2024-2025学年广东省广州市越秀区铁一中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）

第1页（共1页）2024-2025学年广东省广州市越秀区铁一中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（）A．笛卡尔心形线 B．三叶玫瑰形曲线 C．蝴蝶形曲线 D．太极曲线2．（3分）下列说法正确的是（）A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨 B．若抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷100次图钉，钉尖向上的次数为40次 C．汽车累积行驶100000km没有出现故障，是必然事件 D．经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件3．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+4＝0，原方程应变为（）A．（x+3）2＝13 B．（x+3）2＝5 C．（x﹣3）2＝13 D．（x﹣3）2＝54．（3分）对于二次函数y＝（x+2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．与y轴交点坐标为（0，1） B．与x轴有两个公共点 C．当x＜2时，y随x增大而减小 D．对称轴为直线x＝﹣25．（3分）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝125°（）A．100° B．110° C．120° D．125°6．（3分）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为xcm（）A．（30+x）（20+x）＝600 B．（30+2x）（20+2x）＝600 C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝1200 D．（30+2x）（20+2x）＝12007．（3分）如图，在△ABC中，点D在AB上，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（）A．BC＝3DE B．＝ C．△ADE∽△ABC D．S△ADE＝S△ABC8．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，则当ax2﹣b＜kx时，自变量x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜2 B．﹣2＜x＜3 C．x＜﹣2或x＞3 D．x＜﹣3或x＞29．（3分）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝BC，连接CD取CD的中点G，连接BG，则以下选项错误的是（）A．CD⊥BG B．∠ACD＝30° C． D．∠DBG＝∠DAC10．（3分）如图，△ACB中，CA＝CB＝4，点P为CA上的动点，连BP，线段BM的中点N运动的路径长为（）A．π B．π C．π D．2π二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）若关于x的一元二次方程x2＝c有实数根，写出c的一个值可以是．（写出一个即可）12．（3分）有一个半径为1m的扇形，将扇形围成一个底面半径为的圆锥．13．（3分）在一次试验中，每个电子元件“”的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态的可能性相等，则图中A.14．（3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，过C的切线分别交PA、PB于点D、E．若PB＝10，则△PDE的周长为．15．（3分）对于任意实数，若规定＝ad﹣bc，n是x2﹣2x﹣2024＝0的两个根，则＝．16．（3分）如图，在△ABC中，BM⊥AC于点M，P为BC边的中点，连接PM、PN、MN；②；③∠ABC＝∠AMN；④若∠ABC＝60°；⑤若∠ABC＝45°，则BN＝．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（4分）解方程：（3x+1）2＝9x+3．18．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，连接DE，且∠A＝63°，∠B＝70°，求证：△ADE∽△ACB．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）将△ABC绕着点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C，则A1坐标为，并在图中画出△A1B1C；（2）求△ABC旋转过程中所扫过的面积是多少（结果保留π）．20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．（1）求证：无论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）当Rt△ABC的斜边，且两直角边a和b恰好是该方程的两个根，求m的值．21．（8分）圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位，随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定（1）从π的小数部分随机取出一个数字，估计这个数字（不等于0）是3的倍数的概率为；（2）我校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解）22．（10分）大圆O和小圆O为同心圆，正六边形ABCDEF为大圆O的内接正六边形，连接AC，同时小圆O与CA相切于点K．（1）求证：CE是小圆O的切线．（2）若，求阴影部分的面积．（结果用π表示）23．（10分）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳，经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，运动员到地面OB的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离x（单位：m）．已知OA＝70m，OC＝60m，到地面OB的竖直高度是37.5m．（1）求y与x的函数表达式；（2）进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，x＝0；当他在点P着陆时①求x与t的函数表达式；②当运动员与着陆坡BC在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值．24．（12分）如图，在⊙O中，AB为弦，且AB⊥CD，垂足为E上的动点（不与端点重合），连接PD．（1）求证：∠APD＝∠BPD；（2）利用尺规在PD上找到点I，使得I到AB、AP的距离相等，连接AD（保留作图痕迹，不写作法）；（3）在（2）的条件下，连接IC、IE，试问：在P点的移动过程中，是否为定值？若是；若不是，请说明理由．25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，CD，OD交BC于点F△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在

2024-2025学年广东省广州市越秀区铁一中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析题号12345678910答案DDDBBDDBCA一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（）A．笛卡尔心形线 B．三叶玫瑰形曲线 C．蝴蝶形曲线 D．太极曲线【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形，选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，故选：D．2．（3分）下列说法正确的是（）A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨 B．若抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷100次图钉，钉尖向上的次数为40次 C．汽车累积行驶100000km没有出现故障，是必然事件 D．经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件【解答】解：A、“明天下雨的概率为80%”是说明天大约有80%可能下雨，不符合题意；B、抛掷图钉钉尖向上的概率为，钉尖向上的次数可能为40次，不符合题意；C、是随机事件，不符合题意；D、经过有信号灯的十字路口时，原说法正确；故选：D．3．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+4＝0，原方程应变为（）A．（x+3）2＝13 B．（x+3）2＝5 C．（x﹣3）2＝13 D．（x﹣3）2＝5【解答】解：x2﹣6x+5＝0x2﹣6x+9＝9﹣8（x﹣3）2＝3故选：D．4．（3分）对于二次函数y＝（x+2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．与y轴交点坐标为（0，1） B．与x轴有两个公共点 C．当x＜2时，y随x增大而减小 D．对称轴为直线x＝﹣2【解答】解：∵y＝（x+2）2+5，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，1），∴抛物线与x轴有两个交点，故选：B．5．（3分）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝125°（）A．100° B．110° C．120° D．125°【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝125°，∴∠BAD＝180°﹣125°＝55°，由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD＝110°，故选：B．6．（3分）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为xcm（）A．（30+x）（20+x）＝600 B．（30+2x）（20+2x）＝600 C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝1200 D．（30+2x）（20+2x）＝1200【解答】解：∵原画面是长为30cm，宽为20cm的矩形，∴原画四周镶上彩纸后的长为（30+2x）cm，宽为（20+2x）cm．根据题意得：（30+6x）（20+2x）＝2×30×20，即（30+7x）（20+2x）＝1200．故选：D．7．（3分）如图，在△ABC中，点D在AB上，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（）A．BC＝3DE B．＝ C．△ADE∽△ABC D．S△ADE＝S△ABC【解答】解：∵BD＝2AD，∴AB＝3AD，∵DE∥BC，∴＝＝，∴BC＝3DE，A结论正确；∵DE∥BC，∴＝，B结论正确；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，C结论正确；∵DE∥BC，AB＝8AD，∴S△ADE＝S△ABC，D结论错误，故选：D．8．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，则当ax2﹣b＜kx时，自变量x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜2 B．﹣2＜x＜3 C．x＜﹣2或x＞3 D．x＜﹣3或x＞2【解答】解：由题意可得：当一次函数图象在抛物线图象上方时自变量的取值范围为﹣2＜x＜3，∴不等式ax7＜kx+b的解集为﹣2＜x＜3，∵ax3﹣b＜kx，∴ax2＜kx+b，∴当ax2﹣b＜kx时，自变量x的取值范围是﹣5＜x＜3，故选：B．9．（3分）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝BC，连接CD取CD的中点G，连接BG，则以下选项错误的是（）A．CD⊥BG B．∠ACD＝30° C． D．∠DBG＝∠DAC【解答】解：∵AB＝BC，将线段AB绕点A顺时针旋转60°得到AD，∴∠BAC＝∠ACB＝α，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB＝BC，∠ABD＝60°，∴∠DBC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB﹣∠ABD＝120°﹣2α，∵G为CD的中点，∴BG⊥CD，故选项A正确，不符合题意；∴，故选项C错误，符合题意；∴∠BCG＝90°﹣∠CBG＝30°+α，∴∠ACD＝∠BCG﹣∠BCA＝30°，故选项B正确，不符合题意；∵∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝60°﹣α，∴∠DBG＝∠DAC，故选项D正确，不符合题意．故选：C．10．（3分）如图，△ACB中，CA＝CB＝4，点P为CA上的动点，连BP，线段BM的中点N运动的路径长为（）A．π B．π C．π D．2π【解答】解：设AB的中点为Q，连接NQ∵N为BM的中点，Q为AB的中点，∴NQ为△BAM的中位线，∵AM⊥BP，∴QN⊥BN，∴∠QNB＝90°，∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的，∵CA＝CB＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝CA＝4，∴∠DOQ＝90°，∴为⊙O的，∴线段BM的中点N运动的路径长为：＝π，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）若关于x的一元二次方程x2＝c有实数根，写出c的一个值可以是5（答案不唯一，只要c≥0即可）．（写出一个即可）【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2＝c有实数根，∴c≥0．故答案为：2（答案不唯一，只要c≥0即可）．12．（3分）有一个半径为1m的扇形，将扇形围成一个底面半径为的圆锥120°．【解答】解：设该扇形的圆心角的度数为x°，根据扇形的弧长等于圆锥底面周长得：，解得x＝120，故答案为：120°．13．（3分）在一次试验中，每个电子元件“”的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态的可能性相等，则图中A.【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有4种等可能的结果，A，∴A、B之间电流能够正常通过的概率为．故答案为：．14．（3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，过C的切线分别交PA、PB于点D、E．若PB＝10，则△PDE的周长为20．【解答】解：∵PA、PB，切点分别是A、B、C，∴AP＝BP，DA＝DC，∴△PED的周长是：PD+DE+PE＝PD+DC+CE+PE＝PD+DA+PE+BE＝PA+PB＝2PB＝20．答：△PED的周长是20．故答案为：20．15．（3分）对于任意实数，若规定＝ad﹣bc，n是x2﹣2x﹣2024＝0的两个根，则＝2026．【解答】解：∵m，n是x2﹣2x﹣2024＝7的两个根，∴m+n＝2，m2﹣4m﹣2024＝0，∴m2﹣m＝2024+m，∴＝m（m﹣1）﹣（﹣8）n＝m2﹣m+n＝2024+m+n＝2024+2＝2026，故答案为：2026．16．（3分）如图，在△ABC中，BM⊥AC于点M，P为BC边的中点，连接PM、PN、MN；②；③∠ABC＝∠AMN；④若∠ABC＝60°；⑤若∠ABC＝45°，则BN＝①②③⑤．【解答】解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∴PM＝BCBC，∴PM＝PN，故①正确；②在△ABM与△ACN中，∵∠A＝∠A，∠AMB＝∠ANC＝90°，∴△ABM∽△ACN，∴＝，∴＝，②正确；③∵＝，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AMN，∴∠ABC＝∠AMN，③正确；④∵∠ABC＝60°，∴∠BPN＝60°，如果△PMN为等边三角形，∴∠MPN＝60°，∴∠CPM＝60°，∴△CPM是等边三角形，∴∠ACB＝60°，则△ABC是等边三角形，而△ABC不一定是等边三角形，故④错误；⑤当∠ABC＝45°时，∵CN⊥AB于点N，∴∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，∴BN＝CN，∵P为BC边的中点，∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形∴BN＝PB＝，故⑤正确．故答案为：①②③⑤．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（4分）解方程：（3x+1）2＝9x+3．【解答】解：方程整理得：（3x+1）5﹣3（3x+6）＝0，分解因式得：（3x+6）（3x+1﹣5）＝0，可得3x+6＝0或3x﹣7＝0，解得：x1＝﹣，x2＝．18．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，连接DE，且∠A＝63°，∠B＝70°，求证：△ADE∽△ACB．【解答】证明：∵∠ADE＝47°，∠A＝63°，∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣63°﹣47°＝70°，∵∠B＝70°∴∠B＝∠AED，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）将△ABC绕着点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C，则A1坐标为（2，4），并在图中画出△A1B1C；（2）求△ABC旋转过程中所扫过的面积是多少（结果保留π）．【解答】解：（1）如图所示：∴点A1坐标为（2，7）1B1C即为所求；（2）∵A（﹣5，1），1），6），∴AB＝2，AC＝3，，由旋转性质可知：∠BCB1＝90°，∴△ABC旋转过程中所扫过的面积为，故答案为：．20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．（1）求证：无论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）当Rt△ABC的斜边，且两直角边a和b恰好是该方程的两个根，求m的值．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m﹣2）]2﹣6（2m﹣8）＝m7﹣12m+36＝（m﹣6）2≥7，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵两直角边a和b恰好是该方程的两个根，∴a+b＝m﹣2，ab＝2m﹣3，∵Rt△ABC的斜边，∴a2+b4＝c2＝40，∴（a+b）2﹣2ab＝40，∴（m﹣2）2﹣2×（2m﹣8）＝40，解得m＝10或﹣8．21．（8分）圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位，随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定（1）从π的小数部分随机取出一个数字，估计这个数字（不等于0）是3的倍数的概率为；（2）我校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解）【解答】解：（1）∵这个事件中有10种等可能性，其中3，6，∴这个数字（不等于7）是3的倍数的概率为，故答案为：；（2）树状图如图所示：由树状图可知：共有12种等可能的结果，从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，其中有一幅是祖冲之的画像有6种情况，∴P（其中有一幅是祖冲之）＝．22．（10分）大圆O和小圆O为同心圆，正六边形ABCDEF为大圆O的内接正六边形，连接AC，同时小圆O与CA相切于点K．（1）求证：CE是小圆O的切线．（2）若，求阴影部分的面积．（结果用π表示）【解答】（1）证明：如图所示，连接OE，OD，CE交于H，∵正六边形ABCDEF为大圆O的内接正六边形，∴DE＝DC＝BC，∴∠DOC＝∠BOC，又∵OE＝OC，∴OD垂直平分CE，∴∠OHC＝90°，∵小圆O与CA相切于点K，∴∠OKC＝90°＝∠OHC，在△OHC和△OKC中，，∴△OHC≌△OKC（AAS），∴OH＝OK，∴点H在小圆O上，又∵OH⊥CE，∴CE是小圆O的切线；（2）解：∵正六边形ABCDEF为大圆O的内接正六边形，∴，∴△OCB是等边三角形，∵小圆O与CA相切于点K，∴CK⊥OK，∴，∴，∴，∴，∴．23．（10分）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳，经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，运动员到地面OB的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离x（单位：m）．已知OA＝70m，OC＝60m，到地面OB的竖直高度是37.5m．（1）求y与x的函数表达式；（2）进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，x＝0；当他在点P着陆时①求x与t的函数表达式；②当运动员与着陆坡BC在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值．【解答】解：（1）将A（0，70），37.5）代入解得：∴y与x的函数关系式为．（2）①设x＝kt+m，将，代入，得：解得：，∴x＝6t．②设直线BC的解析式为y＝kx+d，将（5，60），37.5）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+60，设运动员飞行过程中的某一位置为M，过M作MN⊥x轴交BC于点N，设，则∴，∴当n＝13时，MN最大．24．（12分）如图，在⊙O中，AB为弦，且AB⊥CD，垂足为E上的动点（不与端点重合），连接PD．（1）求证：∠APD＝∠BPD；（2）利用尺规在PD上找到点I，使得I到AB、AP的距离相等，连接AD（保留作图痕迹，不写作法）；（3）在（2）的条件下，连接IC、IE，试问：在P点的移动过程中，是否为定值？若是；若不是，请说明理由．【解答】（1）证明：∵直径CD⊥弦AB，∴＝，∴∠APD＝∠BPD；（2）解：如图，作∠BAP的平分线，交PD于I，证：∵AI平分∠BAP，∴∠PAI＝∠BAI，∴∠AID＝∠APD+∠PAI＝∠APD+BAI，∵＝，∴∠DAB＝∠APD，∴∠DAI＝∠DAB+∠BAI＝∠APD+∠BAI，∴∠AID＝∠DAI，∵∠AIP+∠DAI＝180°，∴∠AIP+∠DAI＝180°；（3）如图2，连接BI