数学自我小测：第一讲三相似三角形的判定及性质（第课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．在△ABC中,D是AB上一点，在边AC上找一点E，使得△ADE与△ABC相似，则这样的点最多有（)个．A．0B．1C．2D．无数2．如图所示，在矩形ABCD中,AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使点B落在AD的中点E处，则折痕FG的长为()A．13B．eq\f（63,5）C．eq\f(65,6)D．eq\f(63,6)3．以下列条件为依据，能判定△ABC和△A′B′C′相似的一组是（）A．∠A＝45°，AB＝12cm,AC＝15cm；∠A′＝45°,A′B′＝16cm，A′C′＝25cmB．AB＝12cm，BC＝15cm，AC＝24cm；A′B′＝20cm，B′C′＝25cm，A′C′＝32cmC．AB＝2cm,BC＝15cm，∠B＝36°；A′B′＝4cm，B′C′＝5cm，∠A′＝36°D．∠A＝68°,∠B＝40°；∠A′＝68°，∠B′＝40°4．如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，D，E分别在AB，AC上,下列条件能判定△ADE与△ABC相似的有（）①∠AED＝∠B，②eq\f(AD，AC)＝eq\f(AE,AB),③eq\f（DE，BC)＝eq\f（AE，AB），④DE∥BC.A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，已知AC⊥BD，DE⊥AB，AC，ED交于点F，BC＝3，FC＝1，BD＝5,则AC＝__________。7．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°,CD⊥AB，AC＝6，AD＝3,则AB＝__________.8．如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD，对角线BD⊥DC，则△ABD∽________，BD2＝________。9．如图，已知∠ACB＝∠E，AC＝6，AD＝4，求AE的长．10．如图所示，在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F。求证:△ABC∽△FCD.11．如图所示，在△ABC中,AD，CE是两条高，连接DE，如果BE＝2,EA＝3,CE＝4，在不添加任何辅助线和字母的条件下，写出三个正确的结论（要求：分别为边的关系、角的关系、三角形相似等)，并对其中一个结论予以证明．

参考答案1．解析：如图所示,DE1∥BC,则△ADE1∽△ABC；在AC上存在点E2，使∠AE2D＝∠B.又∠A＝∠A,则△ADE2∽△ACB，故这样的点最多有2个．答案：C2．解析:过点A作AH∥FG交CD于点H,则四边形AFGH是平行四边形，所以AH＝FG。因为FG⊥BE，所以AH⊥BE。所以∠ABE＋∠BAH＝90°。因为∠BAH＋∠DAH＝90°,所以∠ABE＝∠DAH.因为∠BAE＝∠ADH＝90°，所以△ABE∽△DAH,所以eq\f（BE，AB)＝eq\f（AH,AD）。因为AB＝12，AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f（1，2)×10＝5，AD＝10，所以BE＝eq\r（122＋52）＝13.所以eq\f（13,12）＝eq\f(AH,10）。所以AH＝eq\f（65,6），即FG＝eq\f(65，6).答案：C3．解析：选项A中,∠A＝∠A′，但eq\f（AB，A′B′）≠eq\f（AC,A′C′），则△ABC与△A′B′C′不相似；选项B中,eq\f(AB,A′B′）＝eq\f(BC,B′C′）≠eq\f（AC,A′C′），则△ABC与△A′B′C′不相似；选项C中，∠B与∠B′不一定相等，则△ABC与△A′B′C′不一定相似；选项D中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′,则△ABC∽△A′B′C′。答案：D4．解析：与△ODB相似的三角形有△AEB,△OEC,△ADC，共有3个．答案：B5．解析:由相似三角形的判定定理1可知①可以判定△ADE与△ABC相似;由判定定理2知②也可以判定△ADE与△ABC相似；由预备定理知④同样可以判定△ADE与△ABC相似．所以共有①②④三个条件可以判定△ADE与△ABC相似．答案：C6．解析：由BC＝3，BD＝5可得CD＝BD－BC＝2。易证△CDF∽△CAB，所以eq\f(CD，AC)＝eq\f（CF,BC），即eq\f(2,AC）＝eq\f(1,3),AC＝6.答案：67．解析：在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A,∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ACD∽△ABC。∴eq\f(AC,AB)＝eq\f（AD,AC）.∴eq\f（6，AB)＝eq\f(3,6),∴AB＝12。答案：128．解析：∵∠ADC＋∠BCD＝180°，∠BDC＝90°,∴∠ADB＋∠BCD＝90°。而∠ADB＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠BCD。又∠BAD＝∠BDC＝90°，∴Rt△ABD∽Rt△DCB.∴eq\f（AD，BD)＝eq\f（BD，BC）.∴BD2＝AD·BC。答案：△DCBAD·BC9．解：因为∠ACB＝∠E,∠DAC＝∠CAE，所以△DAC∽△CAE。所以eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AE)。所以AE＝eq\f(AC2，AD）＝eq\f（62,4）＝9。10．证明：因为BD＝DC，DE⊥BC,所以△BEC为等腰三角形．所以∠B＝∠1.又因为AD＝AC，所以∠2＝∠ACB。所以△ABC∽△FCD。11．分析：题图中有高，所以可以充分利用直角三角形的性质和勾股定理求出未知边的长度．由AE＝3，CE＝4，可知CA＝5，这样可知AC＝AB，△ABC是一个等腰三角形，再寻找条件就比较容易了．解：①AB＝A