数学课堂探究：生活中的优化问题举例

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一面积、体积的问题1．求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题,解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数,然后利用导数的方法来解．2．必要时，可选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程,以利于解决问题．【典型例题1】请你设计一个包装盒,如图所示,四边形ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B，C，D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E,F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值？(2）某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．思路分析：用x分别表示出包装盒的底边长和高，再求侧面积和容积的最值．解：设包装盒的高为hcm，底面边长为acm.由已知得a＝eq\r（2）x，h＝eq\f（60－2x，\r（2））＝eq\r（2)(30－x),0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x（30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值．（2)V＝a2h＝2eq\r(2）（－x3＋30x2），V′＝6eq\r(2）x（20－x）．由V′＝0，得x＝0（舍去）或x＝20。当x∈（0,20)时，V′＞0；当x∈（20,30)时，V′＜0。所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时eq\f(h,a）＝eq\f（1，2),即包装盒的高与底面边长的比值为eq\f(1，2）.探究二成本最低(费用最省)问题1．求实际问题的最大（小）值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合实际意义的理论值应舍去；2．在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小）值；3．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围,即函数的定义域．【典型例题2】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位:万元）与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝eq\f（k,3x＋5)（0≤x≤10),若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1）求k的值及f（x)的表达式;（2)隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．解：(1)隔热层厚度为xcm,由题设，每年能源消耗费用为C(x）＝eq\f（k，3x＋5），再由C(0）＝8，得k＝40，因此C（x)＝eq\f（40,3x＋5).而建造费用为C1（x)＝6x。最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x）＝20C（x)＋C1（x）＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f（800,3x＋5）＋6x（0≤x≤10)．(2）f′（x）＝6－eq\f（2400,（3x＋5)2)，令f′(x)＝0,即eq\f（2400,(3x＋5）2）＝6，解得x＝5或x＝－eq\f（25,3）（舍去）．当0≤x＜5时，f′(x）＜0；当5＜x≤10时，f′（x)＞0,故x＝5是f（x)的最小值点,对应的最小值为f(5）＝6×5＋eq\f(800，15＋5）＝70.所以,当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小,最小值为70万元．探究三利润最大问题1．经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润的关系及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．2．关于利润问题常用的两个等量关系（1)利润＝收入－成本．(2）利润＝每件产品的利润×销售件数．【典型例题3】某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与每日生产量x(x∈N*)件之间的关系为P＝eq\f(4200－x2，4500),每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元．（注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数×100％）（1)将日利润y（元)表示成日产量x(件)的函数．(2)求该厂的日产量为多少件时,日利润最大？并求出日利润的最大值．思路分析：（1）求出正品件数、次品件数，利用利润＝盈利－亏损求值；(2)利用可导函数求最值的方法来求解．解:(1)因为y＝4000×eq\f（4200－x2，4500)x－2000eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（4200－x2,4500）））x＝3600x－eq\f(4,3）x3,所以所求的函数关系式是y＝－eq\f（4，3)x3＋3600x（x∈N*，1≤x≤40）．（2)显然y′＝3600－4x2.令y′＝0,解得x＝30。所以当1≤x＜30时，y′＞0;当30＜x≤40时，y′＜0。所以函数y＝－eq\f（4,3）x3＋3600x（x∈N*，1≤x≤40）在［1,30)上单调递增，在（30,40]上单调递减．所以当x＝30时，函数y＝－eq\f（4,3）x3＋3600x（x∈N＊,1≤x≤40)取得最大值，最大值为－eq\f（4,3）×303＋3600×30＝72000（元）．所以该厂的日产量为30件时，日利润最大,其最大值为72000元．探究四易错辨析易错点：没有注意问题的实际意义而出错【典型例题4】甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v(千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v（千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?错解：（1)依题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为eq\f（s,v)，全程运输成本为y＝a·eq\f（s，v）＋bv2·eq\f(s，v)＝seq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（a,v）＋bv）)，所求函数为y＝seq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(a，v)＋bv)），定义域为（0，c]．(2）由题意，s，a，b，v均为正数，由y′＝seq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(b－\f（a,v2）)）＝0，得v＝eq\r(\f(a，b))或v＝－eq\r（\f(a,b）)（舍)．故为了使运输成本最小,汽车应以eq\r(\f(a，b））千米/时的速度行驶．错因分析：一方面在运用导数解决实际问题的过程中，忽略实际问题中函数的定义域而造成求解错误；另一方面由于忽视了对v＝eq\r(\f(a，b))是否在区间（0,c］内的讨论,致使答案错误．正解：(1）依题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为eq\f(s，v)，全程运输成本为y＝a·eq\f(s,v）＋bv2·eq\f(s，v）＝seq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（a，v）＋bv））.所以所求函数为y＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（a，v)＋bv）),定义域为(0，c]．（2)由题意知s，a,b，v均为正数．由y′＝seq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(b－\f（a,v2）))＝0，得v＝eq\r(\f（a，b）).但v∈（0，c］．①若eq\r(\f(a，b））≤c，则当v＝e