贵州省安顺市普高2025届高三下学期联合考试数学试题含解析

贵州省安顺市普高2025届高三下学期联合考试数学试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的（）A．4 B．5 C．6 D．72．设，，，则的大小关系是()A． B． C． D．3．已知集合，，则=()A． B． C． D．4．已知的垂心为，且是的中点，则（）A．14 B．12 C．10 D．85．函数（）的图像可以是（）A． B．C． D．6．已知，满足条件（为常数），若目标函数的最大值为9，则（）A． B． C． D．7．的展开式中的常数项为()A．－60 B．240 C．－80 D．1808．下列说法正确的是（）A．命题“，”的否定形式是“，”B．若平面，，，满足，则C．随机变量服从正态分布（），若，则D．设是实数，“”是“”的充分不必要条件9．函数在的图象大致为()A． B．C． D．10．已知函数是定义在上的奇函数，函数满足，且时，，则（）A．2 B． C．1 D．11．函数在内有且只有一个零点，则a的值为（）A．3 B．－3 C．2 D．－212．若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是A．[－5，0) B．(－5，0) C．[－3，0) D．(－3，0)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在矩形中，，为的中点，将和分别沿，翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为_____.14．中，角的对边分别为，且成等差数列，若，，则的面积为__________．15．函数的定义域为_____________.16．直线是曲线的一条切线为自然对数的底数)，则实数__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)当时，求函数在上最小值.18．（12分）等差数列的公差为2,分别等于等比数列的第2项，第3项，第4项.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列满足,求数列的前2020项的和．19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点在曲线上，点在曲线上，且为正三角形．（1）求点，的极坐标；（2）若点为曲线上的动点，为线段的中点，求的最大值．20．（12分）设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆相交于两点和两点.(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积;(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由.21．（12分）已知，.（1）当时，证明：；（2）设直线是函数在点处的切线，若直线也与相切，求正整数的值.22．（10分）已知函数，其中，．（1）当时，求的值；（2）当的最小正周期为时，求在上的值域．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据程序框图程序运算即可得.【详解】依程序运算可得：，故选：C【点睛】本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程.2、A【解析】

选取中间值和，利用对数函数，和指数函数的单调性即可求解.【详解】因为对数函数在上单调递增,所以,因为对数函数在上单调递减,所以，因为指数函数在上单调递增,所以,综上可知,.故选:A【点睛】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.3、C【解析】

计算，，再计算交集得到答案.【详解】，，故.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.4、A【解析】

由垂心的性质，得到，可转化，又即得解.【详解】因为为的垂心，所以，所以，而，所以，因为是的中点，所以．故选：A【点睛】本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.5、B【解析】

根据，可排除，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果.【详解】由题可知：，所以当时，，又，令，则令，则所以函数在单调递减在单调递增，故选：B【点睛】本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属基础题.6、B【解析】

由目标函数的最大值为9，我们可以画出满足条件件为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数的方程组，消参后即可得到的取值．【详解】画出，满足的为常数）可行域如下图：由于目标函数的最大值为9，可得直线与直线的交点，使目标函数取得最大值，将，代入得：．故选：．【点睛】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组，代入另一条直线方程，消去，后，即可求出参数的值．7、D【解析】

求的展开式中的常数项，可转化为求展开式中的常数项和项，再求和即可得出答案.【详解】由题意，中常数项为，中项为，所以的展开式中的常数项为：.故选：D【点睛】本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.8、D【解析】

由特称命题的否定是全称命题可判断选项A；可能相交，可判断B选项；利用正态分布的性质可判断选项C；或，利用集合间的包含关系可判断选项D.【详解】命题“，”的否定形式是“，”，故A错误；，，则可能相交，故B错误；若，则，所以，故，所以C错误；由，得或，故“”是“”的充分不必要条件，D正确.故选：D.【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.9、C【解析】

先根据函数奇偶性排除B，再根据函数极值排除A；结合特殊值即可排除D，即可得解.【详解】函数，则，所以为奇函数，排除B选项；当时，，所以排除A选项；当时，，排除D选项；综上可知，C为正确选项，故选：C.【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题.10、D【解析】

说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值．【详解】由知函数的周期为4，又是奇函数，，又，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础．11、A【解析】

求出，对分类讨论，求出单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.【详解】，若，，在单调递增，且，在不存在零点；若，，在内有且只有一个零点，.故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.12、C【解析】

求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a满足的不等式组，从而得解.【详解】由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示．令x3＋x2－＝－，得x＝0或x＝－3，则结合图象可知，解得a∈[－3，0)，故选C.【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解析】

计算外接圆的半径，并假设外接球的半径为R，可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，然后根据面，即可得解.【详解】由题意可知，，所以可得面，设外接圆的半径为，由正弦定理可得，即，，设三棱锥外接球的半径，因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点，则，所以外接球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的应用，属于中档题.14、.【解析】

由A，B，C成等差数列得出B＝60°，利用正弦定理得进而得代入三角形的面积公式即可得出．【详解】∵A，B，C成等差数列，∴A+C＝2B，又A+B+C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°．故由正弦定理，故所以S△ABC，故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的性质，三角形的面积公式，考查正弦定理的应用，属于基础题．15、【解析】

由题意可得，，解不等式可求．【详解】解：由题意可得，，解可得，，故答案为．【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础题．16、【解析】

根据切线的斜率为，利用导数列方程，由此求得切点的坐标，进而求得切线方程，通过对比系数求得的值.【详解】，则，所以切点为，故切线为，即，故.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数求解曲线的切线方程有关问题，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值是【解析】

（1）求出导函数，并且解出它的零点x=，再分区间讨论导数的正负，即可得到函数f（x）的单调区间；

（2）分三种情况加以讨论，结合函数的单调性与函数值的大小比较，即可得到当0＜a＜ln2时，函数f（x）的最小值是-a；当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是ln2-2a．【详解】函数的定义域

为．

因为，令，可得；

当时，；当时，，综上所述：可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为当，即时，函数在区间上是减函数，

的最小值是当，即时，函数在区间上是增函数，的最小值是当，即时，函数在上是增函数，在上是减函数．

又，

当时，的最小值是；

当时，的最小值为综上所述，结论为当时，函数的最小值是；

当时，函数的最小值是.【点睛】求函数极值与最值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小18、（1），；（2）.【解析】

(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列和的通项公式；(2)求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列的前2020项的和.【详解】(1)依题意得:，所以，所以解得设等比数列的公比为，所以又(2)由（1）知，因为①当时,②由①②得，，即，又当时，不满足上式，.数列的前2020项的和设③，则④，由③④得：，所以，所以.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题.19、（1），；（2）.【解析】

（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得解；（2）设点的直角坐标为，则点的直角坐标为．将此代入曲线的方程，可得点在以为圆心，为半径的圆上，所以的最大值为，即得解.【详解】（1）因为点在曲线上，为正三角形，所以点在曲线上．又因为点在曲线上，所以点的极坐标是，从而，点的极坐标是．（2）由（1）可知，点的直角坐标为，B的直角坐标为设点的直角坐标为，则点的直角坐标为．将此代入曲线的方程，有即点在以为圆心，为半径的圆上．，所以的最大值为．【点睛】本题考查了极坐标和参数方程综合，考查了极坐标和直角坐标互化，参数方程的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.20、(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析【解析】

(Ⅰ)计算得到故，，，，计算得到面积.(Ⅱ)设为，联立方程得到，计算，同理，根据得到，得到证明.(Ⅲ)设中点为，根据点差法得到，同理，故，得到结论.【详解】(Ⅰ)，，故，，，.故四边形的面积为.(Ⅱ)设为，则，故，设，，故，，同理可得，，故，即，，故.(Ⅲ)设中点为，则，，相减得到，即，同理可得：的中点，满足，故，故四边形不能为矩形.【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）令，求导，可知单调递增，且，，因而在上存在零点，在此取得最小值，再证最小值大于零即可.（2）根据题意得到在点处的切线的方程①，再设直线与相切于点，有，即，再求得在点处的切线直线的方程为②由①②可得，即，根据，转化为，，令，转化为要使得在上存在零点，则只需，求解.【详解】（1）证明：设，则，单调递增，且，，因而在上存在零点，且在上单调递减，在上单调递增，从而的最小值为.所以，即.（2），故，故切线的方程为①设直线与相切于点，注意到，从而切线斜率为，因此，而，从而直线的方程也为②由①②可知，故，由为正整数可知，，所以，，令，则，当时，为单调递增函数，且，从而在上无零点；当时，要使得在上存在零点，则只需，，因为为单