天津市西青区杨柳青一中2024-2025学年高二（上）第二次适应性数学试卷（12月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市西青区杨柳青一中高二（上）第二次适应性数学试卷（12月份）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y=14x2A.(116,0) B.(0,116)2.已知双曲线x22−yA.y=±x B.y=±2x C.y=±223.已知数列1，3，5，7，3，…，2n−1，…，则该数列的第25A.7 B.26 C.54.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为A.x28−y210=1 B.5.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，P(x0,2)是抛物线C上一点，且点P到F的距离为A.(0,−1) B.(0,1) C.(1,0) D.(−1,0)6.在2和8之间插入3个实数a，x，b使得2，a，x，b，8成等比数列，则x的值为(

)A.−4 B.−4或4 C.4 D.57.已知圆C1：(x+1)2+y2=25，圆C2：(x−1)2+yA.x23+y2=1 B.x8.已知等差数列{an}，a2=3，a5=9，则数列A.Sn=n2+2n+23(49.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交C的左支于A，B两点，若A.102 B.32 C.5二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.数列{an}的前n项和为Sn=11.已知圆C1：x2+y2=10与圆12.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,2)，记抛物线C：y2=4x上的动点P到准线的距离为d，则d−|PA|的最大值为______．13.已知直线l：ax−y+2−a=0恒过点P，O为坐标原点.点P的坐标为______；当点O到直线l的距离最大的，直线l的方程为______．14.已知圆C的圆心与抛物线y2=8x的焦点关于直线y=x对称，直线2x−y−3=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=23，则圆15.某个软件公司对软件进行升级，将序列A=(a1,a2,a3,…)升级为新序列A∗=(a2−a1,a3−a2三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a7=1，S4=−32．

(1)求数列{an17.(本小题15分)

在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中点．

(1)求证：CM⊥EM；

(Ⅱ)求平面EMC与平面BCD所成的二面角的正弦值；

(Ⅲ)在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角是60°，若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．18.(本小题15分)

已知过点(−2,2)的双曲线C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是2x+y=0．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线x−y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B19.(本小题15分)

已知等差数列{an}与正项等比数列{bn}满足a1=1，a5=9，b1=2，且a2是a1+b1和b3−a3的等差中项．

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)求数列20.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，左顶点为A(−4,0)，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.O点为坐标原点．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；

(Ⅲ)若过O参考答案1.C

2.D

3.A

4.C

5.B

6.C

7.D

8.D

9.A

10.an11.x+y−2=0(−1≤x≤3)

412.513.(1,2)

x+2y−5=0

14.x215.8

16.解：(1)∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a7=1，S4=−32．

∴a1+6d=14a1+4×32d=−32，

解得a1=−1117.证明：(Ⅰ)∵AC=BC，M是AB的中点，∴CM⊥AB，

又∵EA⊥平面ABC，CM⊥EA，

∵EA∩AB=A点，∴CM⊥平面AEM，

∵EM⊂平面AEM，∴CM⊥EM．

解：(Ⅱ)如图，以M为原点，MB，MC为x，y轴，

建立如图所示的坐标系M−xyz，

∴M(0,0,0)，C(0,2,0)，E(−2,0,1)，

B(2,0,0)，D(2,0,2)，

ME=(−2,0,1)，MC=(0,2,0)，BC=(−2,2,0)，

BD=(0,0,2)，

设平面EMC的法向量n=(x,y,z)，

则n⋅ME=−2x+z=0n⋅MC=2y=0，取x=1，得n=(1,0,2)，

设平面BCD的法向量m=(x,y,z)，

则m⋅BC=−2x+2y=0m⋅BD=2z=0，取x=1，得m=(1,1,0)，

设平面EMC与平面BCD所成的二面角的平面角为θ，

则|cosθ|=|m⋅18.解：(1)设双曲线C的方程是(2x)2−y2=λ(λ≠0)，

则(−2×2)2−(2)2=λ，解得λ=2，

所以双曲线C的方程是2x2−y2=2，即x2−y22=1．

(2)将y=x+m，代入x2−y22=119.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

则1+4d=9，

解得d=2，

所以数列{an}的通项公式为an=2n−1；

又a2是a1+b1

和b3−a3的等差中项，

则2a2=a1+b1+b3−a3，即2×3=1+2+b3−5，

解得b3=8，故2q2=8，解得q=2(负值舍去)，

所以数列{bn}的通项公式为bn=2n；

(2)由(1)得1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，

数列{1anan+1}的前n项和Sn=12(1−13)+20.解：(Ⅰ)因为左顶点为A(−4,0)，所以a=4，又e=ca=12，所以c=2．

又∵b2=a2−c2=12，所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1．

(Ⅱ)设直线l的方程为y=k(x+4)，化简得，

(x+4)[(4k2+3)x+1