近似值的步骤（1）确定区间，验证，给定精度.（2）求区间的中点.（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.（一）求函数的零点或零点所在区间求函数零点的方法：（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.题型1：求函数的零点或零点所在区间1-1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，函数的零点为.1-2．（2024高三·全国·专题练习）函数的零点为．1-3．（2007·湖南）函数的图象和函数的图象的交点个数是A．1 B．2 C．3 D．41-4．（2024·湖北）方程的实数解的个数为.1-5．（2024·北京）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是A． B． C． D．1-6．（2024高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数的零点位于区间内，则.1-7．（2024高一上·北京·期中）设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是（

）A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)（二）利用函数的零点确定参数的取值范围本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.题型2：利用函数的零点(个数）确定参数的取值范围2-1．（2024·天津北辰·三模）设，对任意实数x，记．若有三个零点，则实数a的取值范围是．2-2．（2024高一上·江西·阶段练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2-3．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）已知函数在上有零点，则实数的取值范围.2-4．（2024·浙江绍兴·二模）已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为.2-5．（2024·天津）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为．2-6．（2024·天津）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为.（三）嵌套函数的零点问题1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实．题型3：嵌套函数的零点问题3-1．（2024高三上·浙江绍兴·期中）已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（

）A．1 B． C． D．3-2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数，若关于的方程有且只有三个不同的实数解，则正实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3-3．（2024·河南安阳·模拟预测）已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（

）A．且 B．且C．且 D．且3-4．（2024·四川广安·一模）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为A． B．或 C．或 D．或或（四）二分法所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.题型4：二分法4-1．（2024高三·全国·专题练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（）A．5 B．6 C．7 D．84-2．（2024高一上·辽宁·期中）用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（

）A． B． C． D．4-3．（2024高一上·四川广安·期中）函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：

那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（

）A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.444-4．（2024高一上·贵州遵义·期末）利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（

）A． B． C． D．4-5．（2024高三上·宁夏·期末）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为（

）（参考数据：，，，，）A． B． C． D．4-6．（2024高三上·湖南长沙·期中）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（

）A．6 B．7 C．8 D．9一、单选题1．（2024·湖北）已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为（）A． B． C． D．2．（2024高三·全国·专题练习）已知指数函数为，则函数的零点为（

）A． B．0C．1 D．23．（2024高三上·江西鹰潭·阶段练习）函数的零点为（

）A．2，3 B．2 C． D．4．（2024·山东）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是A． B．C． D．5．（2024高三·全国·专题练习）若，则函数的两个零点分别位于区间A．和内 B．和内C．和内 D．和内6．（2024·全国）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．7．（2024高三上·宁夏·阶段练习）已知函数，函数，则函数的零点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．58．（2024高三上·江苏淮安·期中）已知函数，则函数，的零点个数（）A．3个 B．5个 C．10个 D．9个9．（2024高三上·湖北武汉·阶段练习）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（2024·天津）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．11．（2024·全国）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）12．（2024·广西·一模）已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（

）A． B．0 C．2 D．413．（2024·吉林·模拟预测）已知是函数的一个零点，则的值为（

）A． B． C． D．14．（2024高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数的零点依次为，则（

）A． B． C． D．15．（2024·陕西·一模）已知，若是方程的一个解，则可能存在的区间是（

）A． B． C． D．16．（2024·山西阳泉·三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．17．（2024高三·天津·学业考试）已知函数是R上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（

）A． B． C． D．18．（2024高一上·四川资阳·期末）定义在R上函数，若函数关于点对称，且则关于x的方程()有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为A．2 B．4C．2或4 D．2或4或619．（2024·广东揭阳·二模）已知函数的图象上存在点P，函数g（x）=ax-3的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．20．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数，函数与的图象关于直线对称，若无零点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．21．（2024·河南洛阳·一模）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（

）A． B．C． D．22．（2024高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．23．（2024高二下·浙江宁波·期末）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．24．（2024高二下·湖北·期中）设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是A． B． C． D．25．（2024·福建厦门·一模）若至少存在一个实数，使得方程成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．26．（2024高三·湖南长沙·阶段练习）设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．27．（2024·山东·模拟预测）已知函数有唯一零点，则实数（

）A．1 B． C．2 D．28．（2024·内蒙古呼伦贝尔·三模）已知函数有唯一零点，则（

）A． B． C． D．29．（2024高三下·重庆渝北·阶段练习）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为A．或 B．1或 C．或2 D．或130．（2024·甘肃张掖·三模）已知函数有唯一零点，则负实数A． B． C． D．或31．（2024高一上·天津南开·期末）已知函数，若函数有两个零点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．32．（2024高三上·江西·阶段练习）已知，函数恰有3个零点，则m的取值范围是（

）A．B．C． D．33．（2024高三上·陕西西安·期末）已知函数，若函数，则函数的零点个数为（

）A．1 B．3 C．4 D．534．（2024·天津和平·二模）已知函数，若函数在内恰有5个零点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．35．（2024·河南洛阳·一模）已知函数，有三个不同的零点，（其中），则的值为A． B． C．-1 D．136．（2024高三上·重庆南岸·阶段练习）设定义在R上的函数满足有三个不同的零点且则的值是（

）A．81 B．-81 C．9 D．-937．（2024高三上·天津南开·阶段练习）设函数①若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是②若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是③若方程有四个不同的实根，则的取值范围是④方程的不同实根的个数只能是1，2，3，6四个结论中，正确的结论个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．438．（2024高一上·天津·期中）已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．39．（2024高一上·四川南充·期末）已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．40．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则的取值范围是（

）A．（） B．（1，4） C．（，4） D．（4，6）41．（2024·辽宁大连·一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程，选取初始值，在下面四个选项中最佳近似解为（

）A． B． C． D．42．（2024·天津）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．43．（2024·全国）函数在的零点个数为A．2 B．3 C．4 D．544．（2024·湖南）已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是A． B． C． D．45．（2024·安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是A． B． C． D．46．（2024·湖南）函数的图象与函数的图象的交点个数为A．3 B．2 C．1 D．047．（2024·福建）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是A． B．C． D．48．（2024高三上·河南许昌·开学考试）已知二次函数的两个零点为，若，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．49．（河北省唐山市第十一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题）函数f(x)=的零点所在的一个区间是A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2）50．（2024高三上·江西·开学考试）函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．51．（2024·浙江）已知是函数的一个零点，若，则（

）A．， B．，C．， D．，52．（2024高二下·河南·期末）对实数和，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．53．（2024高三下·上海宝山·阶段练习）已知函数是定义域在R上的奇函数，且当时，，则关于在R上零点的说法正确的是（

）A．有4个零点，其中只有一个零点在内B．有4个零点，其中只有一个零点在内，两个在内C．有5个零点，都不在内D．有5个零点，其中只有一个零点在内，一个在54．（2024·湖南·模拟预测）有甲、乙两个物体同时从A地沿着一条固定路线运动，甲物体的运动路程（千米）与时间t（时）的关系为，乙物体运动的路程（千米）与时间t（时）的关系为，当甲、乙再次相遇时，所用的时间t（时）属于区间（

）A． B． C． D．55．（2024高一·上海·假期作业）关于的方程，给出下列四个命题：①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．356．（2024高一上·浙江金华·阶段练习）是定义在区间上的奇函数，其图象如图所示：令，则下列关于函数的叙述正确的是（

）A．若，则函数的图象关于原点对称B．若，，则方程有大于2的实根C．若，，则方程有两个实根D．若，，则方程有三个实根57．（2024高一上·广东中山·期中）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（

）A． B．C． D．58．（2024高一下·湖北·阶段练习）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（

）A．是满足精度为的近似值.B．是满足精度为的近似值C．是满足精度为的近似值D．是满足精度为的近似值59．（2024高一下·江苏南京·期中）用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（

）A．1 B． C．0.25 D．0.75二、多选题60．（2024高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（

）A．当，有1个零点 B．当时，有3个零点C．当，有2个零点 D．当时，有7个零点61．（2024·广东佛山·模拟预测）设函数有4个零点，分别为，则下列说法正确的是（

）A． B．C．的取值与无关 D．的最小值为1062．（2024高三上·重庆渝中·阶段练习）已知函数，若关于的方程有个不等的实根、、、且，则下列判断正确的是（

）A．当时， B．当时，的范围为C．当时， D．当时，的范围为63．（2024高三上·广东东莞·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则下列结论正确的是（

）A．的解集为B．当时，C．有且只有两个零点D．64．（2024高一上·山东菏泽·期末）已知函数，则下列结论中正确的是（

）A．函数有且仅有一个零点0 B．C．在上单调递增 D