数学知识导航回归分析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。2回归分析知识梳理1.回归直线方程为______________________,其中=___________，=___________.2。回归直线不能精确地反映x与y之间的关系,y的值不能由x完全确定，它们之间是___________关系，y=a+bx+ε，其中___________是确定性函数，ε称为___________，将___________称为线性回归模型。3.随机误差产生的主要原因有：（1）所用的确立性函数不恰当引起的误差;(2)____________________________________________________________________；（3）____________________________________________________________________。4.对于x、y随机取到的n对数据（xi，yi）（i=1,2,…，n），样本相关系数γ的计算公式为γ=____________________________________________________________________=____________________________________________________________________.5。线性相关系数γ的性质：(1)|γ｜≤1；（2)｜γ｜越接近于__________,y的线性相关程序越强;（3)｜γ｜越接近于__________，y的线性相关程序越弱.知识导学在研究两个变量之间的关系时,首先可以利用散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据。作相关检验的依据可以利用样本相关系数γ，当γ〉0时，表明x与y正相关;γ<0时，表明x与y负相关;当｜γ｜→1时，表明x与y的线性相关性越强；当|γ|→0时，表明x与y的线性相关性越弱，几乎不存在线性相关的关系。疑难突破1.建立回归模型的基本步骤是什么呢？一般地,建立回归模型的基本步骤是:（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量。（2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系.(例如是否存在线性关系等）（3）由经验确定回归方程的类型（如果我们观察到数据是线性关系,则选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定的规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法).2.在应用回归直线方程解决问题时，应注意些什么呢?(1)回归直线方程只适合于我们所研究的样本的总体。例如：不能用女大学生的身高与体重之间的回归直线方程，描述女运动员的身高和体重之间的关系.同样，不能用生长在南方多雨地区的树木的高与直径之间的回归直线方程,来描述北方干旱地区树木的高与直径之间的关系。(2）我们所建立的回归直线方程一般都有时间性.例如：不能用20世纪80年代人的身高、体重数据所建立的回归方程，描述现在人的身高、体重间的关系。（3）样本取值的范围会影响回归方程的适用范围，例如：我们的回归直线方程是由女大学生身高和体重的数据建立的，那么用它来描述一个人幼儿时期的身高和体重之间的关系就不恰当。（4）不能认为回归直线方程得到的预报值就是预报变量的精确值.事实上，它是预报变量可能取值的平均值。典题精讲【例1】为了了解某地母亲身高x与女儿身高y的相关关系，现随机测得10对母女的身高，所得数据如下表所示：母亲身高x(cm)159160160163159154159158159157女儿身高y（cm)158159160161161155162157162156试对x与y进行线性回归分析，并预测当母亲身高为161cm时，女儿的身高为多少？思路分析：这是一个回归分析类问题，解决这一类问题,首先应对问题进行必要的相关性检验,如果x与y之间具有相关关系，再求出对应的回归直线方程，最后利用回归直线方程来预报当x=161cm时y的值，当γ〉0时,表明x与y正相关，γ<0时，表明x与y负相关，当｜γ｜→1时，表明x与y的线性相关越强，当｜γ｜→0时,表明x与y的相关性越弱,几乎不存在相关关系，通常认为当γ>0。75时，变量x、y有很强的相关关系，因而求回归直线方程才有意义，也才可以预测取值的情况.解：作线性相关性检验，=×（159+160+…+157）=158.8.=×(158+159+…+156）=159.1-10=（1592+1602+…+1572)—10×158。82=47.6—=（159×158+160×159+…+157×156)-10×158。8×159。1=37.2—10=（1582+1592+…+1562）-10×159.12=56。9因此γ==≈0.71由于0.71接近于1，表明x与y有较强的相关关系,因而求回归直线方程有必要。又==0。78=159。1—0.78×158。8=35.2由此得回归直线方程为=35.2+0。78x;回归系数=0.78反映出当母亲身高每增加1cm时女儿身高平均增加0.78cm,=35.2可以理解为女儿身高中不受母亲身高影响的部分，当母亲身高为161cm时预报女儿身高为:=0.78×161+35.2=160.78≈161cm,这就是说当母亲身高为161cm时，女儿身高大致也为161cm。绿色通道：判断x与y是否具有线性相关关系，还可以先作出散点图，从点的分布特征来判定是否线性相关。黑色陷阱：有些同学不对问题进行必要的相关性检验，直接求x与y的回归直线方程,它就没有任何实际价值，也就不能发现变量x与y间的变化规律，另外,要注意计算的正确性。【变式训练】某班5名学生的数学和化学成绩如下表所示，对x与y进行回归分析，并预报某学生数学成绩为75分时，他的化学成绩是多少？学生学科ABCDE数学成绩（x)8876736663化学成绩（y)7865716461解：对x与y作相关性判断.=×(88+76+73+66+63）=73.2=×（78+65+71+64+61)=67.8=882+762+732+662+632=27174=782+652+712+642+612=23167=88×78+76×65+71×73+64×66+61×63=25054∴-=27174—5×73。22=382.8-=25054—5×73。2×67。8=239.2-=23167-5×67.82=182。8∴r=≈0.904。由于｜r|=0。904接近于1，表明两个变量之间存在着线性相关关系.∴≈0.625，=67。8-73.2×0.625=22.05=0.625x+22。05∴当x=75时，≈69.故次时他的化学成绩为69分。【例2】一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得数据如下：零件数x(个）102030405060708090100加工时间y（个）626875818995102108115122（1）y与x是否具有线性相关关系；（2）如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；（3）根据求出的回归直线方程，预测加工200个零件所用的时间为多少。思路分析：这是一个回归分析问题，应先进行线性相关检验或作散点图来判断x与y是否具有线性相关关系，如果线性相关，才可以求解后面的问题,否则就使得求回归直线方程没有意义.要作相关性检验,应先利用γ.γ=求出样本相关系数γ，利用当γ>0时,两个变量正相关；当γ〈0时，两个变量负相关；当｜γ|→1时，表明两个变量的线性相关性越强；当|γ｜→0时,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系;当γ〉0。75时，认为两个变量有很强的线性相关关系.解：（1)列出下表：i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi62013602250324044505700714086401035012200∴=55，=91。7∴γ==≈0。9998由于γ=0.9998〉0.75，因此x与y之间有很强的线性相关关系，因而可求回归直线方程。（2）设所求的回归直线方程为=.则有=≈0.668=91.7-0.668×55=54。96。因此，所求的回归直线方程为y=0.668x+54。96.(3）这个回归直线方程的意义是当x每增大1时，y的值约增加0。668，而54。96是y不随x增加而变化的部分，因此，当x=200时，y的估计值为y=0.668×200+54。96=188。56≈189。因此，加工200个零件时所用的工时约为189个。【变式训练】对于x与y有如下观测数据：X1825303941424952Y356788910(1)作出散点图;（2）对x与y作回归分析；(3）求出x对y的回归直线方程___________________；(4）根据回归直线方程，预测y=20时的x值。解：（1）作出散点图（如下图所示）（2）作相关性检验。×（18+25+30+39+41+42+49+52)==37×(3+5+6+7+8+8+9+10)=7.=182+252+302+392+412+422+492+522=11920=32+52+62+72+82+82+92+102=428=18×3+25×5+30×6+39×7+41×8+42×8+49×9+52×10=2257∴—=2257—8×37×7=185-=11920-8×372=968。-=428-8×72=36∴r==≈0.991由于r=0.991＞0.75,因此,认为两个变量有很强的相关关系；（3）回归系数=≈0。191=7-0。191×37=—0。067。所以y对x的回归直线方程=0.191x-0.067;(4)当y=20时，有20=0。191x-0。067，∴x=≈105.因此在y的值为20时,x的值约为105.【例3】某种图书每册的成本费y（元）与印刷册数x(千册）有关，经统计得到数据如下，x123510203050100200y10.155。524。082.852。111.621。411。301。211。15检测每册书的成本费y与印刷册数的倒数之间是否具有线性相关关系，如有，求出y对x的回归方程.思路分析:本题与前面的问题有所不同，y与x之间不具有线性回归关系，因而是非线性回归问题,对于非线性回归问题有时不给出经验公式，这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修1中学过的基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数）图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使其得到解决.对于本题不妨设变量u=,题意要求对u与y作相关性检验，如果他们具有线性相关关系，就可以进一步求出y对u的回归直线方程，这时再回代u=，就得到了y对x的回归曲线方程.解：首先作变量置换u=，题目所给数据变成如下表所示的数据。ui10.50。330.20。10.050。030.020。010.005yi10.155.524。082。852.111.621.411.301.211.15可以求得，γ==0。9998由γ=0.9998>0.75,因此，变量y与ui间具有较强的线性相关关系，并且=8.973,=1.125.最后回代a=可得=1。125+因此,y与x的回归方程为=1.125+。【变式训练】一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列成下表,试建立y与x之间的回归方程。温度x/℃21232527293235产卵数y/个711212466115325解：根据收集的数据，作散点图，如下图.从图中可以看出，样本点并没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系,根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条直数函数曲线y=附近，其中C1、C2为待定的参数,我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z=lgy,则变换后样本点分布在直线z=bx+a(a=lnC1，b=lnC2)的附近，这样可以利用线性回归建立y与x的非线性回归方程了。变换的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合.由上表中的数据可得到变换的样本数据表如下表：x21232527293235y1.9462。3983.0453.1784.1904。7455.784可以求得线性回归直线方程为=0。272x—3。843因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为=e0。272x—3.843，另一方面，可以认为图中的样本点集中在某二次曲线y=的附近，其中C3、C4为待定参数，因此可以对温度变量进行变换，令t=x2，然后建立y与t之间的线性回归方程.从而得到y与x之间的非线性回归方程.下表是红铃虫的产卵数和对应温度的平方的线性回归模型拟合表,作出相应的散点图如下图所示:t44152962572984110241225y7