数学课堂探究：频率与概率

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究1．频率与概率的区别与联系剖析：根据它们的概念可知，频率因试验的不同而不同,而概率则不因试验的不同而改变．频率是指在已经发生的随机事件中，某一个随机事件在整个随机事件中所占的比例．概率是由大量数据统计后得出的结论，讲的是一种大的整体的趋势；而频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．举例来说，掷一枚硬币,正面和反面出现的概率相等，都是eq\f(1，2)，这是经过上百万次试验取得的理论数据．但某人只掷20次,正面出现的频率为eq\f(13,20)，反面出现的频率仅为eq\f（7,20）。概率和频率的关系是整体和具体、理论和实践的关系．频率随着随机试验次数的增加，会趋向于概率．在处理具体的随机事件时,用概率作指导，以频率为依据．如果随机事件A在n次重复试验中发生了m次,则称事件A出现的比例为事件A出现的频率．如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率稳定在某个常数附近，则称为事件A发生的概率．概率是随机事件发生的可能性大小的度量，是随机事件自身的一个属性．频率是通过反复试验“测量”出来的,当试验次数相当大时，频率就会“靠近”概率．2．教材中的“思考与讨论"“某彩票的中奖概率为eq\f（1,1000）”是否意味着买1000张彩票就一定能中奖？剖析:买1000张彩票相当于做1000次试验,结果可能是一次奖也没中，或多次中奖，所以“彩票中奖概率为eq\f(1，1000）”并不意味着买1000张彩票就一定能中奖,这一数据只是一个理论上的可能性的大小．题型一概率概念的理解【例1】有人说：“掷一枚骰子一次得到的点数是2的概率是eq\f（1,6)，这说明掷一枚骰子6次会出现一次点数是2。"对此说法，在同学中出现了两种不同的看法：一些同学认为这种说法是正确的．他们的理由是：因为掷一枚骰子一次得到点数是2的概率是eq\f（1，6），所以掷一枚骰子6次得到一次点数是2的概率P＝eq\f(1,6)×6＝1,即“掷一枚骰子6次会出现一次点数是2”是必然事件,一定发生．还有一些同学觉得这种说法是错误的，但是他们却讲不出是什么理由来．你认为这种说法对吗?请说出你的理由．分析：正确理解随机事件概率的意义是解此题的关键．解：这种说法是错误的．上述认为说法正确的同学，其计算概率的方法自然也是错误的．为了弄清这个问题，我们不妨用类比法，即把问题变换一下说法．原题中所说的问题，类似于“在一个不透明的盒子里放有6个标有数字1,2,3，4,5，6的同样大小的球，从盒中摸一个球恰好摸到2号球的概率是eq\f(1,6).那么摸6次球是否一定会摸到一次2号球呢?”在这个摸球问题中，显然还缺少一个摸球的规则，即每次摸到的球是否需要放回盒子里？显然，如果摸到后不放回,那么摸6次球一定会摸到一次2号球．如果摸到球后需要放回，那么摸6次球就不一定会摸到一次2号球了．由此看来，我们先要弄清这个摸球问题与上面的掷骰子问题是否完全类同，是否应当有每次摸到的球还要放回盒子里的要求．我们先看看上面掷骰子问题中的规则吧，在掷骰子问题中,表面上好像没写着什么规则，但实际上却藏有一个自然的规则，即第一次如果掷得某个数（如3)，那么后面还允许继续掷得这个相同的数．于是摸球问题要想与掷骰子问题中的规则相同,显然每次摸到的球必须要放回盒子里才妥当．那么摸6次球就不一定会摸到一次2号球了．反思随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上的反映，认识了这种随机中的规律性，可以帮助我们预测事件发生的可能性的大小．但对一定数量n次的试验来说，某事件发生的频率并不一定与概率完全相同。题型二随机事件的频率与概率【例2】某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：投篮次数n8101291016进球次数m6897712进球频率eq\f（m，n）(1)计算表中进球的频率；（2)这位运动员投篮一次进球的概率大约是多少？分析：在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为eq\f(m，n）.当n很大时,eq\f（m,n）总在某个常数附近摆动，这个常数叫做事件A的概率．所以先计算eq\f（m,n），再仔细观察这个常数为多少．解：(1)依据公式可算出表中进球的频率依次为eq\f（3，4）,eq\f（4，5)，eq