2024-2025学年江西省九江十一中九年级（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省九江十一中九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程是关于x的一元二次方程的是(

)A.x3+x=1 B.x2−x(x+7)=0

C.2.如图，菱形ABCD中，AC，BD交于点O，若E是边AB的中点，∠AEO=40°，则∠ABD的度数为(

)A.40° B.30° C.20° D.10°3.我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔(宽)几步.”设阔为x步，根据题意，下面所列方程正确的是(

)A.2x+2(x+12)=864 B.x(x−12)=864

C.x+(x+12)=864 D.x(x+12)=8644.如图，已知AB、CD相交于点O，OA=4，OC=3，EF是△ODB的中位线，且AC//EF，OE=2，那么OB的长为(

)A.3

B.83

C.2

D.5.已知关于x的一元二次方程(k−1)x2−2x+2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围值是A.k<32 B.k≤32 C.k<32且6.如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE的垂线交AE于点P，DE=DP=2，PC=26.下列结论：①△APD≌△CED；②点C到直线DE的距离为22；③CE⊥AE；④A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。7.已知xy=23，则8.在“阳光体育”活动期间，班主任将全班同学随机分成了4组进行活动，该班小明和小亮同学被分在一组的概率是______．9.若x1，x2是方程x2+2x−2024=0的两个实数根，则代数式10.如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，E为BC边上一点，若BC=8，BO=5，EC=3，则OE的长为______．11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且AD=73，DE//BC，∠DBE=90°，连接AE.若AC=3，BC=4，则BE的长为______．12.在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，点E是BC的中点，连接AE，在平面内有一动点F，若△AEF与△ABE全等时，则BF=______．三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。13.(本小题6分)

解下列方程：

(1)x2−4x=1；

(2)x(x+1)=3x+214.(本小题6分)

2024年“十一”假期，扬州各旅游景区持续火热.小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风区、个园、何园(分别记作A、B、C、D、E)参加公益讲解活动．

(1)若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是______．

(2)小明和小亮在B、C、D三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率．15.(本小题6分)

平安路上，多“盔”有你.在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶60元.平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，但每顶售价要高于50元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶.该商店若希望每周获利3000元，则每顶头盔应降价多少元？16.(本小题6分)

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图(保留作图痕迹)．

(1)在图①中，以点E、F为顶点作正方形EGHF；

(2)在图②中，连接AE、BF交于点P，以点P为顶点作正方形．17.(本小题6分)

如图，AB与CD相交于点E，点F在线段AD上，且BD//EF//AC.若DE=3，DF=2，CE=AD．

(1)求AD的值；

(2)AEBE18.(本小题8分)

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使EF=DE，连接CF，BF．

(1)求证：四边形CFBD是菱形；

(2)连接AE，若AE=13，DF=2，求BC的长．19.(本小题8分)

已知：关于x的方程x2−(m+2)x+2m−1=0．

(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等实数根；

(2)若方程的两根分别为x1，x2，且满足x20.(本小题8分)

如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°．

(1)求证：△ADC∽△ACB；

(2)点E是边AB的中点，连接CE，若AD=6，CD=23，求CE的值．21.(本小题9分)

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=18cm，动点P从点B开始沿边BA向A以2cm/s的速度移动(不与点A重合)，动点Q从点C开始沿边CB向B以3cm/s的速度移动(不与点B重合).如果P，Q分别从B，C同时出发，设运动的时间为t(单位：s)，四边形APQC的面积为y(单位：cm2).

(1)直接写出BP=______cm，BQ=______cm(用含有t的代数式表示)；

(2)求四边形APQC的面积(用含有t的代数式表示)，并写出t的取值范围；

(3)四边形APQC的面积能否等于129c22.(本小题9分)

【课本再现】思考：我们知道，矩形的对角线相等.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．定理证明

(1)为了证明该定理，小贤同学画出了图形(如图1)，并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程．

已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC=BD，交点为O.求证：四边形ABCD是矩形．

应用定理

(2)如图2，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是矩形.(3)如图3，AC，BD是四边形ABCD的对角线，AC⊥BD，若AC+BD=16，E，F，G，H分别为AD，AB，BC，CD的中点.设AC=x，S四边形EFGH=y.求y关于x的函数关系式．

23.(本小题12分)

【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置.如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O1的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形OEBF为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转．

【问题发现】

(1)①线段AE，BF之间的数量关系是______．

②在①的基础上，连接EF，则线段AE，CF，EF之间的数量关系是______．

【类比迁移】

(2)如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O1的一个顶点，A1O与边AB相交点E，C1O与边BC相交于点F，连接EF，延长C1O交AD于点P，连接EP，AC，矩形A1B1C1O1可绕点O旋转.判断线段AE，CF，EF之间的数量关系并证明．

【拓展应用】

(3)如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，直角∠EDF的顶点

参考答案1.D

2.C

3.D

4.D

5.C

6.A

7.138.149.−2

10.1011.2

12.5cm，245cm，13.解：(1)原方程配方得：x2−4x+4=5，

∴(x−2)2=5，

∴x−2=±5，

解得：x1=2+5,x2=2−5；

(2)14.（1）1515.解：设每顶头盔应降价x元，则每顶头盔的销售利润为(60−x−40)元，平均每周的销售量为(100+20x)顶，

(60−x−40)(100+20x)=3000，

解得：x1=5，x2=10，

∵60−x>50，

∴x<10，

∴x=5，

16.解：(1)如图，正方形EGHF即为所求；

(2)如图，正方形PMNJ即为所求，

17.(1)∵EF//AC，

∴DFDA=DEDC，

又∵AD=CE且DC=DE+EC=3+EC，

∴33+CE=33+DA=2DA，

∴DA=6；

(2)∵BD//AC，

∴EC18.(1)证明：∵D、E分别是边AB、BC的中点，

∴DE是Rt△ABC的中位线，CE=BE，

∴DE//AC，

∵∠ACB=90°，

∴∠DEB=∠ACB=90°，即DF⊥BC，

又∵EF=DE，

∴四边形CFBD是菱形；

(2)解：∵DF=2，

∴DE=12DF=1，

由(1)可得DE是Rt△ABC的中位线，

∴AC=2DE=2，

∵AE=13,AC=2,∠ACE=90°，

在直角三角形ACE中，由勾股定理得：CE=AE219.(1)证明：已知：关于x的方程x2−(m+2)x+2m−1=0，

∴Δ=b2−4ac=[−(m+2)]2−4×1×(2m−1)=m2+4m+4−8m+4=m2−4m+4+4=(m−2)2+4，

∵(m−2)2≥0，

∴Δ=(m−2)2+4>0，

故不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)解：∵方程的两根分别为x1，x2，

∴x120.(1)证明：∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠BAC，

又∵∠ADC=∠ACB=90°，

∴△DAC∽△CAB；

(2)解：∵∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC和△ACB都是直角三角形，

∵AD=6，CD=23，

在Rt△ADC中，由勾股定理得AC=AD2+CD2=43，

∵△DAC∽△CAB，

∴ACAB=ADAC21.（1）2t，

(18−3t)

22.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB//CD，

又∵对角线AC=BD，

∴△ABC≌△DCB(SSS)，

∴∠ABC=∠DCB，

∵AB//CD，

∴∠ABC+∠DCB=180°，

∴∠ABC=∠DCB=12×180°=90°，

∴▱ABCD是矩形；

(2)证明：在菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，∠B=∠D，

∵E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，

∴AE=BE=BF=CF=CG=DG=AH=DH，

∴△AHE≌△CGF(SAS)，

∴HE=GF，

同理△DHG≌△BEF(SAS)，

∴HG=EF，

∴四边形EFGH是平行四边形，

如图，连接HF，EG，

在菱形ABCD中，AD//BC，

∴AH//BF，

∴四边形ABFH是平行四边形，

∴AB=HF，

同理四边形