中值定理练习题

中值定理练习题一、基本概念题1.判断下列命题是否正确，并说明理由：若函数f(x)在[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=(f(b)f(a))/(ba)。若函数f(x)在[a,b]上可导，且f'(x)=0，则f(x)在[a,b]上恒为常数。2.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)f(a))/(ba)。3.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，证明至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。二、应用题1.利用罗尔定理证明下列等式：sinπ=sin2πe^a=e^b，其中a=b2.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0，f(b)=1。证明至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=1/(ba)。3.设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1。证明至少存在一点ξ∈(0,1)，使得f'(ξ)=1。三、综合题1.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)。证明至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=f'(η)，其中η∈(a,b)。2.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)>0。证明至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=(f(b)f(a))/(ba)。3.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)≤0。证明至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=(f(b)f(a))/(ba)。四、拓展题1.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)≠0。证明至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)f(a))/(ba)。2.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)>0。证明至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=e^(f(b)f(a))/(ba)。3.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)。证明至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=f'(η)，其中η∈(a,b)。五、计算题1.设函数f(x)=x^33x，求证在区间[1,2]上存在至少一个点ξ，使得f'(ξ)=3。2.设函数f(x)=x^24x+3，求证在区间[1,3]上存在至少一个点ξ，使得f'(ξ)=2。3.设函数f(x)=e^xx1，求证在区间[0,1]上存在至少一个点ξ，使得f'(ξ)=e^ξ。六、证明题1.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)在(a,b)内单调递增。证明：对于任意x∈(a,b)，有f(x)>f(a)+(xa)f'(a)。2.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且存在常数M>0，使得|f'(x)|≤M。证明：|f(b)f(a)|≤M(ba)。3.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)在(a,b)内单调递减。证明：存在点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)f(a))/(ba)。七、实际应用题1.一物体在直线轨道上运动，其速度v(t)=2t+3（t为时间，单位：秒）。求证在时间区间[1,4]内，存在至少一个时刻ξ，使得物体的瞬时加速度a(ξ)等于物体在时间t=1时的瞬时速度。2.设某商品的需求函数为p(x)=100x（p为价格，x为需求量），求证在价格区间[60,90]内，存在至少一个价格点ξ，使得需求量的变化率等于价格变化率。3.一辆汽车在直线道路上行驶，其位移函数为s(t)=t^22t+1（s为位移，t为时间）。求证在时间区间[0,3]内，存在至少一个时刻ξ，使得汽车的瞬时速度等于时间t=2时的瞬时速度。八、极限与连续性结合题1.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且lim(x→a+)f'(x)=L。证明：存在点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=L。2.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)在(a,b)内单调递增，lim(x→b)f'(x)=M。证明：存在点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=M。3.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0，lim(x→b)f'(x)=0。证明：存在点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=(ξa)f'(ξ)。答案一、基本概念题1.错误。这是积分中值定理的内容，不是罗尔定理。正确。根据罗尔定理，如果一个函数在闭区间上连续，并且在开区间内可导，且两端点的函数值相等，那么至少存在一个点使得导数为零。2.这是罗尔定理的直接应用，证明略。3.这是罗尔定理的直接应用，证明略。二、应用题1.由于sinπ=sin2π，根据罗尔定理，存在ξ使得cosξ=cos2ξ，由于cos函数的周期性，可以取ξ=π。a=b，所以等式显然成立。2.根据拉格朗日中值定理，存在ξ使得f'(ξ)=(f(b)f(a))/(ba)=1/(ba)，证明略。3.根据拉格朗日中值定理，存在ξ使得f'(ξ)=(f(1)f(0))/(10)=1，证明略。三、综合题1.根据罗尔定理，存在ξ使得f'(ξ)=0，又因为f'(x)>0，所以存在η使得f'(η)=0，故f'(ξ)=f'(η)，证明略。2.根据拉格朗日中值定理，存在ξ使得f'(ξ)=(f(b)f(a))/(ba)，证明略。3.根据拉格朗日中值定理，存在ξ使得f'(ξ)=(f(b)f(a))/(ba)，由于f'(x)≤0，ξ可以在[a,b]的端点取到，证明略。四、拓展题1.根据拉格朗日中值定理，存在ξ使得f'(ξ)=(f(b)f(a))/(ba)，证明略。2.根据拉格朗日中值定理，存在ξ使得f'(ξ)=(f(b)f(a))/(ba)，又因为f'(x)>0，所以f'(ξ)=e^(f(b)f(a))/(ba)，证明略。3.根据罗尔定理，存在ξ使得f'(ξ)=0，由于f'(x)>0，所以存在η使得f'(η)=0，故f'(ξ)=f'(η)，证明略。五、计算题1.f'(x)=3x^23，在区间[1,2]上，f'(1)=0，满足条件。2.f'(x)=2x4，在区间[1,3]上，f'(3)=2，满足条件。3.f'(x)=e^x，在区间[0,1]上，f'(ξ)=e^ξ，对于任意ξ∈[0,1]，都满足条件。六、证明题1.根据拉格朗日中值定理，对于任意x∈(a,b)，存在ξ使得f'(ξ)=(f(x)f(a))/(xa)，由于f'(x)单调递增，所以f'(ξ)>f'(a)，故f(x)>f(a)+(xa)f'(a)，证明略。2.由拉格朗日中值定理，对于任意x∈(a,b)，存在ξ使得|f(x)f(a)|=|f'(ξ)||xa|≤M|xa|，故|f(b)f(a)|≤M(ba)，证明略。3.由于f'(x)单调递减，且f(a)=f(b)，根据罗尔定理，存在ξ使得f