广东省六校2024-2025学年高二上学期12月联考 数学试题（含解析）

广东省六校2024−2025学年高二上学期12月联考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（

）A． B．C． D．2．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点坐标为，则△ABC欧拉线的方程为（

）A．x+y-4=0 B．x-y+4=0C．x+y+4=0 D．x-y-4=03．已知抛物线的准线为，则与直线的交点坐标为（

）A． B．C． D．4．如图，在平行六面体中，底面和侧面都是正方形，，点P是与的交点，则（

）A． B．2 C．4 D．65．在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（

）A．96π B．84π C．72π D．48π6．已知点和圆，圆M上两点A，B满足，O是坐标原点.动点P在圆M上运动，则点P到直线AB的最大距离为（

）A．2 B． C． D．7．已知是椭圆上的动点，若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知矩形ABCD，，，M为边DC上一点且，AM与BD交于点Q，将沿着AM折起，使得点D折到点P的位置，则的最大值是（

）A． B． C．23 D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知圆是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆C相切于点A，B，则（

）A．圆C上恰有1个点到直线l的距离为B．|PA|的最小值是C．|AB|存在最大值D．|AB|的最小值是10．已知椭圆的左,右焦点分别为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（

）若，则 当时，直线的倾斜角为若为抛物线上一点，则的最小值为的最小值为911．如图，三棱台中，M是AC上一点，平面ABC，∠ABC=90°，，则（

）A．平面B．平面平面C．三棱台的体积为D．若点P在侧面上运动（含边界），且CP与平面所成角的正切值为4，则BP长度的最小值为三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线，若，则实数a的值为13．已知分别是椭圆的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆C于点P，若为等腰三角形，则椭圆C的离心率为.14．已知实数、满足，则的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1.(1)求四面体ABCD的体积;(2)求平面ABC与平面ABD所成角的正切值.16．已知点、的坐标分别为、直线、相交于点，且它们的斜率之积是(1)求点的轨迹方程；(2)若直线与点的轨迹交于两点，且，其中点是坐标原点.试判断点到直线的距离是否为定值.若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.17．如图，在斜三棱柱中，是边长为2的等边三角形，侧面为菱形，.(1)求证：；(2)若为侧棱上（包含端点）一动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.18．已知双曲线的渐近线方程为，过右焦点且斜率为的直线与相交于、两点.点关于轴的对称点为点.(1)求双曲线的方程：(2)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；(3)当时，求面积的最大值.19．如图所示，在平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针旋转角至点．（1）试证明点的旋转坐标公式：（2）设，点绕坐标原点逆时针旋转角至点，点再绕坐标原点旋转角至点，且直线的斜率，求角的值；（3）试证明方程的曲线是双曲线，并求其焦点坐标．

参考答案1．【答案】D【详解】由题意可得，可得，因此，双曲线的渐近线方程为.故选：D.2．【答案】A【详解】由，得，则的垂心为，外心为，所以欧拉线的方程为，即.故选：A3．【答案】D【详解】对于抛物线，，可得，所以，其准线方程为，联立，解得，因此，与直线的交点坐标为.故选：D.4．【答案】B【详解】在平行六面体中，，由点P是与的交点，得，而，因此.故选：B5．【答案】B【详解】在中，，则，中点为的外心，于是平面，取中点，连接，则，而平面PAB⊥平面ABC，平面平面，平面，则平面，，令正的外心为，则为的3等分点，，又平面，则，而，则四边形是矩形，，因此球O的半径，所以球O的表面积为.故选：B6．【答案】C【详解】设满足的动点，则，整理得，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，依题意，点在圆上，圆的圆心，半径为2，因为，所以两圆相交，则直线方程为，点到直线的距离，所以点P到直线AB的最大距离为.故选：C7．【答案】D【详解】由题意可设：，则，令，则，注意到，则，可知的图象开口向上，对称轴为，当，即时，可知在内的最小值为，则，整理得，解得，不合题意；当，即时，可知在内的最小值为，符合题意；综上所述：.可得椭圆的离心率，所以椭圆的离心率的取值范围是.故选：D.8．【答案】A【详解】在矩形，，，，由可得由可得，则，即，可知折起后，必有，，平面，故平面，因为是确定的直线，故对任意点P，都在同一个确定的平面内，因为，可知点P在以点Q为圆心，半径为的圆上（如图），由图知，当且仅当PB与该圆相切时，取到最大值，则也取到最大值，此时,，则的最大值为故选：A.9．【答案】ABD【详解】圆的圆心，半径，对于A，点到直线的距离，点到直线的距离的最小值为，因此圆C上恰有1个点到直线l的距离为，A正确；对于B，，当且仅当时取等号，B正确；对于CD，由垂直平分得，，则，当且仅当时取等号，D正确，C错误.故选：ABD10．【答案】AD【详解】A选项，由题意得，故抛物线方程为，由抛物线定义得，A正确；B选项，由于直线的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去，设直线，联立，得，设，则由韦达定理得，故，解得，故直线的斜率为，倾斜角不为，B错误；C选项，由题意得，准线方程为，过点作垂直于点，由抛物线定义得，故，要想求得的最小值，则过点作垂直直线于点，故的最小值为，最小值为，C错误；D选项，由题意得，由于，故，，因为，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为9，D正确.故选AD.11．【答案】ACD【详解】对于A，令，连接，由，，得，由，得，则，而平面，平面，则平面，A正确；对于B，由平面，平面，得，而，平面，则平面，在上取点，使得，则，，因此平面，即点在平面上的投影为线段BC上靠近点较近的3等分点，又点不在直线，则过点与平面垂直的直线不在平面内，因此平面与平面不垂直，B错误；对于C，依题意，，，三棱台的体积，C正确；对于D，由选项B知，平面，而平面，则平面平面，过作于，平面平面，则平面，在直角梯形中，，在直角中，，，由与平面所成角的正切值为4，得，，因此点轨迹是以为圆心，为半径的圆在侧面内圆弧，的最小值为，D正确.

故选：ACD12．【答案】0或1【详解】直线，由，得，解得或，所以实数a的值为0或1.故答案为：0或113．【答案】33/【详解】由为等腰三角形，，则有，而，，若，则，，由，得，则，在中，，在中，，，即，整理得，则.故答案为：14．【答案】【详解】当，时，曲线方程可化为；当，时，曲线方程可化为；当，时，曲线方程可化为，即曲线不出现在第三象限；当，时，曲线方程可化为，作出曲线的图形如下图所示：设，即，由图可知，当直线与圆相切，且切点在第一象限时，则，且，解得，由因为双曲线、的渐近线方程均为，当直线与直线重合时，，所以，，故.故答案为：.15．【答案】(1)；(2).【详解】（1）在四面体ABCD中，在平面内过点作于，由平面ABC⊥平面ACD，平面平面，得平面，在中，，则，于是，在中，，，则，，所以四面体ABCD的体积.（2）由（1）知，平面，平面，则，过作交于，连接，由，得，而平面，则平面，又平面，因此，是平面ABC与平面ABD所成的角，由（1）知，，由，得，所以平面ABC与平面ABD所成角的正切值.16．【答案】(1)(2)是定值，且定值为【详解】（1）设点，则，由题意可得，整理可得.所以，点的轨迹方程为.（2）由题意可知，直线、的斜率存在且都不为零，设直线的方程为，则直线的方程为，联立，可得，则，同理可得，则原点到直线的距离为.因此，点到直线的距离为.17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图所示，取的中点为为菱形，且，所以为等边三角形，，又为等边三角形，则，所以平面，又平面平面，所以.（2）如图所示，在中，，由余弦定理可得，所以，由（1）得平面，因为平面，所以平面平面，所以在平面内作，则平面，以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系如图所示：则，设n=x,y,z是平面的一个法向量，，，则，即，取得，设，，设直线与平面所成角为，则，令，则在0,1单调递增，所以，故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.18．【答案】(1)(2)证明见解析，定点坐标为(3)【详解】（1）根据题意，设双曲线的标准方程为，由题意可得，解得，故双曲线的方程为.（2）当时，此时，点、为双曲线的顶点，不合乎题意；当时，设，则直线的方程为，设点Ax1,y1由对称性可知，直线过轴上的定点，联立可得，由题意可得，解得，由韦达定理可得，，则的斜率为，直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程可得，可得，此时，直线过定点.综上所述，直线过定点.（3）因为，则，且，，因为函数在上单调递减，故当时，取最大值，且最大值为.19．【答案】（1）证明见解析；（2）、、；（3）证明见解析；焦点坐标为与．【详解】（1）设将x轴正半轴绕坐标原点旋转角至点，，则，由任意角的三角比定义，有和所以，将代入，得（2）方法1：设点，的坐标分别为，，由点的旋转坐标公式，有与由直线的斜率，得，，或或，，、、．方法2：由三角比的定义，可得点设点的坐标分别