黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

1PAGE第13页哈三中2024—2025学年度上学期高二学年期中考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题（共58分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.圆的圆心和半径分别是（）A，2 B.，2C.， D.，2.下列命题是真命题的是（）A.经验回归方程至少经过其样本数据点，，…，中的一个B.可以用相关系数r来刻画两个变量x和y线性相关程度的强弱，r的绝对值越小，说明两个变量线性相关程度越强C.线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好D.残差点分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好3.某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（）A. B.C. D.4.将1，2，3，4，5，6这6个数填入如图所示的3行2列表格中，则表格内每一行数字之和均相等的概率为（）A. B. C. D.5.设a为实数，已知直线：，：，若，则（）A.6 B. C.6或 D.或36.已知直线l：，其中t为展开式中的常数项，则点到直线l的距离为（）A.1 B.2 C.5 D.107.某学校为了解校庆期间不同时段的校门人流量，从上午8点开始第一次反馈校门人流量，以后每过2小时反馈一次，共统计了前3次的数据，其中，2，3，为第i次人流量数据（单位：千人），由此得到y关于i的回归方程.已知，根据回归方程，可预测下午2点时校门人流量为（）千人.参考数据：A.9.6 B.10.8 C.12 D.13.28.已知函数，则的取值范围为（）A. B.C D.（二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.关于函数，下列命题中正确的是（）A.是以为最小正周期的周期函数B.的最大值为C.将函数的图象向左平移个单位后，与已知函数的图象重合D.的图象关于直线对称10.在平面直角坐标系中，定义为两点Ax1,y1，Bx2,y2的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线A.，，则B.为坐标原点，动点满足，则的轨迹为圆C.对任意三点、、，都有D.已知点和直线：，则11.高考数学试题第二部分为多选题，共个小题，每小题有个选项，其中有个或个是正确选项，全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分.若正确答案是个选项，只选对个得分，有选错的得分；若正确答案是个选项，只选对个得分，只选对个得分，有选错的得分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择个选项的得分，记为小明随机选择个选项的得分，则（）A. B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上）12.下列说法中正确的有__________（填正确说法的序号）①直线的倾斜角为②直线的斜率为③直线（）过定点④点到直线的距离为113.对于随机事件，若，，，则__________.14.已知正方体的棱长为2，E、F为空间内两点且，，.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为______.三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求锐角大小；（2）在（1）的条件下，若，且的周长为，求的面积.16.已知的三个顶点分别是，，（1）求边AC的高BH所在直线方程；（2）已知M为AB中点，试在直线CM上求一点P，在x轴上求一点Q，使的周长最小，并求最小值.17.随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城，将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质，我市文旅局随机选择名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分分），分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求x的值并估计该评分的上四分位数；（2）若采用按比例分层抽样方法从评分在，80,90的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行单独交流，求选取的4人中评分等级为良好的人数X的分布列和数学期望；（3）为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验反馈，我市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120名.请根据小概率值的独立性检验，分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关.附：，0.050.010.0013.8416.63510.82818.棱长为2的正方体，M为正方体中心，将四棱锥绕逆时针旋转（）后得到四棱锥，如图1.（1）求四棱锥的表面积和体积；（2）若（如图2），求证：平面平面；（3）求为多少时，直线与直线DC所成角最小，并求出最小角的余弦值.19.某志愿者社团计划在周一和周二两天各举行一次活动，分别由甲、乙两人负责活动通知，已知该社团共有n位同学，每次活动均需k位同学参加.假设甲和乙分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团k位同学，且所发信息都能收到.（1）当，时，求该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息的概率；（2）记至少收到一个活动通知信息的同学人数为X①设，，求随机变量X的分布列和数学期望；②求使取得最大值的整数m.

哈三中2024—2025学年度上学期高二学年期中考试数学试卷（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】B8.【答案】D（二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.【答案】ABD10.【答案】ACD11.【答案】BCD第Ⅱ卷（非选择题，共92分）二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上）12.【答案】①③13.【答案】14.【答案】三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式即可得解；（2）先求出，再根据正弦定理，令，求出，再根据三角形的周长求出，再根据三角形的面积公式即可得解.【小问1详解】因为，由正弦定理得，即，又，所以，又，所以；【小问2详解】因为，所以，又，所以，则，由正弦定理，令，则，所以的周长为，解得，所以，所以.16.【解析】【分析】（1）求出边AC的高BH的斜率，再由点斜式方程即可得出答案.（2）先求出直线CM的方程，如图，作出关于直线CM的对称点，作出关于轴的对称点，则连结，交直线CM于，交轴于，则的周长的最小值等于，最后求出直线的方程，即可求出点Q.【小问1详解】因为，，所以，所以边AC的高BH的斜率为，又因为直线BH过点，所以BH所在直线方程为：，化简可得：.所以BH所在直线方程为.【小问2详解】因为M为AB中点，所以，，直线CM的方程为：，化简可得：，如图，作出关于直线的对称点，则，解得：，所以，作出关于轴的对称点，连结，交直线CM于，交轴于，，，三角形的周长为线段的长，由两点间线段最短得此时的周长最小，的周长最小时，最小值为：，此时直线的斜率为，直线的方程为：，化简可得：，令，所以，所以，令，所以,所以,所以当时，的周长最小，最小值为.17.【解析】【分析】（1）根据频率和为计算出的值；先判断出上四分位数所在区间，然后结合区间端点值以及该组的频率完成计算；（2）先根据分层抽样计算出每组抽取的人数，然后确定出的可取值并计算对应概率，由此可求分布列和数学期望；（3）根据已知条件得到对应列联表，然后计算出的值并与对应比较大小，由此得到结论.【小问1详解】由频率分布直方图可知，，解得；因为90,100的频率为，且90,100为最后一组，所以评分的上四分位数位于区间90,100中，所以上四分位数为：；【小问2详解】评分在与80,90两组的频率分别为，所以内抽取人数为，80,90内抽取人数为，故人中评分等级为良好的有人，由题意可知，的可取值为，，，，所以的分布列为：数学期望；【小问3详解】青年游客评分等级良好的有人，所以老年游客评分等级良好的有人，由上可得如下列联表，

青年游客老年游客总计评分等级良好评分等级非良好总计零假设：游客的评分等级是否良好与年龄段无关，由表中数据可得，根据小概率值的独立性检验，可知零假设成立，即无法认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关.18.【解析】【分析】（1）根据棱锥的表面积公式和体积公式计算即可；（2）易得平面､平面为同一个平面，补全正方体，证明为二面角的平面角，再证明即可；（3）以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】由题意，，则，所以四棱锥的表面积为，四棱锥的高为，则；【小问2详解】若，则平面､平面为同一个平面，如图，补全正方体，连接、，则是中点，是中点，所以平面与平面重合，平面与平面重合，由正方体性质可知平面，因为平面，所以，，为二面角的平面角，因为，则，同理可得，所以，所以平面平面；【小问3详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，，即，故，则，因为，所以，所以，所以，所以，此时，即，所以时，直线与直线DC所成角最小，最小角的余弦值为.19.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率，结合事件的独立性及组合计数问题列式求解.（2）①求出的可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望；②按和分类求出的表达式，再建立不等式求出对应的整数.【小问1详解】设事件“该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息”，所以.【小问2详解】①的可能取值为2，3，4，，所以的分布列为：234