2023-2024学年江西省宜春市丰城九中日新班高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江西省宜春市丰城九中日新班高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i为虚数单位，若复数z=3+ai2+i对应的点在复平面的虚轴上，则实数a=(

)A.−32 B.32 C.62.“2<|m|<6”是“方程x2mA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S3=3，A.48 B.81 C.93 D.2434.已知抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于点M(M在第一象限)，MN⊥l，垂足为N，直线NF交x轴于点D，则|FD|=(

)A.2 B.3 C.4 D.5.过直线x−y−m=0上一点P作⊙M：(x−2)2+(y−3)2=1的两条切线，切点分别为A，B，若使得PA=PB=7A.−3<m<5 B.−5<m<3

C.m<−5或m>3 D.m<−3或m>56.在形状、大小完全相同的4个小球上分别写上4位学生的名字，放入袋子中，现在4位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个，则恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为(

)A.16 B.13 C.127.已知函数f(x)=ex−1−e1−x+x3−3x2+3xA.322 B.3248.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N分别为线段A1B1，CC1的中点，AA.510π3B.10π

C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.函数f(x)=ax+1x2+aA. B. C. D.10.已知函数f(x)=ln(2+x)−ln(4−x)A.函数y=f(x)在(−2,4)上是增函数

B.函数y=f(x)的图象关于(1,0)中心对称

C.不存在斜率小于23且与数y=f(x)的图象相切的直线

D.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)11.著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在R上的函数D(x)=0,x是无理数1,x是有理数.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导A.D(x+y)≤D(x)+D(y)

B.D(x)的图象关于y轴对称

C.D2(x)=D(D(x))的图象关于y轴对称

D.存在一个正三角形，其顶点均在三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.等差数列{an}中的a1，a2023是函数f(x)=x13.若F1，F2是双曲线C：x24−y216=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|14.已知正项数列{an}的前n项和Sn满足(n+1)Sn2+Sn−n=0(n为正整数)，则Sn四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

公差不为0的等差数列{an}中，前n项和记为Sn.若a1=1，且S1，2S2，4S4成等比数列．

(1)求16.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB=2，CA⊥CB，D，E分别是CB，CA的中点，C1D=C1E=2．

(1)若平面ACC1A1⊥平面17.(本小题15分)

如图所示，一只蚂蚁从正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A1出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为16，沿正方体的侧棱爬行的概率为23．

(1)若蚂蚁爬行n次，求蚂蚁在下底面顶点的概率；

18.(本小题17分)

如图，一张圆形纸片的圆心为点E，F是圆内的一个定点，P是圆E上任意一点，把纸片折叠使得点F与P重合，折痕与直线PE相交于点Q，当点P在圆上运动时，得到点Q的轨迹，记为曲线C.建立适当坐标系，点F(1,0)，纸片圆方程为(x+1)2+y2=r2，点A(0,1)在C上．

(1)求C的方程；

(2)若点F′坐标为(−1,0)，过F且不与x轴重合的直线交C于A，B两点，设直线AF′，BF′与C的另一个交点分别为M，N，记直线AB，MN的倾斜角分别为α19.(本小题17分)

已知函数f(x)=x2+1−lnxx−a有两个零点x1，x2(x1<x2).

(1)求实数参考答案1.D

2.B

3.C

4.A

5.B

6.B

7.C

8.A

9.BCD

10.ABC

11.BCD

12.−113.85π14.nn+1

(−∞,−15.解：(1)设公差d不为0的等差数列{an}中，前n项和记为Sn．

若a1=1，且S1，2S2，4S4成等比数列，

则4S22=4S1S4，

即有(2a1+d)2=a1(416.解：(1)以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(0,1,0)，E(1,0,0)，设C1(a,b,c)，

因为C1D2=a2+(b−1)2+c2，C1E2=(a−1)2+b2+c2，C1D=C1E，所以a=b，

则C1(a,a,c)，CA=(2,0,0)，CB=(0,2,0)，CC1=(a,a,c)．

设平面BCC1B1的一个法向量n=(x1,y1,z1)，则n⋅CB=0n⋅CC1=0即2y1=0ax1+ay1+cz1=0，

令x1=c，则y1=0，z1=−a，所以n=(c,0,−a)，

设平面ACC1A1的一个法向量m=(x2,y2,z2)，则m⋅CA=0m⋅CC1=0即2x2=0ax2+ay2+cz17.解：(1)记蚂蚁爬行n次在底面ABCD的概率为Pn，则它前一步只有两种情况：在下底面或在上底面，

结合题意易得，P1=23,Pn+1=13Pn+23(1−Pn)，

Pn+1−12=−13(Pn−12),{Pn−12}是等比数列，首项为16，公比为−13，

Pn−12=16(−13)n−1,Pn=12+16(−13)n−1；

(2)结合题意易得：X=0，1，2，

当X=2时，蚂蚁第3次、第5次都在C处，

P(X=2)=(16×16×2×23+16×X012P4151X的数学期望E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)=82718.解：(1)由题意知，以EF中点为原点O，以EF所在直线为x轴，以EF的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，

F是圆内的一个定点，故圆的半径r>|EF|，

则|QP|=|QF|，|QE|+QP|=r，所以|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=r〉|EF|，

故点Q的轨迹为以E，F为焦点的椭圆，设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，

则其焦距为2c=|EF|=2，所以c=1，

又点T(0,1)在C上，则b=1，所以a2=b2+c2=2，

故C的方程为x22+y2=1；

(2)当α=π2时，由椭圆对称性得β=π2,α−β=0；

当α≠π2时，设直线AB的方程为y=k(x−1)，(k≠0)，k=tanα，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x3,y3)，N(x4,y4)，

则x122+y12=1,x222+y22=1,x322+y32=1,x422+y42=1，

当x1≠−1时，设直线AF′的方程为y=k1(x+1)，则k1=y1x1+1，

联立y=k19.解：(1)f′(x)=2x+−2+lnxx2=2(x3−1)+lnxx2，

又因为函数g(x)=2(x3−1)+lnx单调递增，且g(1)=0，

所以f′(x)>0⇔x>1，f′(x)<0⇔0<x<1，

所以f(x)在(0,1)上单调递减，在[1,+∞)上单调递增，

当f(1)=2−a<0，即a>2时，

f(1a)=1a2+a(1+lna)−a=1a2+alna>0，

f(a)=a2+1−lnaa−a>a2−a+1−(a−1)a>a2−a−a−1a=(a−1)2(a+1)a>0，

所以f(x)在(1a,1)和(1,a)上各有一个零点，

当a≤2时，f(x)的最小值为f(1)，且f(1)=2−a≥0，

所以f(x)在(0,+∞)内至多只有一个零点，

综上，实数a的取值范围是a>2；

(2)证明：设F(x)=f(x)−f(1x)，x>1，

F′(x)=f′(x)+1x2f′(1x)=2(x−1)−2(x−1)x3+1−x2x2lnx，

=(x−1)[2−2x3−x+1x2lnx]=x−1x3[2x3−2−x(x+1)lnx]，

当x>1时，lnx<x−1，

2x3−2−x(x+1)(x−1)=x3+x−2=(x−1)(x2+x+2)>0，

所以2x3−2>x(x+1)(x−1)>x(x+1)lnx，

所以F(x)在(1,+∞)上单调递增，

当x>1时，F